2020高考理科数学第8章-第5节

(1)利用直线与直线、直线与椭圆的位置
指 导
向
考 关系求交点坐标，再利用两直线垂直时斜率的关系列式以确
纲
考 向
定离心率．
演 实
战
(2)设出 l 的方程，由 l 与圆相切求离心率；设出点 P 的
沙 场
切
点
脉 搏 核
坐标(x，y)，结合二次函数的性质及|P→M·P→N|max＝49，求 C1 的
兵
心 突
演 实 战 沙
场
切 脉
点，P 为椭圆 C 上的一点，且P→F1⊥P→F2.若△PF1F2 的面积为
点 兵
搏
核 心
9，则 b＝________.
突
破
课
时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
养
【解析】 由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，P→F1⊥P→F2，
满 分
研
指
动 向
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
演 实
战
∴3b4＝4a2c2，∴ 3b2＝2ac，
沙
场
切 脉
即 3(a2－c2)＝2ac，
纲
考 向
的中心为原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率为 22.过 F1 的
演 实 战
沙
切 直线 l 交 C 于 A，B 两点，且△ABF2 的周长为 16，那么 C 的
场 点
脉
兵
搏 核
方程为________．
心
突
破
课
时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
养
满
分
研 动 向
【解析】 根据椭圆焦点在 x 轴上，可设椭圆方程为ax22＋
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
【解】
由题意，A(a,0)，B(0，b)，F1(－c,0)，O(0,0)．
养 满
分
研 动
∵OP∥AB，
指 导
向
考 纲 考
∴kOP＝kAB＝－ba，
演
向
实
因此直线 OP 的方程为 y＝－bax，
战 沙 场
切
点
脉 搏 核
代入椭圆ax22＋by22＝1，得 x＝± 22a，
场 点
脉
兵
搏 核
PF1F2 的面积为(
)
心
突
A．30
B．25
C．24
D．40
破
课
时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
养
研 动
(2)(2014·大纲全国卷)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的
满 分 指 导
向
考 纲 考
左、右焦点为 F1、F2，离心率为 33，过 F2 的直线 l 交 C 于 A、 演
满
分
研
考查角度[椭圆的几何性质]
指
动
导
向 考 纲 考
3．(2012·课标全国卷)设 F1，F2 是椭圆 E：ax22＋by22＝1(a>b>0) 演
向
实
的左、右焦点，P 为直线 x＝32a上一点，△F2PF1 是底角为 30°
战 沙 场
切
点
脉 的等腰三角形，则 E 的离心率为( )
兵
搏
核
心
1
2
3
4
突 破
指 导
纲 考
2b2＝3ac.
演
向
实
将 b2＝a2－c2 代入 2b2＝3ac，
战 沙
场
切 脉 搏
解得ac＝12，ac＝－2(舍去)．
点 兵
核
心 突 破
故 C 的离心率为12.
课
时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
(2)由题意，原点 O 为 F1F2 的中点，MF2∥y 轴，
养 满
分
研 动
所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点，
破
课
时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
养
满
分
研
指
动
导
向 考
[基础真题体验]
纲
考 向
考查角度[椭圆的定义及标准方程]
演 实
战
切
1．(2011·课标全国卷)椭圆1x62 ＋y82＝1 的离心率为(
沙
)场 点
脉
兵
搏 核 心 突
1 A.3
1
3
B.2
C. 3
2 D. 2
破
课
时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
养
满
分
研
指
动
导
向
考 纲 考
代入 C 的方程，得49ac22＋b12＝1.②
演
向
实
将①及 c＝ a2－b2代入②得9a42－a24a＋41a＝1.
战 沙 场
切
点
脉 搏
解得 a＝7，b2＝4a＝28，故 a＝7，b＝2 7.
兵
核
心
突
破
课
时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
养
[命题规律预测]
满
实 战
沙
切 脉
(1)若直线 MN 的斜率为34，求 C 的离心率；
场 点 兵
搏
核 心
(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|＝5|F1N|，求
突
破 a, b.
课
时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
养
b2
满 分
研 动 向 考
【解】
(1)根据 c＝
a2－b2及题设知 Mc，ba2，2ac＝34，
考
演
向
＋(y－3)2＝1 的一条直径，若与 AF 平行且在 y 轴上的截距为
实 战
沙
切 3－ 2的直线 l 恰好与圆 C2 相切．
场 点
脉
兵
搏 核
①求椭圆 C1 的离心率；
心 突 破
②若P→M·P→N的最大值为 49，求椭圆 C1 的方程．
课
时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
养
满
分
研 动
【思路点拨】
提
素
养
满
分
研
指
动
导
向 考 纲
【解析】 在1x62 ＋y82＝1 中，a2＝16，b2＝8，c2＝a2－b2
考
演
向 ＝16－8＝8，∴c＝2 2，∴e＝ac＝242＝ 22，故选 D.
实 战 沙
场
切
点
脉
【答案】 D
兵
搏
核
心
突
破
课
时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
养
满
分
研
指
动
导
向 考
2．(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C
所以该椭圆方程为1x02 ＋y52＝1.
破
课
时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
养
满
考向二 椭圆的几何性质
分
研
指
动
导
向
考
[典例剖析]
纲
考
演
向
【例 2】
(1)(2014·江西高考)设椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b
实 战 沙
场
切 脉
＞0)的左右焦点为 F1，F2，过 F2 作 x 轴的垂线与 C 相交于 A，
高三总复习·数学(理)
提
高考数学
素 养
满
分
研
指
动
导
向
考
纲
考
演
向
第五节 椭 圆
实 战
沙
场
切
点
脉
兵
搏
核
心
突
破
课
时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
养
满
分
研
指
动
导
向
考
纲
考
演
向
考纲要求：1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程.2. 实
战
掌握椭圆的简单几何性质.3.理解数形结合思想．
沙 场
切
点
脉
兵
搏
核
心
突
高三总复习·数学(理)
提
素
养
满
分
研
指
动
导
向
考 纲 考 向
2．已知 F1，F2 是椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，
演 实
战
A，B 分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P 是椭圆上一点，OP
沙 场
切
点
脉 搏
∥AB，PF1⊥x 轴，|F1A|＝ 10＋ 5，求椭圆的方程．
兵
核
心
突
破
课
时
提
沙 场
切
点
脉 搏 核
∴e＝ac＝34.
兵
心
突 破
【答案】 C
课
时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
养
满
研 动
4．(2014·课标全国卷Ⅱ)设 F1，F2 分别是椭圆 C：ax22＋by22
分 指 导
向
考 纲
＝1(a>b>0)的左、右焦点，M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直，
考
演
向 直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.
点 兵
搏
核 心
B 两点，F1B 与 y 轴相交于点 D，若 AD⊥F1B，则椭圆 C 的
突
破 离心率等于________．
课
时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
养
满
研 动
(2)(2014·洛阳模拟)已知椭圆 C1：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的右
分 指 导
向
考 纲
焦点为 F，上顶点为 A，P 为 C1 上任一点，MN 是圆 C2：x2
脉 搏 核 心
∴直线 BF1：y－0＝－2ba2c(x＋c)．
兵
突
破
令 x＝0，则 y＝－2ba2，
课 时 提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
研 动 向
∴D0，－2ba2 ，∴kAD＝ba2＋c 2ba2 ＝23abc2.
养 满 分 指 导
考 纲 考 向
由于 AD⊥BF1，∴－2ba2c·23abc2＝－1，
心
突 破
∵|F1F2|＝10，∴PF1⊥PF2.
课
时
∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝12×8×6＝24.
提 升 练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
养
满
研 动
(2)由 e＝ 33得ac＝ 33①.
分 指 导
向
考 纲
又△AF1B 的周长为 4 3，由椭圆定义，得 4a＝4 3，得
考 向
a＝ 3，代入①得 c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，故 C 的方程为x32＋
方程．
破
课
时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
【解析】 (1)直线 AB：x＝c，代入ax22＋by22＝1，得 y＝±ba2.
养 满 分
研
指
动 向 考 纲
∴Ac，ba2，Bc，－ba2.
导
考 向
切
∴kBF1＝c－－ba2－－c0＝－2cba2＝－2ba2c.
演 实 战 沙 场 点
A.2
B.3
C.4
D.5
课
时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
养
【解析】 由题意，知∠F2F1P＝∠F2PF1＝30°，
满 分
研
指
动 向
∴∠PF2x＝60°.
导
考
纲 考 向
∴|PF2|＝2×32a－c＝3a－2c.
演 实
战
∵|F1F2|＝2c，|F1F2|＝|PF2|，∴3a－2c＝2c，
兵
核
心
突
破
课
时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
2．待定系数法求椭圆方程的解题步骤如下：
提 素
养
满
分
研
指
动
导
向
考
纲
考
演
向
实
战
沙
场
切
点
脉
兵
搏
核
心
突
破
课
时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
养
满
分
研
指
动
导
向 考
[对点练习]
纲
考 向
1．已知 F1，F2 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的两个焦
演 实 战 沙
场
切 脉 搏
y22＝1.
点 兵
核
心 突
【答案】 (1)C (2)A
破
课
时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
养
满
分
研
指
动
导
向
考
1．焦点三角形的应用
纲
考 向
椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为
演 实
战
“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定
沙 场
切
点
脉 搏
理可求|PF1||PF2|；通过整体代入可求其面积等．
兵
心
突
破
由 PF1⊥x 轴，知 x＝－ 22a，
课 时 提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
养
满
分
研 动 向
从而－ 22a＝－c，即 a＝ 2c，①
指 导
考
纲 考 向
又|F1A|＝a＋c＝ 10＋ 5，②
演 实
联立①②，得 a＝ 10，c＝ 5，
战 沙
场
切 脉
∴b2＝a2－c2＝5，
点 兵
搏 核 心 突
指 导
考
纲 考 向
by22＝1(a＞b＞0)，∵e＝ 22，∴ac＝ 22，根据△ABF2 的周长为
演 实 战
切 脉
16，得 4a＝16，∴a＝4，b＝2 2，∴椭圆方程为1x62 ＋y82＝1.