江苏省阜宁明达中学高三第一轮基础知识训练(11)(数学)

江苏省阜宁明达中学高三第一轮基础知识训练（11）（数学）
班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______
一、填空题（每题5分，共70分）
1．函数lg y x =的定义域为 ．
2．在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于= ．
3．曲线sin y x =在点（3
π
4．已知a,b 是非零向量，且满足(a -2b )⊥a ，(b -2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是 ．
5．当(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，则实数a 的取值范围是_______.
6.已知二次函数2()f x ax bx c =++，满足条件(2)(2)f x f x +=-，其图象的顶点为A ，又图象与x 轴交于点B 、C ，其中B 点的坐标为(1,0)-，ABC ∆的面积S =54，试确定这个二次函数的解析式 .
7．函数1(0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>
上，则11
m n
+的最小值为 ___________
8．设数列{a n }的前n 项和为n S ，点(,)(*)N n
S n n n
∈均在函数y =3x -2的图象上．则数列{a n }的通项公式为 ．
9．在圆225x y x +=内，过点53(,)22
有*()N n n ∈条弦，它们的长构成等差数列，若1a 为过该点最短弦的长,n
a 为过该点最长弦的长,公差11
(,)53
d ∈，那么n 的值是 ．
10．若直线y ＝x ＋m 与曲线1－y 2
＝x 有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为 11
．若cos2πsin()4
αα=-，则cos sin αα+的值为 ．
12．已知)4
tan(,52),,2
(),1sin 2,1(),sin ,2(cos π
αππ
ααα+=
⋅∈-==则若a 的值为 ．
13．把数列{}21n +依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数……循环下去，如：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），……，则第104个括号内各数字之和为 ．
14．已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且圆与直线3x + 4y +4 = 0相切，则圆的标准方程是______．
二、解答题（共90分，写出详细的解题步骤） 15．(本小题满分14分)
已知圆（x ＋4）2
＋y 2
＝25圆心为M 1，（x －4）2
＋y 2
＝1的圆心为M 2，一动圆与这两个圆都外切,求动圆圆心的轨迹方程.
16、(本小题满分14分)
在锐角．．△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=. （Ⅰ）求角B 的大小；(7分)
（Ⅱ）设(sin ,1),(3,cos 2)m A n A ==,试求m n ⋅的取值范围. (7分)
17、(本小题满分14分)
已知圆C:04422
2
=-+-+y x y x ,一条斜率等于1的直线L 与圆C 交于A,B 两点
(1) 求弦AB 最长时直线L 的方程 (2) (2)求ABC ∆面积最大时直线L 的方程
(3)若坐标原点O 在以AB 为直径的圆内,求直线L 在y 轴上的截距范围
18．（本小题满分16分）设椭圆122
22=+b
y a x (a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－2，0)，左准线 L 1 与x 轴交于点
N （－3，0），过点N 且倾斜角为300
的直线L 交椭圆于A 、B 两点； （1）求直线L 和椭圆的方程；
（2）求证：点F 1(－2，0)在以线段AB 为直径的圆上
19、（本小题满分16分）数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意*N n ∈，总有2
,,n n n a S a 成等差数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且2
ln n
n n a x b =，求证：对任意实数(]e x ,1∈（e 是常数，e ＝2．71828⋅⋅⋅）
和任意正整数n ，总有n T < 2.
本小题满分16分）设函数)1ln()(2
++=x b x x f ，其中0≠b . （1）若12b =-，求)(x f 在[1,3]的最小值；
（2）如果()f x 在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b 的取值范围； （3）是否存在最小的正整数N ，使得当N n ≥时，不等式311
ln
n n n n
+->恒成立. 参考答案
1． (0,1] 2． 42
3． 1()23y x π=-+
4． 60° 5． (1,2).
6. 222(2)182(2)18y x y x =--=---或. 7．2
8．65(*)N n a n n =-∈． 提示:(,
)n S n n 在32y x =-的图象上,故32,(32)n n S
n S n n n
=-=-,从而求出6 5.n a n =- 9． 11,12,13,14,15
提示:22225255()24x y x x y +=⇒-+=⇒ 圆心5(0)2C ，,半径5
,2
R =
故与PC 垂直的弦是最短弦，所以12a ==， 而过P 、C 的弦是最长弦，所以25,n a R == 由等差数列13
(1)52(1)1
n a a n d n d d n =+-⇒=+-⇒=
-， 11
()1016,*,111213141553
d n n N n ∈⇒<<∈=，因所以、、、、
10．（－2，－1］． 11．
1
2
提示：sin()sin cos
cos sin
cos )4
4
4
2
π
π
π
ααααα-
=-=
-
∴
cos2
sin()
4
α
π
α
==
-
1
cos sin
2
αα
⇒+=
12．
7
1
13．
提示：前面103个括号中共用了256个数，第104个括号有4个数分别是515，517，519，521，其和为．14．22
(2)4
x y
-+=
15．解：()
22
10
412
x y
x
-=>
16、解: (1) 因为(2a－c）cosB=bcosC,所以(2sinA－sinC）cosB=sinBcosC,…………(3分)
即2sinA cosB=sinCcosB＋sinBcosC= sin(C＋B)= sinA.
而sinA>0,所以cosB=
1
2
…(6分)
故B=60°……………………………………… (7分)
(2) 因为(sin,1),(3,cos2)
m A n A
==,所以m n ⋅=3sinA＋cos2A…………… (8分) =3sinA＋1－2sin2A=－2(sinA－
3
4
)2＋
17
8
…………………… (10分)
由
00
00
090
60
090
A
B
C
⎧<<
⎪
=
⎨
⎪<<
⎩
得
00
000
090
012090
A
A
⎧<<
⎨
<-<
⎩
,
所以00
3090
A
<<,从而
1
sin,1
2
A
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
……(12分)
故m n ⋅的取值范围是
17
2,
8
⎛⎤
⎥
⎝⎦
.……………………………………… (14分)
17、解：(1)L过圆心时弦长AB最大,L的方程为0
3=
-
-y
x…………… (4分)
(2)ABC
∆的面积ACB
ACB
CACB
S∠
=
∠
=sin
2
9
sin
2
1
,
当∠ACB=
2
π
时, ABC
∆的面积S最大,此时ABC
∆为等腰三角形
设L 方程为m x y +=,则圆心到直线距离为
223从而有22
32
|21|=++m m=0或m= -6 则L 方程为x-y=0或x-y-6=0…………… (8分) （3） 设L 方程为b x y +=
由)(044)1(220
442222
2*⎩⎨⎧
=-++++⇒=-+-++=b b x b x y x y x b x y 设),(),,(2211y x B y x A 则A,B 两点的坐标为方程(*)的解
⎩⎨
⎧--=++-<<--⇒⎭⎬⎫--=+>∆1
26
3263102121b x x b b x x AB 的中点坐标为M )21,21(
---b b AB=2
)2
|3|(92b +- 由题意知:|OM|<
AB 2
1
140432<<-⇒<-+⇒b b b …………… (14分)
18．解：（1）由题意知，c ＝2及32
=c
a 得 a ＝6 --------------------3分 ∴2262
2
=-=b
∴椭圆方程为12
62
2=+y x -----------------------5分 直线L 的方程为：y －0＝tan300
（x ＋3）即y ＝
3
3
（x ＋3）-----------8分 （2）由方程组⎪⎩
⎪⎨⎧+==+)3(33
6322x y y x 得 03622
=++x x -----------------10分 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 x 1＋x 2＝－3 x 1x 2＝
2
3
∵)2)(2()
3)(3(31
222121221111++++=+⋅+=⋅x x x x x y x y k k B
F A F
]
[14
)(239)(321212121-=++++++=
x x x x x x x x ----------------14分
∴0
11190=∠⊥B AF B F A F 则
∴点F （－2，0）在以线段AB 为直径的圆上 -----------------16分
19、（1）解：由已知：对于*
N n ∈，总有22n n n S a a =+ ①成立
∴21112n n n S a a ---=+ （n ≥ 2）②
①--②得2
1122----+=n n n n n a a a a a --------------4分
∴()()111----+=+n n n n n n a a a a a a ；∵1,-n n a a 均为正数，∴11=--n n a a （n ≥ 2）
∴数列{}n a 是公差为1的等差数列 ，又n =1时，2
1112S a a =+，解得1a =1
∴n a n =．（*
N n ∈） -------------8分
（2）证明：∵对任意实数(]e x ,1∈和任意正整数n ，总有2
ln n
n n a x b =
≤
21
n
． ∴()n n n T n 113212*********
22-++⋅+⋅+<+++≤
21
211131212111<-=--++-+-
+=n
n n --------16分
：（1）由题意知，)(x f 的定义域为),1(+∞-，
12b =-时，由2/
122212
()2011
x x f x x x x +-=-
==++，得2x =（3x =-舍去）， 当[1,2)x ∈时，/
()0f x <，当(2,3]x ∈时，/
()0f x >，
所以当[1,2)x ∈时，()f x 单调递减；当(2,3]x ∈时，()f x 单调递增， 所以min ()(2)412ln 3f x f ==-
（2）由题意2/
22()2011
b x x b f x x x x ++=+
==++在),1(+∞-有两个不等实根， 即2
220x x b ++=在),1(+∞-有两个不等实根，
设()g x =2
22x x b ++，则480(1)0
b g ∆=->⎧⎨->⎩，解之得1
02b <<；
（3）对于函数())1ln(2
+-=x x x f ，令函数())1ln()(2
3
3
++-=-=x x x x f x x h
则()1
)1(31123232
/
+-+=++-=x x x x x x x h ，()0),0[/
>+∞∈∴x h x 时，当 所以函数()x h 在),0[+∞上单调递增，又),0(,0)0(+∞∈∴=x h 时，恒有()0)0(=>h x h
即)1ln(3
2
++<x x x 恒成立.取),0(1+∞∈=
n x ，则有321
1)11ln(n
n n ->+恒成立. 显然，存在最小的正整数N=1，使得当N n ≥时，不等式321
1)11ln(n
n n ->+恒成立。