2019年天津市红桥区高考数学一模试卷(文科)

第5页（共19页）
4．（5 分）已知 a＝log34，
，
，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞b＞a
D．c＞a＞b
【考点】4M：对数值大小的比较． 菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．
【分析】容易得出
，
，从而得出 a，b，c 的大
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）若 i 为虚数单位，则 ＝（ ）
A．i
B．﹣i
C．1
D．﹣1
【考点】A5：复数的运算． 菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解： ＝
A．
B．
C．π
D．2π
【考点】H1：三角函数的周期性；H2：正弦函数的图象． 菁优网版权所有
【专题】57：三角函数的图象与性质． 【分析】根据 f（x）＝2sin（ωx+ ），再根据曲线 y＝f（x）与直线 y＝1 的交点中，相
邻交点距离的最小值为 ，正好等于 f（x）的周期的 倍，求得函数 f（x）的周期 T 的 值． 【解答】解：∵已知函数 f（x）＝ sinωx+cosωx＝2sin（ωx+ ）（ω＞0），x∈R，
（3）确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．
（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．
3．（5 分）若 p：∀x∈R，sin x≤1，则（ ）
A．¬p：∃x0∈R，sin x0＞1
B．¬p：∀x∈R，sin x＞1
C．¬p：∃x0∈R，sin x0≥1
D．¬p：∀x∈R，sin x≥1
A．¬p：∃x0∈R，sin x0＞1
C．¬p：∃x0∈R，sin x0≥1
C．3
D．1
）
B．¬p：∀x∈R，sin x＞1
D．¬p：∀x∈R，sin x≥1
4．（5 分）已知 a＝log34，
，
，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞b＞a
D．c＞a＞b
5．（5 分）若 a＞0，b＞0，且 a+b＝4，则下列不等式恒成立的是（ ）
6．（5 分）设{an}是公比为 q 的等比数列，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；87：等比数列的性质． 菁优网版权所有
【专题】54：等差数列与等比数列；5L：简易逻辑．
18．（13 分）设等差数列{an}的公差为 d，d 为整数，前 n 项和为 Sn，等比数列{bn}的公比 为 q，已知 a1＝b1，b2＝2，d＝q，S10＝100，n∈N*． （1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）设
，求数列{c 分别是椭圆
二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．（5 分）已知集合 U＝{（x，y）|x2+y2≤1，x∈Z，y∈Z}，则集合 U 中的元素的个数为 5 ．（用
数字填写） 【考点】1A：集合中元素个数的最值．
菁优网版权所有
【专题】32：分类讨论；5B：直线与圆． 【分析】集合 U 的元素代表单位圆圆周及其内部的点，分坐标轴和象限进行讨论，即可 得到结论． 【解答】解：集合 U 的元素代表单位圆圆周及其内部的两坐标皆为整数的点，
2019 年天津市红桥区高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）若 i 为虚数单位，则 ＝（ ）
A．i
B．﹣i
C．1
D．﹣1
2．（5 分）设变量 x，y 满足约束条件
，则目标函数 z＝y﹣2x 的最大值为（ ）
A．7
B．5
3．（5 分）若 p：∀x∈R，sin x≤1，则（
围棋
武术
人数
320
240
200
为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 n 的样
本，已知从“围棋”社团抽取的同学比从“街舞”社团抽取的同学少 2 人．
第2页（共19页）
（Ⅰ）求三个社团分别抽取了多少同学； （Ⅱ）若从“围棋”社团抽取的同学中选出 2 人担任该社团活动监督的职务，已知“围 棋”社团被抽取的同学中有 2 名女生，求至少有 1 名女同学被选为监督职务的概率． 17．（13 分）如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别 BD、BC 的中点，AB＝AD＝ ，CA＝ CB＝CD＝BD＝2． （1）求证：AO⊥平面 BCD； （2）求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值大小； （3）求点 E 到平面 ACD 的距离．
的值为
．
12．（5 分）运行如图所示的程序，输出结果为
．
13．（5 分）平面 α 截球 O 所得的截面圆的半径为 1，球心 O 到平面 α 的距离为 ，则此
球的体积为
．
14．（5 分）已知函数 f（x）＝
，g（x）＝f（x）+x+a，若 g（x）存在 2 个零
点，则实数 a 取值范围是
．
三、解答题：本大题共 6 个小题，共 80 分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【解答】解：双曲线 C： ﹣y2＝1 的渐近线方程为：y＝
，渐近线的夹角为：
60°，不妨设过 F（2，0）的直线为：y＝
，
则：
解得 M（ ， ），
解得：N（
），
第7页（共19页）
则|MN|＝
＝3．
故选：B． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 8．（5 分）已知函数 f（x）＝ sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，在曲线 y＝f（x）与直线 y＝1 的交点中，若相邻交点距离的最小值为 ，则 f（x）的最小正周期为（ ）
．
故选：B． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
2．（5 分）设变量 x，y 满足约束条件
，则目标函数 z＝y﹣2x 的最大值为（ ）
A．7
B．5
C．3
D．1
【考点】7C：简单线性规划． 菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．
第1页（共19页）
D．2π
9． （5 分）已知集合 U＝（{ x，y）|x2+y2≤1，x∈Z，y∈Z}，则集合 U 中的元素的个数为 数字填写）
． （用
10．（5 分）已知函数
，则 f（x）的最大值为
．
11．（5 分）圆 C：（x﹣1）2+y2＝1 的圆心到直线 l：x﹣y+a＝0（a＞0）的距离为 ，则 a
15．（13 分）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c．已知 bsinA＝3csinB，a
＝3，cosB＝ ．
（1）求 b 的值； （2）求 sin（2B﹣ ）的值．
16．（13 分）根据调查，某学校开设了“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团，三个社团参加 的人数如表所示：
社团 街舞
在曲线 y＝f（x）与直线 y＝1 的交点中，若相邻交点距离的最小值为 ，正好等于 f（x）
的周期的 倍，
设函数 f（x）的最小正周期为 T，则 ＝ ，∴T＝π， 故选：C． 【点评】本题主要考查函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象特征，得到 正好等于 f（x）的周
期的 倍，是解题的关键，属于中档题．
（a＞b＞0）的左、右焦点，|F1F2|＝2，
直线 l 过 F1 且垂直于 x 轴，交椭圆 C 于 A、B 两点，连接 A、B、F2，所组成的三角形为 等边三角形． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）过右焦点 F2 的直线 m 与椭圆 C 相交于 M、N 两点，试问：椭圆 C 上是否存在点 P，
使
成立？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比 q＝2＞1，但{an}不是递增数列， 充分性不成立．
若 an＝﹣1
为递增数列，但 q＝ ＞1 不成立，即必要性不成立，
故“q＞1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件， 故选：D． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值 法是解决本题的关键．
7．（5 分）已知双曲线 C： ﹣y2＝1，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C
的两条渐近线的交点分别为 M，N．若△OMN 为直角三角形，则|MN|＝（ ）
A．
B．3
C．2
D．4
【考点】KC：双曲线的性质． 菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4：解题方法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出 MN 的坐标，然后求解|MN|．
20．（14 分）已知函数 f（x）＝x3+ax2﹣a2x+3，a∈R． （1）若 a＜0，求函数 f（x）的单调减区间； （2）若关于 x 的不等式 2xlnx≤f'（x）+a2+1 恒成立，求实数 a 的范围．
第3页（共19页）
2019 年天津市红桥区高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
小关系． 【解答】解：
，
；