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2020年10月第40卷第5期
天水师范学院学报
Journal of Tianshui Normal University
Oct.,2020
V〇1.40No.5
泛函在电磁场有限元数值计算中的应用
宋艳霞
(天水师范学院电子信息与工程学院，甘肃天水741001)
摘要：数值计算是电磁场分析和研究领域中人们感兴趣的主要领域，而有限元法是一种有效的数值计算方 法.以变分原理（泛函求极值）为基础，深入系统地分析了在电磁场数值计算方法中应用最广泛的有限元法的基 本原理、方法实施全过程.着重从电磁的能量关系来论证偏微分方程边值问题和有限元变分问题的等价性，最后 引用长直接地金属槽中电场的计算实例来说明此方法在求解电磁场问题中的应用.
关键词：变分原理；电磁场；有限元；金属槽
中图分类号：0441.4 文献标识码：A文章编号：1671-1351 (2020) 05-0028-04
电磁场问题已成为科学技术领域普遍重视的研 究课题.在电磁场分析研究的领域里，实践中应用 的电磁场，其边界比较复杂，解析解难以求解或根 本没有解析解.作为电磁场的数值解法，虽然有限 差分法（F D M)和矩量法（M O M)从概念上说较 容易，编程应用也易于有限元法，但有限差分法没 有以变分原理111(即所谓泛函的求极值问题）为基 础，其稳定性和收敛性不能很好地保证.矩量法虽 计算速度较快，但计算过程中仅对模型表面进行网 格处理.有限元法（F E M)是基于变分原理和加权 余量法而发展起来的偏微分方程数值解法之一.
目前，有限元法在电磁场数值分析中已显示出 一系列的特点（例如：能适应复杂形态的场域边 界，离散点比较随意，离散化过程保持了清晰的物 理意义等），可以说，用有限元为某一专业开发的 程序可以经稍微地修改或不用修改就可以应用到其 他领域中.
1变分原理
在求解数学物理和工程中的问题时，用等效的 问题来代替原问题的微分方程的积分往往是可行的. 这种等效问题为寻找一个函数，使它给出某些积分 的最小值，这种问题称为变分问题.从某种意义上 说，泛函是函数的测量.最简单的例子是内积{u,v).
1.1泛函、变分问题
1969年约翰•伯努利提出的最速降线问题导致了变分法的建立.121滑行总时间由描述曲线的函数 y= y问的形式决定，可以说是“函数的函数”（泛 函），由函数的定义可知，决定泛函值的是函数的 具体形式.故所讨论的最速降线（捷线）问题，本 质上就是研究泛函求极值的问题（变分原理).
1.2泛函的变分与尤拉方程
变分问题间接解法的基本依据是变分原理.变 分问题与对应的边值问题等价，而有限元法将要求 解的微分方程（边值问题），先转化为相应的变分 问题；再转化为求解多元代数方程组，最终得到边 值问题的数值解（近似解）.141现推导出变分问题的 解答（极值函数）所必须满足的必要条件（尤拉 方程).
1.2.1泛函的变分问题
设自变量为;c的泛函的变分为
•/[y]=J':F(x，y，y)ck=m in，（1)上式中，F为y⑷和的已知函数.设函数y W有很小的变动，记为y+办（这里S为变 分符号，办称为函数;Kx)的变分，表示函数的变 化量），由多元函数的泰勒公式、微积分学及分部 积分求得极值函数满足下面的微分方程：
此方程为式（1)给定的泛函极值解所满足的 尤拉（Euler)方程.这样对于给定的函数^⑷，有极值的前提条件是y(*)满足尤拉方程.同样的，各种复杂情况下泛函极值存在的必要条件也可 以推导出来.
收稿日期：2020-10-09
作者简介：宋艳霞（1卵3-),女，甘肃秦安人，天水师范学院电子信息与工程学院讲师，兰州交通大学在读博士研究生。

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总之，泛函极值问题就是变分问题.131古典的变 分法是通过泛函的变分问题，将变分问题转 换为微分方程来求解具体的问题.而变分原理表明，在一定条件下变分问题与边值问题等价.此原 理的逆过程被有限元很好地利用了.在泛函极值中，有些极值能自动满足边界条件，而有些则不能，我们 将那些能自动满足第二、三类边界条件的极值解称 为自然边界条件，相应的变分问题称为无条件变分.而将那些不能自动满足的第一类边界条件称为强加 边界条件，相应的变分问题称为条件变分.即
l j(j)= •••^y")dx=min,(〗）
[r|.=/〇-
1.2.2与线性齐次边值问题等价的变分问题
电磁场问题可归结为边值问题，即在一定的边 界条件下求解场的微分方程.151对于静电场、恒定电 场描述他们的微分方程为泊松方程或拉普拉斯方程
卜=-|，
(▽2小=0.
齐次边界条件：第一类边界条件，= 0 ;
第二类边界条件，#|,= 〇;
an
第三类边界条件，+
其中/)为边界S上任一点的坐标，齐次第二类 边界条件是齐次第三类边界条件中/,= 〇的特例.
泊松方程齐次第三类边界问题等价的变分问题 F(<l>)=^J,,(filV<#)l2- 2p4>)dV+ ^js ftip^d s=min,(4)此式为无条件变分，右边第一项为体积分，右 边第二项为面积分项，而面积分项由/,引起.
泊松方程齐次第二类边界问题等价的变分问题 (/= 0)
F((f))= - 7p<t>)dV=min,(5)泊松方程齐次第一类边界问题等价的条件变分问题
= i|v(£：I V<|)P- 2p<i，)dV=min,(6) W'=〇_
混合边界条件（部分给出第二类或第三类边界 条件，其余部分为第一类边界条具体内容决定.而 拉氏方程的等价变分问题只是上述方程p=0而已.
2有限元法的基本原理
有限元法的应用步骤如下
第一步：构造出与待求边值问题对应的泛函和等价变分（条件变分或无条件变分）问题；
第二步：应用有限元单元把场域剖分或分解，并选取相应的插值函数；
第三步：把变分问题离散化成一个多元函数求 极值问题，得到代数方程组，处理后得到（有限元 方程）；
第四步：选择适当的代数解法，求解有限元方 程的近似解（数值解).
现用二维拉普拉斯场（p= 0)的第一类边值 问题所对应的等价变分问题（6)为例来探究有限元分析、实施的全过程.
2.1有限元剖分、分片插值和基函数171
将电磁场的场域D进行离散化（剖分），这里 以三角元剖分和相应的三顶点线性插值的方法为例 进行讨论.
2.1.1三角元剖分
将电磁场的场域D剖分成互不重叠的有限个三 角形单元或区域（有限元）（简称三角元），把所有 的节点按逆时针方向排序.
2.1.2分段线性插值和基函数
给出所有三角元e内，；为线性变化关系的 插值函数
(f r(x,y)-a,+ a2x+a,y,(7)
得到待求变分问题解的近似解夕(*，y)•待求系数、《2、％可由待求函数值（H t)与各节点的坐标确定，联立方程求解可得
=(a,<t>,+ + am(f>J/2A,
■^+ bn<t>m)/2\,(8)
a3=(c,(j)t+ cJ(f)1+ cm(t>m)/2A.
式中，k，同理’
可求出 ay，，c;，…，c… ;e的面积 A= ^(6,c,-6八)• 则三角元e上的线性插值函数是
<^r{x,y) =2^[(a,+ b,x+c j)<f),+ {aJ +b,x+ c]y)^l
+(d* + c…y)</)…](9)
^ ij.m
式中，称为三角元的形状函数（或基 函数），记为
Nr,(x,y) =+b,x+c j) ,(s= i,j,m).
因此，式（9)可用矩阵形式表示为
^,1
^(x,y)=[N：N；N：m-
d o)
(ID 将<^(*，y)整合为如,y),得到有限元子空间所
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构造的近似解.
2.2变分问题的离散化与有限元方程
2.2.1单元刚度矩阵分析
下一步合成所有单元，与所收集单元相关的能 量是：
•/«>]=乞[利，(12)
，e。

所对应的能其中，人W>]为二角兀e"e2,
量积分
Dt 因为dx dy
dxdy , (13)
d4>f
dx
+屯+ bjf>J/2A，故
l£ dxdy=j\{b.<t>,+b,(l>j+b^m)2
4A'
=念[桃也]b,b,b,bJ b(bm bjb,blbJ 6.6m b A bm bm
其中
[<l4A b.b,b,bJ b,bm
bm b,bm bt bm bm
(14)
(15)
同理可得
〇,d(f e
dy
{(/)广[尺2] {</)}，(16)
式中
4A c,q c,cy ciC m
CJ C i CJ CJ CJC m
C m C i cm C j cm cm
(17)
因此
■/沐]4w w外
+士(18)
m 二[尺,]'+[/q 八m八m
K；K；K'm,(19) KL Kr KL_
称是系数（是离散的）矩阵，所含元素的表达 式为
K= K= -^(br b,+ bs b r),{r,s= i,j,m).(20)
2.2.2总刚度矩阵
将式（18)改写为
•/成]=士{<M r W,W，(2D 则二次泛函_/W>]离散化为
e〇f f，0_ ^
v=l-/(22)
4w r_，
式中，称为总电场能的系数矩阵.因为
M=I[灯，所含元素为
e=1
A= I X，(i，_/.= l，2,•••，〜)，(23)
=1
最终，变分问题（式6, P= 0)被离散化为下 述多元二次函数求极值问题
•/[小卜射水…’也。

]
1"〇(24)
依据泛函求极值理论，应有#=〇
〇<P, (£= 1,2,…，n。

），故由式（24)可得
^^^= 0, (i= 1,2,••-(25)
>=•
表示为矩阵形式（有限元方程）为
[尺]⑷=0_ (26) 3实例分析
例1如图1所示，设长直三角金属槽的截面 积，其侧壁和地面的电位均为零，斜面电位为200V,求槽内（各自由节点）的电位值.
30图1
接地金属槽
图3三角金属槽电位分布图
本文从泛函出发，基于有限元的基本原理和方
程，利用M a tla b 软件实现了有限元的数值计算，为学习有限元的理论和实践提供了重要依据.参考文献：
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magnetics with MATLAB[M].3th ed.Taylor&Francis ： 2016, CRC Press.
〔责任编辑高忠社〕〔校
对朱晓凤〕
2025
节点
第五步：输出计算结果（图3)，各自由节点 电位值为：
也=36.3636， </>9 = 72.7273 ,
c ^10= 118.1818 ,
<#)13 = 72.7273, <#>14= 136.3636, <f >17= 118.1818.
三角金属槽电位分布图
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解首先选定直角坐标系，写出场域内电位函 数所满足的拉普拉斯方程（含边值问题），使用三 角元剖分（离散）和相应的三顶点线性插值的方 法，解场域被剖分为25个三节点三角元，并对所 有的节点和三角元逐个按一定的顺序编号.现设场 域被剖分成图2所示.程序的实施步骤如下：
第一步：输入所定义问题所需数据.首先，输 入单元数（ne 0=25)、节点数（node =21)、强加边 界条件所对应的节点数（nodep =15)及各节点上的 电位值（val =[0 0 0 0 0 100 0 200 0 200 0 2_ 200 100])(特别的，将边界点6、21的电位设为分界面 的均值，即1〇〇,打=1〇〇)，所有节点的坐 标信息（1[〇, 〇]，2[0.2, 0]，…，21[0，1.0])、三 角元e 的三顶点编号的信息值（1[1, 2，7]，2[2, 8, 7]，…，21[19, 20, 21]).对图1的具体问题， 三维数据：坐标、单元节点的关系及强加边界条件 节点上所对应的电位值分别列于用matlab 软件编写 的程序中.
图2场域剖分图
第二步：形成系数矩阵[/q .第三步：构造有限元方程.
第四步：利用被赋值的节点确认自由节点（内 节点）的列表.应用式（27) m 所示的迭代法对所 有自由节点进行累加计算，程序证明数值解在20 次后或不到20次达到了收敛.
t 屯〜，
(27)
八“ y =i.i*v
31。