平面P波在半圆形凹陷场地产生的动应力路径

刘廷峻１，２ 汪 刚１，２
（１．中国地震局工程力学研究所，黑龙江 哈尔滨 １５００８０； ２．中国地震局地震工程与工程振动重点实验室，黑龙江 哈尔滨 １５００８０）
摘 要：推导了平面 Ｐ波斜入射时半圆形凹陷场地不同位置处土体应力的计算公式，分析了表面土体的位移幅值和内部土体的动
应力路径，并比较了半圆形凹陷场地与半无限场地之间的差异。
∑ ψｆｆ ＝ Ｊｎ（βｒ）（ｃｎｓｉｎｎθ＋ｄｎｃｏｓｎθ） ｎ＝０
其中，ａｎ，ｂｎ，ｃｎ，ｄｎ 均为已知系数。
１．２．２ 散射场
（４） （５）
散射波的势函数为：
∞
∑ φｓ ＝ Ｈ（ｎ１）（αｒ）（Ａｎｓｉｎｎθ＋Ｂｎｃｏｓｎθ） ｎ＝０
（６）
∞
∑ ψｓ ＝ Ｈ（ｎ１）（βｒ）（Ｃｎｓｉｎｎθ＋Ｄｎｃｏｓｎθ） ｎ＝０
（１９）
将式（１７）～式 （１９）代入式 （８），式 （９）可直接满 足。将 式
（１７）～式（１９）代入式（１０），式（１１）可得：
∞
∞
∑ ∑ Ｅ１（１３）（ｍ，αａ）Ａｍｓｉｎｍθ＋ Ｅ１（２３）（ｍ，βａ）Ｃｍｃｏｓｍθ＝
σｒ＝λ２φ＋２μ［２ｒφ２ ＋ｒ（１ｒ
ψ）］ θ
（１２）
σθ
＝λ２φ＋２μ［１ｒ（φｒ＋２θφ２）＋
１ｒ（１ｒ
ψ－２ψ）］ θ ｒθ
（１３）
τｒθ＝μ［２（１ｒθ２φｒ－ｒ１２ φθ）＋（ｒ１２ ２θψ２ －ｒｒ（１ｒψｒ））］
（１４） Ｌｅｅ［６］提出了一种算法，如式（１５），式（１６）所示，在半空间中
故散射波导致的应力可以表示为：
∑ σｓｒ ＝２ｒ２μ（ｎ∞＝０ＡｎＥ１（１３）（ｎ，αｒ）ｓｉｎｎθ＋ＣｎＥ１（２３）（ｎ，βｒ）ｃｏｓｎθ）
（１７）
∑ σｓθ ＝２ｒ２μ（ｎ∞＝０ＡｎＥ２（１３）（ｎ，αｒ）ｓｉｎｎθ＋ＣｎＥ２（２３）（ｎ，βｒ）ｃｏｓｎθ）
（１８）
∑ τｓθ ＝２ｒ２μ（ｎ∞＝０ＡｎＥ４（１３）（ｎ，αｒ）ｃｏｓｎθ＋ＣｎＥ４（２３）（ｎ，βｒ）ｓｉｎｎθ）
·７０·
第 ４４卷 第 ２０１８年
２８２期 月
山 西 建 筑
ＳＨＡＮＸＩ ＡＲＣＨＩＴＥＣＴＵＲＥ
ＡＶｕｏｌｇ．．４ ４２Ｎ０ｏ１．８２２
文章编号：１００９６８２５（２０１８）２２００７００３
平 面 Ｐ波 在 半 圆 形 凹 陷 场 地 产 生 的 动 应 力 路 径
（７）
其中，上标 ｓ表示散射波；Ａｎ，Ｂｎ，Ｃｎ，Ｄｎ均为未知系数。
１．２．３ 边界条件
平面和凹陷处均为自由边界，故满足：
σθ｜θ＝０，π ＝０ τｒθ｜θ＝０，π ＝０ ０≤θ≤π，σｒ｜ｒ＝ａ ＝０ ０≤θ≤π，τｒθ｜ｒ＝ａ ＝０
１．２．４ 未知系数的求解
（８） （９） （１０） （１１）
极坐标下应力—势函数的关系为：
关键词：半圆形凹陷场地，Ｐ波，应力路径
中图分类号：ＴＵ４１１．８
文献标识码：Ａ
近几十年来，估计地表局部不规则地形对地震地面运动影响 的研究工作一直 是 地 震 学、地 震 工 程 学 中 令 人 关 注 的 课 题 之 一。 地表局部不规则地形对地震地面运动影响作为宏观现象，其本质 是弹性波的散射与动应力集中。弹性波的散射与动应力集中问 题［１］是近几十年提出的课题，它在理论上，特别是工程应用上有 重要的意义。在 研 究 土 体 的 动 力 学 特 性 时，Ｉｓｈｉｈａｒａ等 ［２］在 计 算 波浪对海床的作用时提出了动应力路径的概念，以土体单元为研 究对象，选取竖向应力与水平向应力之差的 １／２作为横坐标，选 取剪应力作为纵坐标，绘制动应力路径。动应力路径的概念在研 究车辆动载下地基的响应和飞机荷载下跑道道基的响应时得到 了广泛的应用，魏星等［３］在研究移动交通荷载下公路软土地基的 沉降计算时考虑了土体的动应力路径，张凡［４］在研究飞机单轮荷 载作用下山区机场跑道动力响应时考虑了土体的动应力路径。 本文基于波动理论，推导了平面 Ｐ波斜入射时半圆形凹陷场地不 同位置处土体应力的计算公式，分析了平面 Ｐ波入射时表面土体 的位移幅值和内部土体的动应力路径，并比较了半圆形凹陷场地 与半无限场地之间的差异。
自由场的 Ｐ波和 ＳＶ波的势函数为： φｆｆ＝ｅｘｐｉα（ｘｃｏｓθα －ｙｓｉｎθα）＋Ｋ１ｅｘｐｉα（ｘｃｏｓθα ＋ｙｓｉｎθα） （２）
ψｆｆ＝Ｋ２ｅｘｐｉβ（ｘｃｏｓθβ ＋ｙｓｉｎθβ） 其中，Ｋ１和 Ｋ２均为反射系数。 自由场的 Ｐ波和 ＳＶ波势函数可展开为柱面波函数：
（３）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∞
∑ φｆｆ＝ Ｊｎ（αｒ）（ａｎｓｉｎｎθ＋ｂｎｃｏｓｎθ） ｎ＝０ ∞
将正弦函数用余弦函数表示，从而将未知系数减少至 Ａｎ和 Ｃｎ。
∑ ｓｉｎｍθ＝
∞ ｎ＝０
επｎｓｍｎｃｏｓｎθ＝
ｎ＋ｍ ｏｄｄ
∞
－
∑ｎ＝０
εｎ π
ｍ２２－ｍｎ２ｓｍｎｃｏｓｎθ
－π≤
θ≤ ０
ｎ＋ｍ ｏｄｄ
∞
{＋ ∑ｎ＝０
εｎ π
ｍ２２－ｍｎ２ｓｍｎｃｏｓｎθ ０≤
θ≤π
ｎ＋ｍ ｏｄｄ
（１５）
式中：
收稿日期：２０１８０５２４ 作者简介：刘廷峻（１９９２），男，在读硕士
第２０４４１卷８第年 ２８２期月 刘廷峻等：平面 Ｐ波在半圆形凹陷场地产生的动应力路径
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∫ { ｓｍｎ ＝
π
ｓｉｎｍθｃｏｓｎθｄθ＝
ｍ２２－ｍｎ２ ｎ＋ｍ ｏｄｄ
（１６）
０
０ ｎ＋ｍ ｅｖｅｎ
１ 采用模型与方法
１．１ 采用模型
根据弹性波动力学基本理论［５］，本文对研究模型进行了一定 的简化，如图 １所示。假定场地为包含半圆形凹陷的平面半无限 体，半圆形凹陷的圆心在 Ｏ点，半径为 ａ，土体为线弹性，波在传播 过程中没有能量的衰减。









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１．２ 平面 Ｐ波入射下的土体应力状态
１．２．１ 自由场
设入射 Ｐ波势函数为：
φｉ＝ｅｘｐｉα（ｘｃｏｓθα －ｙｓｉｎθα）
（１）
其中，上标 ｉ表示入射波；波数 α＝ω／ｖｐ；ω为圆频率；ｖｐ为 Ｐ
波波速；θα 为入射波和法线的夹角。
入射 Ｐ波时存在波型转换现象，产生反射 Ｐ波和反射 ＳＶ波。