高中数学第二章参数方程三直线的参数方程优化练习

三 直线的参数方程
[课时作业] [A 组 基础巩固]
1．直线⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝1＋t sin 70°，y ＝2＋t cos 70°
(t 为参数)的倾斜角为( )
A ．70°
B ．20°
C ．160°
D ．110°
解析：将直线参数方程化为标准形式：
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t cos 20°，
y ＝2＋t sin 20°
(t 为参数)，则倾斜角为20°，故选B.
答案：B
2．直线⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)与二次曲线交于A ，B 两点，A ，B 对应的参数
值分别为t 1，t 2，则|AB |等于( )
A ．|t 1＋t 2|
B ．|t 1|＋|t 2|
C ．|t 1－t 2|
D.
|t 1＋t 2|
2
解析：由参数t 的几何意义可知，|AB |＝|t 1－t 2|，故选C. 答案：C
3．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1－π
2
t ，y ＝2＋π
2t (t 为参数)，则直线l 的斜率为
( )
A ．1
B ．－1 C.π
2
D ．－π2
解析：直线参数方程一般式⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 0＋at ，
y ＝y 0＋bt (t 为参数)，
表示直线过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝b a
， 故k ＝π
2
－π2
＝－1.故选B.
答案：B 4．直线⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2－4t ，y ＝1＋3t
(t 为参数)与圆ρ＝2cos θ的位置关系为( )
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．无法确定
解析：直线⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2－4t ，
y ＝1＋3t (t 为参数)的普通方程为3x ＋4y ＋2＝0，圆ρ＝2cos θ
的普通方程为x 2
＋y 2
－2x ＝0，即(x －1)2
＋y 2
＝1，圆心到直线3x ＋4y ＋2＝0的距离d ＝1＝r ，所以直线与圆的位置关系为相切．
答案：B
5．直线⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋12t ，y ＝－33＋3
2t (t 为参数)和圆x 2＋y 2
＝16交于A ，B 两点，则AB 的
中点坐标为( )
A ．(3，－3)
B ．(－3，3)
C ．(3，－3)
D ．(3，－3)
解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16， 得t 2
－8t ＋12＝0，
t 1＋t 2＝8，t 1＋t 2
2
＝4.
因此中点为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋12
×4，
y ＝－3
3＋3
2
×4，
∴⎩⎨
⎧
x ＝3，y ＝－ 3.
答案：D 6．已知直线⎩⎨
⎧
x ＝－2＋t cos 45°，y ＝1＋t sin 45°，
点M (32，a )在直线上，则点M 到点(－2，
1)的距离为________．
解析：令32＝－2＋t cos 45°， 解得t ＝8.
由t 的几何意义得点M (32，a )到点(－2，1)的距离为8. 答案：8
7．直线 ⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2－1
2t ，y ＝4＋3
2t (t 为参数)上与点P (－2,4)距离等于4的点Q 的坐标为
________．
解析：∵直线的参数方程为标准形式，
∴由t 的几何意义可知|PQ |＝|t |＝4，∴t ＝±4，
当t ＝4时，⎩⎨
⎧ x ＝－4，
y ＝4＋23；
当t ＝－4时，⎩⎨
⎧
x ＝0，
y ＝4－2 3.
答案：(－4,4＋23)或(0,4－23)
8．直线l 经过点M 0(1,5)，倾斜角为π
3，且交直线x －y －2＝0于M 点，则|MM 0|＝________.
解析：由题意可得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝1＋12t ， y ＝5＋3
2t (t 为参数)，代入直线方
程x －y －2＝0，
得1＋12t －⎝ ⎛⎭⎪⎫
5＋32t －2＝0，解得t ＝－6(3＋1)，根据t 的几何意义可知|MM 0|＝6(3
＋1)．
答案：6(3＋1)
9．一直线过P 0(3,4)，倾斜角α＝π
4，求此直线与直线3x ＋2y ＝6的交点M 与P 0之间
的距离．
解析：∵直线过P 0(3,4)，倾斜角α＝π
4，
∴直线参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3＋2
2
t ，y ＝4＋2
2
t (t 为参数)，
代入3x ＋2y ＝6得9＋322t ＋8＋2t ＝6，t ＝－11
5
2，
∴M 与P 0之间的距离为11
5
2.
10．已知直线的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋2t ，
y ＝2＋t (t 为参数)，则该直线被圆x 2＋y 2
＝9截得
的弦长是多少？
解析：将参数方程⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋2t ，
y ＝2＋t (t 为参数)转化为直线参数方程的标准形式为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋2
5 t ′，y ＝2＋15 t ′(t ′为参数)，并代入圆的方程，得(1＋
25
t ′)2
＋(2＋
15
t ′)
2
＝9，
整理，得5t ′2
＋8t ′－45＝0. 设方程的两根分别为t 1′、t 2′，则有
t 1′＋t 2′＝－
85
，t 1′·t 2′＝－4.
所以|t 1′－t 2′|＝t 1′＋t 2
2
－4t 1′t 2′
＝
645＋16＝125
5
， 即直线被圆截得的弦长为125
5
.
[B 组 能力提升]
1．过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截圆x 2
＋y 2
＝4所得的弦长为( ) A.
22
5
B.
425 C ．2 2 D.32
5
解析：直线的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1－2
2
t ，y ＝1＋2
2t (t 为参数)，代入圆的方程，得t 2
＋2
＝4，解得t 1＝－2，t 2＝ 2.
所以所求弦长为|t 1－t 2|＝|－2－2|＝2 2. 答案：C
2．若直线⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝t cos α，
y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4＋2cos φ，
y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那
么直线倾斜角α为( )
A.π6
B.π4
C.
π3
D.
π6或5π6
解析：直线化为y x
＝tan α，即y ＝tan α·x ， 圆方程化为(x －4)2
＋y 2
＝4， ∴由
|4tan α|
tan 2
α＋1
＝2⇒tan 2
α＝13， ∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π
6
. 答案：D
3．已知直线l 1：⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝1－2t ，y ＝2＋kt
(t 为参数)，l 2：⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝s ，y ＝1－2s
(s 为参数)，若l 1∥l 2，
则k ＝________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.
解析：将l 1，l 2的方程化为普通方程，得
l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0， l 1∥l 2⇒k 2
＝21
≠4＋k
1
⇒k ＝4.
l 1⊥l 2⇒(－2)·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－k 2＝－1⇒k ＝－1.
答案：4 －1
4．直线l ： ⎩⎨
⎧
x ＝－1＋3t ，y ＝1＋t
(t 为参数)上的点P (－4，1－3)到l 与x 轴交点间
的距离是________．
解析：在直线l ：⎩⎨
⎧
x ＝－1＋3t ，y ＝1＋t
中，令y ＝0，得t ＝－1.
故l 与x 轴的交点为Q (－1－3，0)． 所以|PQ |＝ －1－3＋
2
＋－3
2
＝
3－
2
＝23－2.
答案：23－2
5．(1)求过点P (－1,3)且平行于直线l ：⎩⎨
⎧
x ＝1＋t ，
y ＝2－3t
(t 为参数)的直线的参数方程；。