重庆市2023-2024学年高一下学期2月阶段测试数学试题含答案

重庆2023-2024学年高一（下）2月阶段测试
数学试题（答案在最后）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合{}1A x x =<，
122B x x ⎧
⎫
=-<<
⎨⎬
⎩⎭，则A B = （
）
A.
{}
21x x -<< B.112x x ⎧⎫-<<
⎨⎬⎩
⎭
C.122x x ⎧⎫-<<
⎨⎬⎩
⎭
D.
{}
21x x -<<-【答案】B 【解析】
【分析】先确定集合A ，再求交集.
【详解】由已知集合{}{}
111A x x x x =<=-<<，所以112A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩
⎭
.故选：B
2.定义在R 上的奇函数，当0x <时，()2
2f x x x =-，则()2f =（
）
A.6
B.10
C.6
- D.10
-【答案】D 【解析】
【分析】利用奇函数可得()()22f f =--即可求解
【详解】定义在R 上的奇函数，当0x <时，()2
2f x x x =-，
则()()()2224210f f ⨯+-=--=-=故选：D ．
3.:sin 0,:p q θθ>是第一象限角或第二象限角，则p 是q 的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
【分析】由题可得sin 0θ>时θ的范围，再根据充分必要条件的概念即得．【详解】由sin 0θ>，可得θ是第一象限角或第二象限角或终边在y 轴非负半轴，所以由p 推不出q ，而由θ是第一象限角或第二象限角，可得sin 0θ>，所以由q 可推出p ，
所以p 是q 的必要不充分条件．故选：B ．
4.下列说法正确的是（
）
A.若a b ∥ ，b c ∥，则a c
∥ B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.两个单位向量的长度相等
D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等【答案】C 【解析】
【分析】A.由0b =
判断；B.由平面向量的定义判断；C.由单位向量的定义判断； D.由共线向量判断.【详解】A.当0b = 时，满足a b ∥ ，b c ∥，而,a c 不一定平行，故错误；
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误；
C.由单位向量的定义知，两个单位向量的长度相等，故正确；
D.若两个单位向量平行，则方向相同或相反，但大小不一定相同，则这两个单位向量不一定相等，故错误；故选：C
5.设θ是第二象限角，P （－4，y ）为其终边上的一点，且1
sin 6
y θ=，则tan θ等于（）
A.
B.
－
5
C.
5
D.
【答案】A 【解析】
【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.
【详解】因为
1
sin 6
y θ=
=
6
=，解得y =±，
又θ是第二象限角，所以
y =
tan 42
θ==-
-．故选：A ．
6.函数sin x x
x x
y e e --=
+的图象大致为（
）
A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】
【分析】判断函数的奇偶性，再判断函数值的正负，从而排除错误选项，得正确选项.【详解】因为()sin x x x x y f x e e --==+所以()()sin sin x x
x x
x x x x f x e e e e ------+-=
=
++得()()f x f x =--，所以sin x x
x x
y e e
--=+为奇函数，排除C ；
在[0,)+∞，设()sin g x x x =-，()1cos 0g x x ='-≥，()g x 单调递增，因此()(0)0g x g ≥=，故sin 0x x
x x
y e e
--=
≥+在[0,)+∞上恒成立，排除A 、D ，故选：B.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
7.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若a ∀，[)0,b ∞∈+，且a b ¹，都有
()()
0af a bf b a b
-<-成立，
则不等式()
()2
12210f t t f t t ⎛⎫---> ⎪⎝⎭
的解集为（
）
A.
()11,0,2⎛⎫
-⋃+∞
⎪⎝⎭ B.()1,01,2⎛⎫
-
⋃+∞ ⎪⎝⎭C.
()1,1,2∞∞⎛⎫
--⋃+
⎪⎝⎭
D.()1,1,2∞∞⎛⎫
--
⋃+ ⎪⎝
⎭
【答案】D 【解析】
【分析】根据题意，构造函数()()g x xf x =，求出函数()g x 的单调性和奇偶性，即可求出不等式的解集.【详解】令()()g x xf x =，由题意知()g x 在[)0,∞+上为减函数，又()f x 为R 上的偶函数，所以()g x 为R 上的奇函数，又()g x 在[)0,∞+上为减函数，()00g =，所以()g x 在R 上为减函数，
①当0t >时，
()()1
12121f t f t t t ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭，即()121g g t t ⎛⎫
>- ⎪⎝⎭
，所以1
21t t
<-，所以212t t <-，解得1t >；②当0t <时，
()()112121f t f t t t ⎛⎫<-- ⎪⎝⎭，即()121g g t t ⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
，所以121t t
>-，所以212t t <-，解得21t <-.所以2
1
t <-或1t >.故选：D.
8.设函数()f x 的定义域为R ，满足()()1
22
f x f x +=，且当(]0,2x ∈时，()()2f x x x =-．若对任意[
),x m ∞∈+，都有()3
16
f x ≥-，则m 的取值范围是（）
A.
[)
5,∞+ B.9
,2∞⎡⎫
+⎪⎢⎣⎭
C.21
,4∞⎡⎫
+⎪
⎢⎣⎭
D.11
,2∞⎡⎫
+⎪
⎢⎣⎭
【答案】D
【解析】
【分析】由题设条件画出函数()f x 的简图，由图象分析得出m 的取值范围.【详解】当(]
0,2x ∈时，(]22,4x +∈，则
()()()()()[]0111
2222
222241,f x x x x f x x +=
---==++∈-，即当(]
2,4x ∈时，()()()124,0122x x f x ⎡⎤
--∈-⎢⎣=⎥⎦，同理当(]
4,6x ∈时，()()()146,0144x x f x ⎡⎤
--∈-⎢⎣=⎥⎦
；当(]6,8x ∈时，()()()168,0188x x f x ⎡⎤
--∈-⎢⎣=
⎥⎦
.以此类推，当6x >时，都有()3
16
f x >-.函数()f x 和函数3
16
y =-
在(]
0,8上的图象如下图所示：
由图可知，()()()()346,145,616
f m m m m --==
-∈，解得112m =，
即对任意11,2x ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
，都有()316f x ≥-，即m 的取值范围是11,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.
故选：D
【点睛】关键点睛：解决本题的关键对()()1
22
f x f x +=的理解，并结合图象，非常直观的得出满足条件的m 的取值范围.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分．
9.噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级0
20lg
p p
L p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车106090
混合动力汽车105060
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（）．
A.12p p ≥
B.2310p p >
C.30100p p =
D.12
100p p ≤【答案】ACD 【解析】
【分析】根据题意可知[][]12360,90,50,60,40p p p L L L ∈∈=，结合对数运算逐项分析判断.【详解】由题意可知：[][]12360,90,50,60,40p p p L L L ∈∈=，对于选项A ：可得1212100220lg
20lg 20lg p p p p p
L L p p p =-⨯=⨯-⨯，因为12p p L L ≥，则121220lg
0p p p L L p =-⨯≥，即12
lg 0p
p ≥，所以1
2
1p p ≥且12,0p p >，可得12p p ≥，故A 正确；对于选项B ：可得23322003
20lg
20lg 20lg p p p p p
L L p p p =-⨯=⨯-⨯，因为2324010p p p L L L -=-≥，则2
320lg
10p p ⨯≥，即231
lg 2
p p ≥
，所以2
3
p p ≥且23,0p p >，可得23p ≥，当且仅当250p L =时，等号成立，故B 错误；
对于选项C ：因为33020lg
40p p L p =⨯=，即30
lg 2p
p =，可得
3
100p p =，即30100p p =，故C 正确；对于选项D ：由选项A 可知：121
2
20lg
p p p L L p =-⨯，且12905040p p L L ≤-=-，则1
2
20lg
40p p ⨯≤，即12lg
2p p ≤，可得12
100p
p ≤，且12,0p p >，所以12100p p ≤，故D 正确；故选：ACD
.
10.设函数()sin 6f x x πω⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
（0ω>）
，已知()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，下列结论正确的是（
）
A.在()0,π上存在1x ，2x ，满足()()122f x f x -=
B.()f x 在()0,π有且仅有1个最小值点
C.()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递增D.
ω的取值范围是1319,66⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【答案】AB 【解析】
【分析】由题意根据()f x 在区间[0，]π有3个零点画出大致图象，可得区间长度π介于周期[||T OA +，3
||)2
T OA +，再用ω表示周期，得ω的范围．【详解】画出函数()sin()6
f x x π
ω=-
大致图象如图所示，
当0x =时1
sin()62
y π=-=-；
又0ω>，
所以0x >时()f x 在y 轴右侧第一个最大值区间内单调递增，
函数在[0，]π仅有3个零点时，则π的位置在~C D 之间（包括C ，不包括)D ，令()sin()06f x x πω=-
=，则6x k πωπ-=得，1
()()6x k k z ππω
=+∈ ，y 轴右侧第一个点横坐标为6πω
，周期2T πω
=，
所以3
662
T T πππωω+<+ ，即
232662πππππωωωω+<+ ，解得131966
ω<，所以D 错误；在区间[0，]π上，函数()f x 达到最大值和最小值，所以存在1x ，2x ，满足12()()2f x f x -=，所以A 正确；由大致图象得，()f x 在(0,)π内有且只有1个最小值，B 正确；因为ω最小值为136
，所以02x π<<时，11(66122x ππππω-<-<
∉-，)2π
，所以(0,)2
x π
∈时，函数()f x 不单调递增，所以C 错误．故选：AB
【点睛】本题考查了三角函数图象及周期的计算问题，由题意求出ω的范围，再判断命题的真假性，是解题的关键．
11.已知定义在()(),00,∞-+∞U 上的函数()f x 满足()()()()
2f xy f x f y f y x -=-，当0x <时，()0f x <，
且()12f =，则（）
A.(2)1f =
B.()f x 为偶函数
C.()f x 在()0,∞+上单调递减
D.任意1x D ∈，存在2x D ∈，使得()()1212f x f x x x +=+【答案】ACD 【解析】
【分析】运用赋值法，结合函数定义逐项判断即可得.【详解】对A ：令1x =，2y =，则有()()()()
2121221f f f f ⨯-=
-，又()12f =，
故()()()222222
f f f -=
=，即()21f =，故A 正确；
对B ：由()()()()
2f xy f x f y f y x -=
-，则有()()()()
2f xy f y f x f x y -=
-，
即()()()()
()2f xy f x y f y x f x f y -=
=---，即有()()f x f x =--，
又定义域为()(),00,∞-+∞U ，故()f x 为奇函数，故B 错误；
对C ：令0x y >>，则有0y x -<，0xy >，0xy -<，由当0x <时，()0f x <，故()0f y x -<，()0f xy -<，则()()0f xy f xy =-->，即0x y >>时，有()()()()
20f xy f x f y f y x -=<-，故()f x 在()0,∞+上单调递减，
即C 正确；
对D ：()()1212f x f x x x +=+等价于()()1122f x x f x x -=--⎡⎤⎣⎦，由()f x 为奇函数，设函数()()g x f x x =-，则对任意()(),00,x ∈-∞⋃+∞，
都有()()()()()g x f x x f x x f x x g x -=-+=-+=--=-⎡⎤⎣⎦，故函数()()g x f x x =+为奇函数，
故对任意1x D ∈，存在21x x D =-∈，使()()1122f x x f x x -=--⎡⎤⎣⎦，即任意1x D ∈，存在2x D ∈，使得()()1212f x f x x x +=+，故D 正确.故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题关键在于运用赋值法，结合函数性质的定义解决函数的性质问题.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答题卡相应位置．
12.如图，在正六边形ABCDEF 中，2AF ED EF AB -++=
______．
【答案】0
【解析】
【分析】根据正六边形的性质与平面向量运算即可得答案.【详解】由题意，根据正六边形的性质
()
222AF ED EF AB AF ED EF AB AF DF AB
-++=--=+++ 22220AF AB CF AB BA AB CA +=++===+ .
故答案为：0
13.已知4
sin 5
α=-
且α为第四象限角，若
sin()2cos αββ+=，则tan()αβ+值是_________．【答案】6
13
【解析】
【分析】根据已知条件求得tan ,tan αβ，进而求得()tan αβ+.【详解】依题意，4
sin 5
α=-
且α为第四象限角，
所以3cos 5α==，sin tan s 43co ααα=
=-.sin()
2,sin()2cos cos αβαβββ
+=+=，sin cos cos sin 2cos αβαββ+=，
4314cos sin 2cos ,3sin 14cos ,tan 553
ββββββ-+===，
所以41410tan tan 1096333tan()564141tan tan 36513
11933
αβαβαβ-+
++====⨯=-⋅⎛⎫+--⨯
⎪⎝⎭.故答案为：
6
13
14.函数()f x 满足1()
ln 1()
f x x f x +=
-，且12,x x 均大于e ，且12()()1f x f x +=，则12()f x x 的最小值为
____________【答案】57
【解析】
【分析】求出函数()f x 的解析式，利用给定等式，结合基本不等式求解即得.【详解】由1()ln 1()f x x f x +=
-，得ln 1
()ln 1x f x x -=+，由12()()1f x f x +=，得12
22111ln 1ln 1x x -
+-=++，由12,x x 均大于e ，知12ln 1,ln 1x x >>，则2
121212ln ln ln ln 3ln ln (
)2
x x x x x x +++=≤，解得12ln ln 6x x +≥，当且仅当3
12e x x ==时取等号，
所以1212225
()11.
ln ln 177
f x x x x =-
≥-=++故答案为：
57
四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.已知集合{
}
2
20A x x x =--<，53|22B x x ⎧⎫=-
≥⎨⎬⎩
⎭
．（1）求()
R A B ð；
（2）记关于x 的不等式222(1)20x m x m m -+++≤的解集为M ，若M B ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()
()R 1,2A B ⋂=ð（2）1m ≤-或4m ≥.【解析】
【分析】（1）先解不等式求得集合,A B ，然后根据补集、交集的知识求得正确答案.（2）根据集合的包含关系列不等式，由此求得m 的取值范围.
【小问1详解】
由()()2
2210x x x x --=-+<解得12x -<<，所以()1,2A =-.
由5322x -
≥得5322x -≤-或53
22
x -≥，解得1x ≤或4x ≥，所以(][),14,B =-∞⋃+∞，()R 1,4B =ð，所以()
()R 1,2A B ⋂=ð.【小问2详解】
由()()2
2
2(1)220x m x m m x m x m -+++=---≤⎡⎤⎣⎦，解得2m x m ≤≤+，
所以[],2M m m =+，要使M B ⊆，则需21m +≤或4m ≥，解得1m ≤-或4m ≥.
16.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π
0,0,||2
A ωϕ>><
）的图象如图所示．
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）若将函数()y f x =的图象上的所有点向右平移
π
12
，再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()g x 的图象，若函数()y g x k =-在70,π6⎡⎤
⎢⎥⎣⎦有零点，求实数k 的取值范围．
【答案】（1）()πsin 23f x x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
（2）,12⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦
【解析】
【分析】（1）根据函数图象，依次求得,,A ωϕ的值，从而求得()f x 的解析式.
（2）根据三角函数图象变换的知识求得()g x ，根据()g x 在区间70,π6⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域求得正确答案.
【小问1详解】
由图可知1A =，
7πππ2π,π,241234T T ωω
=-====，()()sin 2f x x ϕ=+，()7π7πsin 1126f f x ϕ⎛⎫⎛⎫
==+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，由于ππ2π7π5π,22363ϕϕ-<<<+<，
所以
7π3ππ,623ϕϕ+==，所以()πsin 23f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
【小问2详解】
将函数()y f x =的图象上的所有点向右平移
π12，得到πππsin 2sin 21236y x x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-+=+ ⎪ ⎢⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数π()sin 6g x x ⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
，由7π0,
6x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦得ππ4π,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时()3,12g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，
所以要使函数()y g x k =-在70,π6⎡⎤
⎢⎥⎣⎦有零点，则,12k ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦.17.已知函数()2121x x f x -=+，()()41log 212x
g x x =--．
（1）解不等式211
212
x x +>--；
（2）方程()()()
()44log log 210x
g x af x a =-->⎡⎤⎣⎦在[]2log 32，
上有解，求a 的取值范围.【答案】（1）()0,∞+（2）815,34⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】
【分析】（1）利用换元法可得1
23
x
>
，即可根据指数函数的单调性即可求解，（2）根据对数的运算性质可将问题转化为()()
21212
x x x
a +-=在[]
2log 3,2上有解，利用换元法，结合函
数的单调性即可求解.【小问1详解】
211212
x x
+>--，令2x
t =（0t >），()
()()111131
003110121221t t t t t t t t +++>-⇒+>⇒>⇒+->---，得1
3
t <-
（舍）或1t >，故210x x >⇒>，所以解集为()0,∞+；【小问2详解】
()()44421log 21log 2log 2
x
x
x
x g x -=--=，()()444log log 21log 21x
x
a af x --=+()()44212121log log 2212
x x x x x x
a
a -+-=⇒=+，故()()()44log log 21x
g x af x =--（0a >）在[]
2log 3,2上有解，
等价于()()
21212
x x x
a +-=
在[]
2log 3,2上有解，
令[]23,4x
t =∈，()()()()22121111
1
2x x x
t t t y t t
t
t
+-+--=
=
=
=-，[]3,4t ∈，
故函数1y t t
=-在[]3,4t ∈上单调递增，则当3t =，83y =
，当4t =，154y =，故815,34a ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
.18.随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难”问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图．
（1）按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图1所示数据计算限定高度CD 的值．（精确到0.1m ）（下列数据提供参考：sin 200.3420︒=，
cos 200.9397︒=，tan 200.3640︒=）
（2）在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图2所示，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，在其水平截面图为矩形ABCD ，它的宽AD 为1.8米，直线CD 与直角车道的外壁相交于E 、F ．①若小汽车卡在直角车道内（即A 、B 分别在PE 、PF 上，点O 在CD 上）PAB θ∠=（rad ），求水平截面的长（即AB 的长，用θ表示）
②若小汽车水平截面的长为4.4米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？【答案】（1）2.8m ；（2）①
3(sin cos ) 1.8
sin cos θθθθ+-，02
πθ<<；②小汽车能够顺利通过直角转弯车道.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，在两个直角三角形中，利用直角三角形边角关系计算作答.（2）①利用给定图形结合直角三角形锐角三角函数定义，用θ表示EF ，BE ，CF 即可作答；②由①的结论，利用换元法并借助函数单调性，求出AB 长的最小值作答.【小问1详解】
图1中：在ABE 中，90ABE ∠=︒，20BAE ∠=︒，tan BE
BAE AB ∠=
，又10AB =，则tan 10tan 20 3.640BE AB BAE =⋅∠=︒=(m)，而0.6BC =m ，有 3.040CE BE BC =-=(m)，在CED △中，CD AE ⊥，20ECD BAE ∠=∠=︒，cos CD
ECD CE
∠=
，则cos 3.040cos 20 3.0400.9397 2.8576CD CE ECD =⋅∠=︒=⨯≈(m)，结合实际意义，四舍五入会使车辆卡住，可以使用去尾法，则 2.8CD ≈m ，所以限定高度CD 的值约为2.8m.【小问2详解】
①图2中：依题意，则33cos sin EF OE OF θθ=+=
+，02
πθ<<， 1.8
tan DE θ=，tan 1.8tan CF BC θθ=⋅=，
又()AB DC EF DE CF ==-+，设()AB f θ=，
()33133sin cos 1.8tan 1.8cos sin tan cos sin cos sin f θθθθθθθθθθθ⎛
⎫⎛⎫=+-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3(sin cos ) 1.8
sin cos θθθθ+-=
，02
π
θ<<
；
②由①知，设sin cos t θθ+=
，则4t πθ=+
，1t <≤21
sin cos 2
t θθ-=，
则()()2223
6()
6 3.666
51611136325()3555
5
t t f g t t t t t t t θ--=====
-----+
-
-，
而t ∈，函数163625(3555
u t t =--+-
在上单调递增，则()26 3.61
t g t t -=-
在(
⎤⎦上是减函数，
于是得当t =，即π
4
θ=时，(
)
min 3.6 4.4g t g ==>，
所以小汽车能够顺利通过直角转弯车道.
【点睛】思路点睛：涉及含有sin cos αα+和sin cos αα的三角函数值域或最值问题，可以通过换元转化为整式函数或分式函数在某区间上的值域或最值问题解答.19.
已知函数()sin cos f x x x =-．
（1）求方程()cos 2f αα=在[]0,2π上的解集；（2）设函数()()3
ln 2
F x f x x =+
；（i ）证明：()y F x =有且只有一个零点；（ii ）记函数()y F x =的零点为0x ，证明：00211
ln sin 2333
x x -<+<．【答案】（1）π
5π3π,π,
,442⎧⎫⎨⎬⎩⎭
（2）（i ）证明见详解（ii ）证明见详解【解析】
【分析】（1）利用余弦二倍角公式化简方程，再结合辅助角公式即可
（2）（i ）根据三角函数的性质分区间研究函数的性质，利用零点存在定理可证明；（ii ）然后利用换元法求值域即可证明.【小问1详解】
22sin cos cos 2cos sin ααααα
-==-
所以(cos sin )(sin cos 1)0αααα-++=.所以cos sin 0αα-=或sin cos 1
αα+=-当sin cos 0αα-=时,cos 0α≠，则tan 1α=，又[0,2π]x ∈，所以π5π,44
x =当sin cos 1αα+=-，则π2
sin 42α⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭，又ππ9π[0,2π],,444x x ⎡⎤∈+∈⎢⎥⎣⎦
.所以π5π44x +
=或7π4
，所以3π
π,2x =所以方程()cos 2f αα=在[0,2π]上的解集为π
5π3π,π,,442⎧⎫⎨⎬⎩⎭
【小问2详解】
（i ）设3π3()sin cos ln ln ,(0,)242F x x x x x x x ⎛
⎫=-+
=-+∈+∞ ⎪⎝
⎭当3π0,4x 纟çÎúçú棼，则πππ,442x ⎛⎤
-∈- ⎥⎝⎦，
此时π4y x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭在3π0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增
3ln 2y x =
在3π0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦也单调递增，所以()F x 在3π0,4⎛⎤
⎥⎝⎦
单调递增π3ππππ3π
3π
ln 0,ln 1ln 0
42422422
22F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<=-+=+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()F x 在3π
0,
4x 纟çÎúçú
棼时有唯一零点
当3π5ππ3,0,ln 04442x x x ⎛⎫⎛
⎫∈->>
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，所以()0
F x >所以()F x 在3π5π,44x ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
没有零点
当5π,4x ⎡⎫
∈+∞⎪⎢
⎣⎭
时，5π53e 44>⨯>，所以33ln 22x >>()0
F x >所以()F x 在5π,4x ⎡⎫
∈+∞⎪⎢
⎣⎭
没有零点
综上,3
()sin cos ln 2
F x x x x =-+
在(0,)+∞有唯一零点0x （ii ）记函数()y F x =的零点为0x ，所以0003sin cos ln 02x x x -+=，且0ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，所以()0002
ln cos sin 3x x x =-所以()()00000000012122
ln sin 2cos sin sin 2cos sin sin cos 33333
x x x x x x x x x +
=-+=-+
令000πcos sin 4t x x x ⎛
⎫=-=
+ ⎪⎝⎭，因为0ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，所以(1,0)
t ∈-又2
0012sin cos t x x =-，则2
001sin cos 2
t x x -=
所以220012211221ln sin 2(1),33323333t x x t t -⎛⎫
+=+⋅
=--+∈- ⎪⎝⎭。