2019年中考数学复习专题类型突破专题一5大数学思想方法训练

专题一5大数学思想方法
类型一分类讨论思想
(2018·临沂中考)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG.
(1)如图，当点E在BD上时，求证：FD＝CD；
(2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．
【分析】 (1)先判定四边形BDFA是平行四边形，可得FD＝AB，再根据AB＝CD，即可得出FD＝CD；(2)当GC＝GB时，点G在BC的垂直平分线上，分情况讨论，即可得到旋转角α的度数．
【自主解答】
在数学中，如果一个命题的条件或结论有多种可能的情况，难以统一解答，那么就需要按可能出现的各种情况分类讨论，最后综合归纳问题的正确答案．
1．(2018·宿迁中考)在平面直角坐标系中，过点(1，2)作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
2．(2018·随州中考)为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天(1≤x≤15，且x为整数)每件产品的成本
天数(x) 1 3 6 10 每件成本p(元)
7.5
8.5
10
12
任务完成后，统计发现工人李师傅第x 天生产的产品件数y(件)与x(天)满足如下关系：
设李师傅第x 天创造的产品利润为W 元．
(1)直接写出p 与x ，W 与x 之间的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围； (2)求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？
(3)任务完成后，统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？
类型二 数形结合思想
(2018·齐齐哈尔中考)某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20 min 后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的10
7继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过
景点入口6 km 时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程s(km)和行驶时间t(min)之间的函数关系如图所示． 请结合图象解决下面问题：
(1)学校到景点的路程为________ km，大客车途中停留了________ min，a＝________；
(2)在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？
(3)小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速 80 km/h，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？
(4)若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，那么小轿车折返后到达景点入口，需等待________分钟，大客车才能到达景点入口．
【分析】 (1)根据图形可得总路程和大客车途中停留的时间，先计算小轿车的速度，再根据时间计算a的值；
(2)计算大客车的速度，可得大客车后来行驶的速度，计算小轿车赶上来之后大客车行驶的路程，从而可得结论；
(3)先计算直线CD的解析式，计算小轿车驶过景点入口6 km时的时间，再计算大客车到达终点的时间，根据路程与时间的关系可得小轿车行驶6 km的速度与80 km/h作比较可得结论．
(4)利用路程÷速度＝时间计算出大客车所用时间，计算与小轿车的时间差即可．
【自主解答】
把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机地结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得以解决．
3．(2018·大庆中考)如图，二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象经过点A(－1，0)，点B(3，0)，点C(4，y 1)，若点D(x 2，y 2)是抛物线上任意一点，有下列结论： ①二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的最小值为－4a ； ②若－1≤x 2≤4，则0≤y 2≤5a； ③若y 2＞y 1，则x 2＞4；
④一元二次方程cx 2
＋bx ＋a ＝0的两个根为－1和13.
其中正确结论的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．(2018·苏州中考)如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数y ＝k
x 在第一象限内的
图象经过点D 交BC 于点E.若AB ＝4，CE ＝2BE ，tan∠AOD＝3
4
，则k 的值为( )
A ．3
B ．2 3
C ．6
D ．12
5．(2018·上海中考)一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
(1)求y 关于x 的函数关系式；(不需要写自变量的取值范围)
(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，
油站的路程是多少千米？
类型三 转化与化归思想
(2017·江西中考)如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°.图2是其侧面简化示意图，其中视线AB 水平，且与屏幕BC 垂直．
(1)若屏幕上下宽BC ＝20 cm ，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB 的长；
(2)若肩膀到水平地面的距离DG ＝100 cm ，上臂DE ＝30 cm ，下臂EF 水平放置在键盘上，其到地面的距离FH ＝72 cm.请判断此时β是否符合科学要求的100°？
(参考数据：sin 69°≈1415，cos 21°≈1415，tan 20°≈411，tan 43°≈14
15
，所有结果精确到个位)
【分析】 (1)在Rt△ABC 中利用三角函数即可直接求解；
(2)延长FE 交DG 于点I ，利用三角函数求得∠DEI 即可求得β的值，从而作出判断． 【自主解答】
把一种数学问题合理地转化成另一种数学问题可以有效地解决问题．在解三角形中，将非直角三角形问题转化为解直角三角形问题，把实际问题转化为数学问题等．
6．(2018·山西中考)如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是( )
A．4π－4 B．4π－8 C．8π－4 D．8π－8
7．(2018·黄冈中考)则a－1
a
＝6，则a2＋
1
a2
值为______．
8．(2018·白银中考)随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知∠CAB＝30°，∠CBA ＝45°，AC＝640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将缩短约多少公里？(参考数据：3≈1.7，2≈1.4)
类型四 方程思想
(2018·娄底中考)如图，C ，D 是以AB 为直径的⊙O 上的点，AC ︵＝BC ︵
，弦CD 交AB 于点E.
(1)当PB 是⊙O 的切线时， 求证：∠PBD＝∠DAB； (2)求证：BC 2
－CE 2
＝CE·DE；
(3)已知OA ＝4，E 是半径OA 的中点，求线段DE 的长．
【分析】 (1)由AB 是⊙O 的直径知∠BAD＋∠ABD＝90°，由PB 是⊙O 的切线知∠PBD＋∠ABD＝90°，据此可得证；
(2)连接OC ，设圆的半径为r ，证△ADE∽△CBE，由AC ︵＝BC ︵
知∠AOC＝∠BOC＝90°，再根据勾股定理即可得证；
(3)先求出BC ，CE ，再根据BC 2
－CE 2
＝CE·DE 计算可得． 【自主解答】
在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化．
9．(2018·白银中考)若正多边形的内角和是1 080°，则该正多边形的边数是________．
AC上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是________．
类型五函数思想
(2017·杭州中考)在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3.
(1)设矩形的相邻两边长分别为x，y.
①求y关于x的函数解析式；
②当y≥3时，求x的取值范围；
(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？
【分析】(1)①直接利用矩形面积求法进而得出y与x之间的关系；②直接利用y≥3得出x的取值范围；
(2)直接利用x＋y的值结合根的判别式得出答案．
【自主解答】
在解答此类问题时，建立函数模型→求出函数解析式→结合函数解析式与函数的性质作出解答．要注意从几何和代数两个角度思考问题．
11．(2018·桂林中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线y的函数解析式及点C的坐标；
(2)点M为坐标平面内一点，若MA＝MB＝MC，求点M的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点E，使4tan∠ABE＝11tan∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
类型一
【例1】 (1)如图1，连接AF.
由四边形ABCD是矩形，结合旋转可得BD＝AF，
∠EAF＝∠ABD.
∵AB＝AE，∴∠ABD＝∠AEB，
∴∠EAF＝∠AEB，∴BD∥AF，
∴四边形BDFA是平行四边形，∴FD＝AB.
∵AB＝CD，∴FD＝CD.
(2)如图2，当点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的右边时，连接DG，CG，BG，
易知点G也是AD的垂直平分线上的点，∴DG＝AG.
又∵AG＝AD，∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，∴α＝60°.
如图3，当点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的左边时，连接CG，B G，DG，
同理，△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，此时α＝300°.
综上所述，当α为60°或300°时，GC＝GB.
变式训练
1．C
2．解：(1)设p与x之间的函数关系式为p＝kx＋b，
代入(1，7.5)，(3，8.5)得
⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝7.5，3k ＋b ＝8.5，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝0.5，b ＝7， 即p 与x 的函数关系式为p ＝0.5x ＋7(1≤x≤15，x 为整数)．
当1≤x＜10时，
W ＝[20－(0.5x ＋7)](2x ＋20)＝－x 2
＋16x ＋260.
当10≤x≤15时，
W ＝[20－(0.5x ＋7)]×40＝－20x ＋520，
即W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋16x ＋260（1≤x<10，x 为整数），－20x ＋520（10≤x≤15，x 为整数）. (2)当1≤x＜10时，
W ＝－x 2＋16x ＋260＝－(x －8)2
＋324，
∴当x ＝8时，W 取得最大值，此时W ＝324.
当10≤x≤15时，W ＝－20x ＋520，
∴当x ＝10时，W 取得最大值，此时W ＝320.
∵324＞320，∴李师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元．
(3)当1≤x＜10时，
令－x 2＋16x ＋260＝299，得x 1＝3，x 2＝13，
当W ＞299时，3＜x ＜13.
∵1≤x＜10，∴3＜x ＜10.当10≤x≤15时，
令W ＝－20x ＋520＞299，得x ＜11.05，∴10≤x≤11.
由上可得，李师傅获得奖金的月份是4月到11月，李师傅共获得奖金为20×(11－3)＝160(元)． 答：李师傅共可获得160元奖金．
类型二
【例2】(1)由图形可得学校到景点的路程为40 km ，大客车途中停留了5min ，
小轿车的速度为4060－20
＝1(km/min)， a ＝(35－20)×1＝15.
故答案为40，5，15.
(2)由(1)得a ＝15，∴大客车的速度为1530＝12
(km/min)． 小轿车赶上来之后，大客车又行驶了(60－35)×107×12＝1257(km)，40－1257－15＝507(km)．
答：在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有507 km. (3)设直线CD 的解析式为s ＝kt ＋b ，将(20，0)和(60，40)代入得⎩⎪⎨⎪⎧20k ＋b ＝0，60k ＋b ＝40，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－20， ∴直线CD 的解析式为s ＝t －20.
当s ＝46时，46＝t －20，解得t ＝66.
小轿车赶上来之后，大客车又行驶的时间为40－1512×107
＝35(min)， 小轿车司机折返时的速度为6÷(35＋35－66)＝32
(km/min)＝90 km/h ＞80km/h. 答：小轿车折返时已经超速．
(4)大客车的时间：401
2
＝80(min)，80－70＝10(min)． 故答案为10.
变式训练
3．B 4.A
5．解：(1)设该一次函数解析式为y ＝kx ＋b ，
将(150，45)，(0，60)代入y ＝kx ＋b 中得
⎩⎪⎨⎪⎧150k ＋b ＝45，b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1
10，b ＝60，
∴该一次函数解析式为y ＝－110
x ＋60. (2)当y ＝－110
x ＋60＝8时，解得x ＝520， 即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．
530－520＝10(千米)，
油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米．
答：在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米． 类型三
【例3】 (1)∵Rt△ABC 中，tan A ＝BC AB
， ∴AB＝BC tan A ＝BC tan 20°≈204
11＝55(cm)． (2)如图，延长FE 交DG 于点I ，则四边形GHFI 为矩形，
∴IG＝FH，
∴DI＝DG－FH＝100－72＝28(cm)．
在Rt△DEI中，sin∠DEI＝DI
DE ＝
28
30
＝
14
15
，
∴∠DEI≈69°，
∴β＝180°－69°＝111°≠100°，
∴此时β不符合科学要求的100°.
变式训练
6．A 7.8
8．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△ADC和Rt△BCD中，
∵∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，
AC＝640，
∴CD＝320，AD＝3203，
∴BD＝CD＝320，BC＝3202，
∴AC＋BC＝640＋3202≈1 088，
∴AB＝AD＋BD＝3203＋320≈864，
∴1 088－864＝224(公里)．
答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将缩短约224公里．类型四
【例4】(1)∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°.
∵PB是⊙O的切线，
∴∠ABP＝90°，∴∠PBD＋∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝∠PBD.
(2)∵∠A＝∠DCB，∠AED＝∠CEB，
∴△ADE∽△CBE，
∴DE
BE
＝
AE
CE
，即DE·CE＝AE·BE.
如图，连接OC.
设圆的半径为r ，
则OA ＝OB ＝OC ＝r ，
则DE·CE＝AE·BE＝(OA －OE)(OB ＋OE)＝r 2－OE 2
. ∵AC ︵＝BC ︵，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴CE 2＝OE 2＋OC 2＝OE 2＋r 2，
BC 2＝BO 2＋CO 2＝2r 2，
则BC 2－CE 2＝2r 2－(OE 2＋r 2)＝r 2－OE 2，
∴BC 2－CE 2＝DE·CE.
(3)∵OA ＝4，∴OB＝OC ＝OA ＝4， ∴BC＝OB 2＋OC 2＝4 2.
又∵E 是半径OA 的中点，
∴AE＝OE ＝2，
则CE ＝OC 2＋OE 2＝42＋22＝2 5.
∵BC 2－CE 2＝DE·CE， ∴(42)2－(25)2＝DE·25，
解得DE ＝65
5.
变式训练 9．8 10.12
7
类型五
【例5】 (1)①由题意可得xy ＝3，则y ＝3
x .
②当y≥3时，3
x ≥3，解得x≤1，
∴x 的取值范围是0＜x≤1.
(2)∵一个矩形的周长为6，∴x＋y ＝3，
∴x＋3x ＝3，整理得x 2
－3x ＋3＝0.
∵b 2
－4ac ＝9－12＝－3＜0，
∴矩形的周长不可能是6，∴圆圆的说法不对．
∵一个矩形的周长为10，∴x＋y ＝5，
∴x＋3x
＝5，整理得x 2－5x ＋3＝0. ∵b 2－4ac ＝25－12＝13＞0，∴矩形的周长可能是10，
∴方方的说法对．
变式训练
11．解：(1)将点A ，B 的坐标代入函数解析式得
⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋6＝0，a ＋b ＋6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－4， ∴抛物线的函数解析式为y ＝－2x 2－4x ＋6，
当x ＝0时，y ＝6，∴点C 的坐标为(0，6)．
(2)由MA ＝MB ＝MC 得M 点在AB 的垂直平分线上，M 点在AC 的垂直平分线上． 设M(－1，y)，由MA ＝MC 得
(－1＋3)2＋y 2＝(y －6)2＋(－1－0)2，
解得y ＝114
， ∴点M 的坐标为(－1，114
)． (3)①如图，过点A 作DA⊥AC 交y 轴于点F ，交CB 的延长线于点D. ∵∠ACO＋∠CAO＝90°，∠DAO＋∠CAO＝90°，∠ACO＋∠AFO＝90°， ∴∠DAO＝∠ACO，∠C AO ＝∠AFO，
∴△AOF∽△COA，
∴AO OF ＝CO AO
， ∴AO 2＝OC·OF.
∵OA＝3，OC ＝6，∴OF＝326＝32，∴F(0，－32
)． ∵A(－3，0)，F(0，－32
)， ∴直线AF 的解析式为y ＝－12x －32
. ∵B(1，0)，C(0，6)，
∴直线BC 的解析式为y ＝－6x ＋6，
联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x －32，
y ＝－6x ＋6，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1511，y ＝－2411， ∴D(1511，－2411)，∴AD＝2411
5，AC ＝35
， ∴tan∠ACB＝245
1135＝811
.
∵4tan∠ABE＝11tan∠ACB，
∴tan∠ABE＝2.
如图，过点A 作AM⊥x 轴，连接BM 交抛物线于点E. ∵AB＝4，tan∠ABE＝2，
∴AM＝8，
∴M(－3，8)．
∵B(1，0)，M(－3，8)，
∴直线BM 的解析式为y ＝－2x ＋2.
联立⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，y ＝－2x 2－4x ＋6， 解得⎩
⎨⎧x ＝－2，y ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，(舍去)
∴E(－2，6)．
②当点E 在x 轴下方时，如图，过点E 作EG⊥AB，连接BE. 设点E(m ，－2m 2－4m ＋6)，
∴tan∠ABE＝GE BG ＝2m 2＋4m －6－m ＋1
＝2， ∴m＝－4或m ＝1(舍去)，
可得E(－4，－10)．
综上所述，E 点坐标为(－2，6)或(－4，－10)．。