初三数学圆的讲点讲义-新课教材

24.1.1 圆
24.1.2 垂直于弦的直径 24.1.3 弧、弦、圆心角 24.1.4 圆周角》（1） 24.1.4 圆周角》（2）
24.2.1 点和圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系（1）
24.2.2 直线和圆的位置关系（2） 24.2.2 直线和圆的位置关系（3） 24.2.2 直线和圆的位置关系（4） 24.2.3 圆和圆的位置关系 24.3 正多边形和圆 24.4 弧长与扇形面积
24.4 弧长和扇形面积（2） 第24章 圆复习课（一）导学案 第24章 圆复习课（二）导学案 第24章 圆复习课（三）导学案 第24章 圆复习课（四）导学案
圆新课讲义
24.1.1 《圆》
学习目标
1．了解圆的两种定义，理解弧、弦、半圆、直径等有关概念. 2．了解圆是圆周而非圆面，理解等圆、等弧的概念. 学习重点：了解圆的两种定义，理解弦、弧等相关概念 学习难点：理解等圆、等弧的概念。

学习过程 一．自主学习
1．为什么车轮要做成圆形的？ 2．你是怎样画圆的？根据画圆的不同方法，你能描述一下形成圆的过程吗？ 二．探索新知
1．圆的两种定义：
动态：在一个平面内，线段OA 绕着它 旋转一周， 形成的图形叫做圆。

静态：圆心为O 、半径为r 的圆可以看作是 . 例如：半径是3cm 的圆可以看作 .
确定一个圆有两个要素，一是______，二是______，_____确定圆的位置，_____确定圆的大小.
__________相等的圆叫等圆，___________相同的圆叫同心圆. 2．圆中相关概念
如图1：_____________叫做圆心，__________叫做半径，以O 为圆心的圆记做_____.
① 连接圆上任意两点的线段叫做 ；过圆心的弦叫做 ；圆中最长的弦是_____； ② 圆上任意两点之间的部分叫做______，弧AB 记做______；圆的任意一条直径的两
个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做______；比半圆长的弧叫做_____，比半圆短的弧叫做____.
③ 能够重合的圆叫做_________；能够重合的弧叫做_____________. 三。

应用新知
例1 判断正误：
⑴弦是直径.（ ） ⑵过圆心的线段是直径.（ ） ⑶半圆是最长的弧.（ ） ⑷等弧是长度相等的弧.（ ）
例2 如图，已知CD 是⊙O 的直径，∠EOD=78°，AE 交⊙O 于点B ，且AB=OC ，求∠A 的度数.
四．发现总结
1．确定圆的条件是_____和______,其中圆心定______，半径定____________。

2．在解决圆中的有关证明和计算时，经常要用__________来提供线段相等的条件，所以圆中常见辅助线之一是________. 五．巩固提高
如图所示，已知在⊙O 中，直径MN=10，正方形ABCD 的四个顶点分别在半径OM 、OP 上以及⊙O 上，并且∠POM=45°，求AB 的长.
图1A O B D O P A C
六.课堂检测
1．下列说法中：①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；③圆中最长的弦是直径；④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧。

其中正确的个数是：
A．1个 B.2个 C.3个 D.4个
2．若AB是⊙O弦，且⊙O的半径为3，则弦AB的长为：（）
A.3＜AB＜ 6
B.3≤AB≤6
C.0＜AB＜ 6
D.0＜AB≤6
3．点P到圆上的点的最大距离为5，最小距离是1，则此圆的半径为（）
A．3 B.2 C.3或2 D.6或4
4．如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm2,则该半圆的半径为（） cm B. 9 cm
A. (45)
C. 45cm
D.62cm
5．如图，C为⊙O直径AB的延长线上一点，点D为⊙O上一点，CD交⊙O于点E，AB=2CE，∠A=60°，求∠C的度数.
6．如图，已知AB、CD为⊙O的两条直径，M、N分别是AO、BO的中点.
（1）求证：四边形CMDN是平行四边形
（2）四边形CMDN能是菱形吗？若能，需要添加什么条件？
七．学习感悟
24.1.2 《垂直于弦的直径》
学习目标
1．理解圆的轴对称性，了解拱高、弦心距等概念；
2．使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。

学习重点：“垂径定理”及其应用
学习难点：垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明。

学习过程
一．自主学习
同学们能不能找到图1这个圆的圆心？拿出手中的圆形纸片试一试.
问题：①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆__________.
图1
②刚才的实验你说明什么？由此你能得到什么结论？
二.探索新知 1.垂径定理
思考：如图2，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足E.
⑴这个图形是对称图形吗？
⑵你能发现图中有哪些相等的线段和弧？ ⑶你能用几何方法证明这些结论吗？
⑷你能用一句话概括上述命题吗？
垂径定理：（文字表述）________________________________. （符号语言）∵___________，___________；
∴___________，___________，___________.
2．垂径定理的推论 思考：（将上述垂径定理的题设和结论稍作调整）如上图，若直径CD 平分弦AB 则： ⑴直径CD 是否垂直且平分弦所对的两条弧？为什么？ ⑵如果弦AB 是直径，以上结论还成立吗？ 垂径定理的推论：（文字表述）平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且___________.
（符号语言）∵___________，___________；
∴___________，___________，___________.
3．观察下列各图，能否得到AE=BE 的结论？为什么？你能得出相关的结论吗？
结论：对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①__________、②___________、③___________、④___________、⑤__________ ，那么五个条件中满足任何其中两个条件都能推出其他三个结论. 三．应用新知
例1 完成课本问题中，求出赵州桥的主桥拱的半径。

例2 如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，过C 、D 分别作CN ⊥CD 、DM•⊥CD ，• 分别交AB 于N 、M ，请问图中的AN 与BM 是否相等，说明理由．
四．发现总结
1．垂径定理的推论中要注意哪个附加条件？为什么？
2．在圆中，线段的有关计算经常要运用垂径定理，过_____作___________作为辅助线，形成基本图
形_____________(简要画出来)，构造______三角形，利用________定理建立方程模型，将圆中________、________、________等相关量联系起来。

这几个量之间有哪些转化方式？ 五．课堂检测
1．如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O ，另一边所在直线与半圆相交于点D 、E ，量出半径OC=5cm ，弦DE=8cm 。

则直尺的宽是______。

2．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________，最长弦长为_______． 3．如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E ，且AB=CD ，已知CE=1，ED=3，则 ⊙O 的半径是 ．
图2
图3-1 图3-2 图3-3
B
A
N
M B A 4．如图，已知半径为5的⊙O 与y 轴交于点M （0，－4），N （0，－10），函数x
k
y
（x<0）的图像过点P ，则k=______.
(第1题图 ) (第3题图) (第4题图) (第5题图) 5．在圆柱形油槽内装有一些油。

截面如图，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油 后， 油面AB 上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN 为（ ） A.6分米 B.8分米 C.10分米 D.12分米
6．如图，已知△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，且AE 是⊙O 的直径， AD 是△ABC 的边BC 的高，EF ⊥BC ，求证:BF=CD.
7．如图，在平面直角坐标系中，⊙D 与坐标分别相交于A(－，0)，B(，0)，C(0，3)三点． (1)求⊙D 的半径；
(2)E 为优弧AB 上的一动点(不与A ，B ，C 三点重合)，EN ⊥x 轴点N ，M 为半径DE 的中点，连接MN ，求证∠DMN ＝3∠MNE ；
(3)在(2)的条件下，当∠DMN ＝45°时，求E 点的坐标．
六．学习感悟
x y N
M O
P O F
E
D C B
O E D C B A
24.1.3《弧、弦、圆心角》
学习目标
1．理解圆的旋转不变性。

掌握圆心角的概念，学会辨别圆心角。

2．掌握以及弧、弦、圆心角之间的相等关系并能运用这些关系解决有关证明、计算问题. 学习重点：圆心角、弦、弧之间的相等关系.
学习难点：运用圆心角、弦、弧之间的相等关系解决有关证明、计算问题. 学习过程
一．自主学习
1．圆是轴对称图形，对称轴是___________，有_____条；圆是中心对称图形，对称中心是______.
将一个圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与原来的圆______，圆具有______性. 2．如图1，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在_________的角叫做圆心角． 3．如图2，在⊙O 中，∠AOB=∠A ′O B ′，将∠A ′O B ′绕着圆心O 旋转到∠AOB ，有哪些量能相等？
2
二．探索新知
上面观察得到的结论，你能用圆的相关知识来说明理由吗？ 思考：上述的结论还成立吗？
因此，我们可以得到下面的定理：____________________________________________. 同样，还可以得到：
在__________中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角____，•所对的弦也____．
在__________中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角____，•所对的弧也____.
由上面定理我们不难得到：在同圆或等圆中，_______、_______、_______三组量中，只要有一组量相等，其余的两个量也相等. 三．应用新知 例1 根据如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，
（1）如果AB=CD ，那么_________，__________。

（2）如果AB = CD ，那么_________，__________。

（3）如果∠AOB=∠COD ，那么_________，__________。

（4）AB=CD ，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ．则OE____OF.证明你的结论.
例2 如图，在⊙O 中， AB = AC ，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
O
C B A B '
四．发现总结
1．在圆心角的性质中定理中，为什么要说“同圆或等圆”？能不能去掉？
2．证明圆中弧、弦、圆心角相等通常可以依据__________定理，通过证明本量中以外的量相等的
来实现. 五．巩固提高
1．如图1和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD•相交于MN•上的一点P，•∠APM=∠CPM．
（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．
（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
（图1）（图2）
六．课堂检测
1．下列说法正确的有（）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；
③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD关系是（）
A.AB = 2 CD
B.AB > 2 CD
C.AB < 2 CD
D.不能确定
3．如图1，AB是⊙O的直径，C、D分别为OA、OB的中点，CE⊥AB，DF⊥AB，分别交⊙O
于E、F两点.下列结论：①CE=DF；②AE=EF=FB；③AF=2CE；④四边形CDFE为正方形.
其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
图1 图2 图3
4．如图2，AB是直径，BC= CD = DE，∠COD=35°，则∠AOE的度数为______.
5．如图3，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________．
6．如上图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，⊙A交AD、BC于E、F，延
长BA交⊙A于点G，求证：GE = EF .
7．如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，
且∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（不与点O重合），直线CP
与⊙O相交于点Q，是否存在这样的点P，使得QP=PO？若存在，满足条
件的点有几个？求出相应的∠OCP的度数；若不存在，说明理由.
l
A
B O
C
P
E
F
D
A
C
B
G
O
E
D
C
B
A
O
F
E
D
C
B O
E D
C
A
24.1.4《圆周角》（1）
学习目标
1．使学生理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并运用它们进行论证和计算. 2．了解分类思想和完全归纳的思想.
学习重点：圆周角的概念、圆周角定理及其推论在论证和计算中的应用. 学习难点: 了解分类思想和化归思想. 学习过程
一．自主学习
1．圆周角定义: 叫圆周角. 2．判断下列各图形中的是不是圆周角.
（A ）2个， （B ）3个， （C ）4个， （D ）5个。

3．圆周角的两个特征： ① 角的顶点在 ；② 角的两边都 . 4．分别度量下图中AB 所对的两个圆周角∠C ，∠D 的度数，比较一下，∠C_____∠D.
变动点C 的位置，圆周角的度数有没有发生变化？ （1）一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？
（2）同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？
（3）同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？
从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出： 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_____，都等于 的 的一半. 二．探索新知
如图所示，在⊙O 任取一个圆周角∠BAC ，将圆对折，使折痕经过圆心O 和圆周角的顶点C ，这时折痕可能下图出现三种情况：
你能分别证明这三种情况中 AB 所对的圆周角等于它所对圆心角的一半的结论吗？
（1）如图1，当圆周角∠BAC 的一边AB 刚好是折痕（⊙O 的直径）时；
（2）如图2，当圆周角∠BAC 的两边AB 、AC 在折痕(⊙O 的直径AD)的两侧时； O
A D B
C
（3）如图3，当圆周角∠BAC的两边AB、AC在折痕(⊙O的直径AD)的同侧时。

问题1：如图，在⊙O中，若圆周角∠BAC=∠DEF，那么AC =DF 吗？为什么？
结论:___________________________________________
三．应用新知
例1 如图，点A、B、C、D都在同一个圆上，四边形ABCD的对角线将4个内角分成的8个角中，相等的角有几对？请分别指出来.
例2 如图，OA=OB=OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，求证：∠ACB=2∠BAC.
例3 已知:四边形ABCD的四个顶点都在圆上，且AB∥CD . 求证:AB=CD
O
D
B
A
O
C
B
A
8
7
6
5
4
3
21
D
C
B
A
四．发现总结
1．在圆中进行角的转化与计算通常要用到_____________________.
2．数学思想方法：在证明圆周角定理中用到________思想和_______思想. 五．巩固提高
如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，点P 是CAD 上的一点，（不与C 、D 重合） （1）求证：∠CPD=∠COD.
（2）如图 2，若点P 在劣弧CD 上（不与C 、D 重合），∠CPD 与∠COD 的数量关系是否发生变化？写出结论，并画图证明.
图1 图2
六．课堂检测
1．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上．点A 、B 的读数分别为86°、30°，则∠ACB 的大小为（ ）
A ．15︒
B ．28︒
C ．29︒
D ．34︒
2．如图2，△ABC 内有一点D ，且DA=DB=DC ，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC 的大小是（ ） A.100° B.80° C.70° D.50°
3．如图3，在⊙O 中，弦BE 与CD 相交于点F ，CB 、ED 的延长线交于点A ，如果∠A=30°, D C P
D C A
图2D C B
A
图3O E F D B
4．如图4，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，AD 、BE 是高，交点为H ，BE 的延长线交⊙O 于F ，下列结论：①∠BAO=∠CAD ；②AO=AH ；③DH=DC ；④EH=EF ，其中正确的的结论（ ）
A ．①② B. ②③ C. ①④ D. ③④
5．如图5，在⊙O 中，弦CD 垂直于直径AB ，E 为劣弧CB 上的一动点(不与B 、C 重合)，DE 交弦BC
于点N ，AE 交半径OC 于点M ，在E 点运动过程中，∠AMC 与∠BNE 的大小关系为（ ）
A ．∠AMC>∠BNE B. ∠AMC=∠BNE
C. ∠AMC<∠BNE
D. 随着E 点的运动以上三种关系都有可能
6．如右图，在⊙O 中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=32cm ，
（1）求∠ABC 的度数； （2）求⊙O 的面积
7．如下图，在平面直角坐标系中，M 为x 轴上的一点，⊙M 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，P 为BC 上的一个动点，CQ 平分∠PCQ ，A （－1，0）,C （0，3）.
（1）求M 点的坐标.
（2）当P 点运动时，线段AQ 的长度是否发生变化？若变化请求出其值，若改变说明理由.
图4O F H E D C
B
A
y x M
O Q
P
D
C
B A
图5O N M E D C
B
A
24.1.4《圆周角》（2）
学习目标
1．认识圆内接四边形，理解并掌握圆内接四边形的性质. 2．灵活运用圆的性质解决相关问题. 学习重点：圆内接四边形及其性质. 学习难点: 运用圆的性质解决相关问题. 学习过程
一．自主学习
1．如图1，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任一点，你能确定∠ACB 的度数吗?为什么？ 2．如图2，圆周角∠BCA=90º，弦AB 经过圆心O 吗？为什么？ 我们还可以得到圆周角定理的推论：
在_______或______中，如果两个______相等，那么_____________一定相等。

半圆（或直径）所对的圆周角是_______，90°的圆周角所对的弦是________.
图1 3．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做__________________；这个圆叫做________________.
4．思考：圆内接四边形的对角有什么关系？为什么？
这样，我们利用圆周角定理，得到圆内接四边形的一个性质：______________________. 二．探索新知
思考1 你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？说说你有多少种方法？
思考2 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是_____三角形。

请证明这个结论.
三．应用新知
例1 如图，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ， (1)求BC 、BD 、AD 的长。

(2)求CD 的长。

例2 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的圆O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，
（1 BD = DE ；
（2）连接BE ，如果BC=6，AB=5，求BE 的长．
O E
D C
B A O
C B A
图3O D C B A
O
四．发现总结
1．解决圆周角的问题时常根据_______所对的圆周角是______作为依据，添加辅助线构造______三角形.
2．求三角形的高的常用方法有哪些？ 五．巩固提高
如图，点D 为Rt △ABC 斜边AB 上的一点，以CD 为直径的圆分别交△ABC 三边于点E 、F 、G 三点，连
EF 、FG.（1）求证：∠EFG =∠B ； （2）若AC=2BC=54，D 为AE 的中点，求CD 的长.
六．课堂检测
1．如图1，若AB 是⊙0的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=58°， 则∠BCD=（ ） A.116° B.32° C.58° D.64°
2．如图2，⊙O 的直径AB=13，弦AC=5，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，则CD 的 长（ ） A. 7 B. 9 C.
22
17
D. 29 3．如图3，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD ＝105°，则∠DCE=____________.
4．如图4，AB 是半圆O 的直径，D 为 AC 的中点，∠B=40°，求∠C 的度数为________.
图1 图2 图3 图4
5．如图，AB 为⊙O 的直径，点Q 在弦BC 的延长线上，且∠PCQ=∠PCA. （1）求证：PA=PB ； （2）求PC
BC AC 的值.
6．如图，BC 为⊙O 的直径，F 是半圆上异于B 、C 的一点，A 是弧BF 的中点，AD ⊥BC ，垂足为D ，BF 交AD 于点E.
（1）求证：AE = BE.
（2）若⊙O 的半径为5，AD= 4，求AE 的长.
O A
B
D C
D
G
E F
B A
C Q P
O
C
B O
C
D E B
A
24.2.1《点和圆的位置关系》
学习目标
1．理解并掌握点和圆的三种位置关系。

2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．了解反证法的证明思想．
学习重点：理解并掌握点和圆的三种位置关系。

学习难点: 理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．反证法的证明思想． 学习过程
一．自主学习
1．平面上的一个圆把平面上的点分成哪几个部分？
2．点与圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为OP=d ，
点P 在________⇔_________；点P 在________⇔_________；点P 在________⇔_________. 二．探索新知
1．（1）经过已知点A 作圆，你能作出几个这样的圆？
（2）经过已知点A 、B 作圆，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB 有什么关系？为什么？
（3）作圆，使该圆经过已知点A 、B 、C 三点（其中A 、B 、C 三点不在同一直线上），你是如何做的？你能作出几个这样的圆？
由此得到：
经过__________的三点确定一个圆。

经过三角形的三个顶点可以作__________，这个圆叫做__________.外接圆的圆心叫做__________．三角形的外心是_____________________，它到______________距离相等.一个三角形的外接圆有_____个，一个圆的内接三角形有_______个.
思考：任意四个点是不是可以作一个圆？请举例说明.
2．思考：经过同一条直线上的三个点能做出一个圆吗？为什么？
反证法：假设命题的___________，由此经过推理得出___________，由__________断定所作假设不正确，从而得到______________. 三．应用新知
例1 已知矩形ABCD 的边AB=3cm ，AD=4cm.
（1）以点A 为圆心，3cm 为半径作圆，判断B 、C 、D 与⊙A 的位置关系.
（2）若以点A 为圆心作⊙A ，使B 、C 、D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是多少？
例2 用反证法证明“两直线平行，同位角相等”.
l B
A
四．发现总结
1．要确定点与圆的位置关系只需要确定______________与____________的大小关系.
2．反证法三步骤：____________、____________、____________.
五．巩固提高
1．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AB=48cm，CD=30cm，高27cm，求作一个圆经过A、B、C、D四点，写出作法并求出这圆的半径.
六．课堂检测
1．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；•③圆有且只有一个内接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的个数有（• ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图1，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点C的距离为（）
A．2.5 B．2.5cm C．3cm D．4cm
3．如图2，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（） A．点P B．点Q C．点R D．点M
4．如图3，⊙O1过坐标原点，点O的坐标为（1，1），是判断点P（－1，1），点Q（1,2），点R （2，0）与⊙O1的位置关系.
5．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=53，BC=8，CD=6，AD=5，试判断点A、B、C、D是否在同一个圆上，并证明你的结论.
七．学习感悟
B
D
A
C
D C
B
A
24.2．2 《直线和圆的位置关系》（1）
学习目标
1．理解直线和圆的三种位置关系，会正确判断直线和圆的位置关系.
2．了解类比、转化、数形结合思想.
学习重点：理解直线和圆的三种位置关系，会正确判断直线和圆的位置关系
学习难点: 会正确判断直线和圆的位置关系
学习过程
一．自主学习
1．画一个⊙O，上下移动直尺，观察在移动直尺的过程中直尺与圆的位置发生什么变化？将直尺看成是直线l，类比点与圆的位置关系，填写下表.
直线与圆的位置关系相交相切相离
图形
公共点个数
公共点名称
直线名称
圆心到直线距离d与半径r的关系
二．探索新知
1．设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d。

类比点与圆的位置关系，结合图形，探究直线与圆的三种不同位置关系中，d与r有怎样大小关系？填空后完成上表.
直线L和⊙O_____⇔_____，如图（a）所示；
直线L和⊙O_____⇔_____，如图（b）所示；
直线L和⊙O_____⇔_____，如图（c）所示．
三．应用新知
例1 如图，O为∠PAQ的角平分线上一点，OB⊥AP于点B，以O为圆心，OB为半径作⊙O.求证：AQ与⊙O相切.
例2 已知：Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm．
（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？为什么？
（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？
四．发现总结
1．判断直线与圆的位置关系的方法有两种： （1）利用直线与圆的_____个数；
（2）利用_______到_______的距离与______之间的大小关系. 2．“直线与圆相切⇔d=r ”，用文字叙述该结论为若直线与圆_____，那么_____到_____距离等于_____；反过来，如果_____到______距离等于_____，那么直线与圆_____.该结论即可作切线的判定用，也可作切线的性质用.上面含“⇔”的所有结论亦然.
3．在圆的切线的证明中，如果直线与圆的交点条件中没有，则需过_____作这条直线的____. 五．巩固提高
1．如图，在直角梯形ABCD 中，∠A=∠B=90°，AD ∥BC ，且AD+BC=CD. （1）以CD 为直径作⊙O ，求证：AB 与⊙O 相切 （2）以AB 为直径作⊙O 1，求证：CD 与⊙O 1相切
六．课堂检测
1．已知⊙O 的直径是13cm ，如果直线l 与圆心的距离是d ， （1）d=4.5cm 时，直线l 与圆______，有_____个公共点 ； （2）d=6.5cm 时，直线l 与圆______，有_____个公共点 ； （3）d=8cm 时，直线l 与圆______，有_____个公共点.
2．设⊙O 的半径为4，点O 到直线l 的距离为d ，若⊙O 与直线l 至多有一个公共点，则d 为（ ） A ．d ≤4 B ．d ＜4 C ．d ≥4 D.d ＝4 3．设⊙O 的半径为4cm ，直线l 上一点A 到圆心的距离是4cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是：（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D.相切或相交 4．已知⊙A 的直径为6，点A 的坐标为（－3，－4），则⊙A 与x 轴的位置关系是______， ⊙A 与y 轴的位置关系是___________.
5．△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，BC=8cm ，BD=10cm ，以点D 为圆心，5cm 为半径的圆与AB 的位置关系是______________.
6．如图所示，△ABC 为等腰三角形，O 为底边BC 的中点，OD ⊥AB ，以O 为圆心、OD 为半径作⊙O 。

求证：AC 与圆相切.
O
B C A D
24.2．2 《直线和圆的位置关系》（2）
学习目标
1．理解掌握切线的判定定理并会证明一条直线是圆的切线。

2．理解并掌握切线的性质定理并会运用该定理解决有关圆的计算和证明。

学习重点：掌握切线的判定定理和性质定理. 学习难点: 运用定理解决有关圆的计算和证明. 学习过程 一．自主学习
1．“直线与圆相切 d=r ”，用文字叙述该结论为若直线与圆_____，那么_____到_____距离等于_____；反过来，如果_____到______距离等于_____，那么直线与圆_____.该结论即可作切线的判定用，也可作切线的性质用. 二．探索新知
1．如图，在⊙O 中，经过半径OA 的外端点A 作直线l ⊥OA ，则 圆心O 到直线l 的距离等于_____，这说明直线l 是⊙O 的_____. 因为此时条件已经满足__________________.
切线的判定定理：________________________________________. 2．如图，已知直线l 是⊙O 的切线，切点为A ，连接0A ，直线l 一定经过_____________.你能用反证法说明理由吗？
切线的性质定理：______________________. 三．应用新知
例1 如图，直线AB 经过⊙O 上的一点C ，并且OA=OB ，CA=CB 。

求证：直线AB 是⊙O 的切线.
例2 如图，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与PA 相切于点C ．
（1）求证：直线PB 与⊙O 相切；
（2）PO 的延长线与⊙O 交于点E ．若⊙O 的半径为3，PC=4。

求弦CE 的长
四．发现总结
1．切线的判定定理有两个关键要素:______________、________________ 2．切线的证明有两种情况，主要看直线与圆的公共点在条件中是否出现：
（1）有公共点------作______，证______； （2）没有公共点-----作______，证______.
3．问题中有切线的条件信息时，要用到切线的_________定理；通常连 接____________，构造______三角形，用勾股定理解决线段长度的计算。

用到哪几种基本图形？ 五．巩固提高
1．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，交⊙O 于点E.（1）求证：AC 平分∠DAB.（2）连接BC ，若CD=4，⊙O 的半径是5，求BC 的长.
O B C A
B
O P E C
六．课堂检测
1．下列说法正确的是（ ）
A.和圆有一个公共点的直线是圆的切线
B.圆的切线垂直于半径
C.经过半径外端点的直线是圆的切线
D.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点 2．在△ABC 中，AB=AC ，∠B=45°，以AB 为直径的作⊙O ，则AC 与圆( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相离
3．如图1，在平面直角坐标系中，A 点在第一象限，⊙A 与x 轴相切于点B ，与y 轴交于C(0，1),D （0,4）两点，点A 在函数)0(>=
x x
k
y 的像上，则k=____________. 4．如图2，△ABC 是⊙O 的内接三角形，DC 且⊙O 于点C ，∠ACD=30°。

则∠B 的度数为___________ 5．如图3，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是________.
图3
6．如图，在Rt △ABC 中,∠B=90°E 为AB 上一点,∠C=∠BEO ，O 是BC 上一点，以D 为圆心，OB 长为半径作⊙O ，AC 是⊙O 的切线，切点是Q ．（1）求证：OE=OC ；（2）若BE=4，BC=8，求OE 的长．
7.如图，已知等腰Rt △ABC ，∠C=90°，AC=BC=2，D 为射线CB 上
的一动点，经过点A 的⊙O 与BC 相切于点D ，交直线AC 于点E 。

（1）如图1，当点O 在斜边AB 上时，求⊙O 的半径.
（2）如图2，点D 在线段BC 上，使四边形AODE 是菱形时，求CD 的长.
（3）点D 在线段CB 的延长线上，使四边形AEOD 为菱形时，CD 的值______________.
O
C
A B
E Q A
B
C
A
B
C
D E
O
O
E D
C
B
A
24.2．2 《直线和圆的位置关系》（3）
学习目标
1．理解切线长定理.
2．能运用切线长定理结合切线的性质和判定解题．
学习重点：切线长定理及其运用．
学习难点: 切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．
学习过程
一．自主学习
1．经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？
2．已知⊙O外一点P，你能用尺规过点P作⊙O的切线吗？
3．经过________作圆的______，_____和_____之间的线段长，叫做这点到圆的切线长.
二．探索新知
1．在手中的纸上画出⊙O，并画出过A点的唯一切线PA，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，
(1)OB是⊙O的一条半径吗？
(2)PB是⊙O的切线吗？
(3)若PA、PB是⊙O 的切线，PA与PB，∠APO与∠BPO
有什么关系？说明理由.
由此得出切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们______相等，________________平分两条切线的夹角.
三．应用新知
例1 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C.
（1）写出图中所有的垂直关系
（2）写出图中与∠OAC相等的角
（3）写出图中所有的全等三角形
（4）写出图中所有的等腰三角形
（5）若∠P=50°，则∠AOB=____，∠AEB=____∠ADB=____
（6）若PA=4、PD=2，求半径OA.
例2 如图所示，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，Q是弧AB上的一点，过点Q作⊙O的切线分别交PA、PB于C、D两点，•已知PA=7cm，
(1)求△PCD的周长．
(2) 如果∠P=46°，求∠COD的度数.
四．发现总结
1．在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形____________（简要画出来）.辅。