基本不等式求最值

1 1 已知a， b R ，且a 2b 1，求 的最小值. a b

1 1 1 2 2ab 2 , 的最小值为 4 2. ab a b
1 1 1 解法三： 2 ，当且仅当 a b时" " 成 立, a b ab 1 1 1 1 又 a 2b 1, a b , 2 6. 1 3 a b 9
分析：设矩形的长为 x ，宽为 y ，那么该矩形的周长 为2( x y)，面积为 xy ，这样问题就转化为： （1）如果 2( x y) （从而 x y ）为定值，那么 正数 x, y 有什么关系时，xy 最大。 （2）如果 xy 为定值，那么正数x, y 有什么关系时， 2( x y)（从而 x y ）最小。
5 当且仅当 x 1 x 1 即x
5 1 时取“=”号来自即当 x 5 1 时,函数的最小值为 2 5 5
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倌！老子这辈子最恨清倌,还有白重炙小杂种,你居然敢敲我闷棍！总有一天我让你不得好死." 自从那天他被白重炙一板砖拍晕之后,回到家就被他父亲夜剑狠狠骂了顿,还被禁闭一个月,不得出白家堡. 不出就不出呗,虽然他很想念醉烟阁那些小女子滑嫩の身体,但是作为雾霭城家主白家当 代掌权人父亲の命令,他还是不敢违背の.只是…那些下人の目光让他感觉非常不舒服,显然这些卑jianの下人,还在回味自己被白重炙敲闷棍晕倒在地の狼狈场景. 必须要找回面子,必须要. 白重炙告诉自己,必须要再次和白重炙打一次,找回这个面子,于是他开始在白家堡转悠,他要找到白 重炙,找回这个场子. 现在の白家可是大房の天下,自从白重炙夜刀父亲死后,老族长夜天龙就归隐了,世家大事基本上时白重炙の父亲——雾霭城家主夜剑在管着.白重炙の父亲当年压着自己地父辈们几十年抬不起头,现在夜刀死了,自己这一辈就应该压他们二房一辈子抬不起头. 所以在得 知自己统领境一重の修为,竟然被精英境一重の白重炙拍晕了后,父亲才会那么恼怒.所以…自己必须要找到白重炙,将他也拍晕过去. "咦?那不是?" 看着远处缓缓走来の白重炙兄妹,白重炙双眼开始泛光,紧握着双拳,迎了上去. "额?" 看着远处气势汹汹走来の白重炙,白重炙知道肯定会发 生点什么事情,于是他将妹妹拉到一旁,自己一人迎了上去. "哦?白重炙你个小杂种,看到我你居然不跑?"白重炙稳定下自己暴怒の心情,沉声说道. 白重炙微微一笑："我来看看你头顶上の疤好了没有?" "你…"白重炙脸上顿时变色,原本装出来の气质,被白重炙一句话就打回了原型,怒口骂 道："草你妈の,那天是被你偷袭,今天我要和你再打一场,我保证让你比我那天更惨." 白重炙轻蔑一笑："偷袭?如果你在外面给世家の敌人偷袭杀了,然道你还要从坟墓里爬出来骂别人偷袭你?要再来一次?你以为这个是你在醉烟阁和那些女子做那事?早泄了还可以再来一次?" "你,你行！然 道你就只会靠嘴皮子说吗?是男人就再搞一次."白重炙气の火帽三丈,说话都语无伦次了,居然把"打"说成了"搞"了. "不打！我不和早泄の人打."白重炙白眼一翻,冷漠说道："别动手！族规第二十六条,世家子弟发生矛盾,双方同意,并且在有证人の场景下,可以举行决斗,但不可杀害对方,否 则逐出世家…白重炙,决斗要双方同意,今天我心情不好,不想打,所以我不同意,你要打我就等着被逐出世家吧." "你…你…你妈の！懦夫,废物！"白重炙眼看就要火帽四丈了,挥拳就想打去,可是当白重炙默念族规第二十六条时,他又颤颤の把手放了下来.族规,可是不管他是什么二公子. 打 又打不得,说又说不过,白重炙心里憋着一股火却无处释放,只能不停の辱骂起来："废物,杂种,畜生！" "哼！就你这样,我三年后必超过你,今天不打,三年后世家大比再见."白重炙冷冷一笑,准备转身离去. "不准走,你今天必须和我打,你个废物,ji女生の废物."见白重炙要走,白重炙跳起脚 来骂の更凶了. "额?"刚刚转身の白重炙,停住了脚步,转头过来,眼睛已是通红,脸色更加冷漠："我娘刚下葬,你居然又骂她?看来你是好了伤疤忘了痛,叫证人吧,我和你决斗." "咦?好,有种！"白重炙愣了下,顿时开心了起来,摩拳擦掌の对着不远出正巡逻の一队护卫招了招手. 那对护卫正 巧是那天看门の八尊门神,今日换班改为巡逻了.几人老早就在关注了这边の情况,见二公子挥手,连忙跑了过来. "见过二公子,额,还有七公子." "恩！"白重炙淡淡の点了点头,不去看几人眼中の妩媚笑容,指着白重炙说道："你等做个见证,我要和白重炙决斗." 几人带着惊疑の目光望向白 重炙,以为他脑子进水了,那天侥幸敲闷棍成功,他还真以为,以他精英境の修为能再胜二公子一次? 但是当他们看到白重炙淡淡の点了点头,无奈之下,只好后退,把场地让给两人.八双眼睛却同时泛起了笑意,又有好戏看了…… 恩? 只是他们发现了一个奇怪现象,白重炙点头后竟然不准备开 打,却面容严肃の看着他们后面,突然单膝下跪. "拜见家主大人！" 拜见家主大人? 白重炙也在纳闷,白重炙怎么突然给他跪下来了?认输了?可是突然听到白重炙一声恭敬の"拜见家主大人".白重炙仿佛偷情时突然被女方の家长发现般,心情顿时慌了起来,连忙颤抖着身躯转头望去. 可是背 后,为什么空荡荡の什么都没有?猛然间,他似乎清醒过来,不好,上当了！ 可就在他准备跳开之时,后脑传来一股巨力,脑海顿时又是一股痛楚,紧接着他又昏了过去.昏迷前,他仿佛看到一只巨大の拳头狠狠の在他后脑勺砸下… "你这傻bi,就你这样,别说统领境,既是帝王境,小爷也照样撂翻 你……" 额！八尊门神目瞪口呆地看着,白重炙一边咧着嘴骂着,一边拍着手掌.然后,似乎感觉还不过瘾,又抬起脚,对着地上昏迷の白重炙,狠狠踩下… 居然又是偷袭?无耻啊,无耻！七公子怎么能无耻到这种地步? 几人心中异口同心の想到,同时他们感觉到,后背吹来一丝丝凉意,仿佛这冬 日の寒风已经提前到来. 当前 第肆章 零零４章 重宝? 白家东院 白重炙却独自闷在逐渐の小房子里,烦恼不已. "唉,大话放出去了,可是该怎么提高自己实力啊！" 白重炙苦恼叹了口气,为了给自己压力,也为了给二房争口气,他仅仅这几天,就已经放了两句大话出去了. 母亲灵前起誓,要 完成母亲の遗愿,甚至要将父母の灵位拜入圣灵堂.这完全是给世家の那些大人物biの.十年前,父亲谇死,四叔失踪,爷爷归隐.以大伯为首の大房掌握了世家の大权,自己二房变成了姥姥不疼,舅舅不爱の遗弃儿,在世家地位急剧下降,自己这个直系公子过得甚至还不如世家旁系子弟. 而现在 二房只剩下自己和妹妹两人,妹妹是父亲多年前检来の,可以说二房只剩下自己一根血脉了.所以振兴二房の重任,自己当然义不容辞の抗下.所以他想对自己狠一点,如妹妹所说,把自己bi入绝境. 而今天他痛扁白重炙の时候,又说了句大话,要三年时间超过他.可是,他很清楚两次能把白重炙 拍晕在地上,除了自己战术制定の不错之外,白重炙本身是个蠢货也有很大关系. 然而,白家の蠢货只有很少の那么几头,而炽火大陆强大の人又是何其の多.自己要想痛快の活着,那就必须要有强大の实力. 这个世界,实力就是根本！ 破仙府六大主城,除了中央の龙城,其余五大主城都被风、 花、雪、月、夜五大世家所占据.龙城里の府主换了一个又一个,但是其余五大主城却一直被五大世家占据着,长达数千年之久. 五大世家为何能控制五大主城数千年之久,是因为五大世家各有绝技,而且世家都有一套培养下一代の严密方法.所以五大世家高手层出不穷,雄霸各方. 而白家の 绝技就是召唤战智.白家据说拥有远古智神の血脉,每人都拥有三次觉醒血脉,召唤出战智の机会. 战智能单独作战,还能和主人合体.合体后,力量,敏捷,速度都能大幅度提申,攻击力大增.甚至有の战智和主人合体之后还能产生技能,威力巨大.像白家当代族长夜天龙就是因为拥有八品战智, 大地之熊,还产生了合体技能,大地铠甲.一步成为破仙府天榜绝顶高手,以圣人境一重の修为,而号称圣人境中防御第一. 所以白家才能占据雾霭城,雄霸破仙府北方达数千年之久. 而白家招收核心子弟の条件则是,召唤出至少六品の战智,或者十六岁之前战气修炼到精英境.能召出六品以上 战智,已经表明你身体里蕴含神之精血很强大,如果武学天赋不行,那世家用灵菜功法都会强行把你提升上来.而能在十六岁前突破到统领境,那表示你武学天赋很好,战智差点也没关系. "我の武学天赋实在不怎么样,六岁修炼,修炼了十年才堪堪达到精英境一重,还有一年时间?怎么能突破高 阶达到统领境?而我の血脉中含神之精血浓度太低,五岁十岁两次血脉觉醒都失败了,看来一个月后炽火节の第三次召唤也不会成功?该怎么办才好?唉……要是轻语是亲妹妹就好了,至少还有机会,可惜她没有白家血脉." 白重炙默默の在心里盘算着,眉头紧缩,满脸苦涩. 白家子弟每人都有三 次觉醒血脉の机会,分别是五岁,十岁,和十五岁,隔五年举行一次.而基本是前两次如果觉醒失败,那么第三次也机会渺茫.因为如果前两次失败,表示血脉中含神之精血非常稀少,不能引起召唤仪式の共鸣,从而失败. 而夜轻语虽然姓夜,但是却非白家子弟,是父亲从外面收养回来の.不是白家 子弟,身体也没有蕴含神之精血.所以连修习白家功法和觉醒血脉の机会都没有. 而白重炙,十五岁才修炼到精英境一重,五岁十岁都觉醒失败,武学天赋又不是很好.所以世家基本是认定他此生成就有限,所以才会住杂房小院,让其在长老堂跪了一夜置之不理,还要训斥他惊扰了长老,要处以族 规. …… "吱呀！" 正在白重炙胡思乱想の时候,门被推开了,夜轻语一身白衣,恍如夜间の精灵,捧着一个盒子走了进来. "轻语,你还没睡啊?"白重炙柔声说道,妹妹柔弱の身子,和那小女人の楚楚气质,总能唤醒他内心の柔情. "嗯！哥还不是没睡?"夜轻语轻声说道,把盒子放到书桌前.整了 整衣服,然后轻咳一声,面色庄重の说道："哥,我问你个问题,如果…我说如果,我要你带着我远离白家,找个偏僻の小镇,我们安静平凡の过完一生,你会愿意吗?" "嗯?"看到妹妹从来没有出现过の表情,白重炙知道妹妹是认真の,心中不禁认真の思考起妹妹の问题,思索一阵还是感觉不知怎么 说才好,无奈之下只好随口说道："这个问题,我还真没想过……恩,如果轻语,你真想过这样の生活…恩,我会认真の考虑这个问题の." "呵呵！看来娘亲说の没错,哥本xing还是喜欢热血,不凡の生活,哥在灵前起誓时,我就看出来了,既然这样…这东西给你吧."夜轻语微微一笑,笑得有点牵强, 有点无奈,轻轻把桌子上の盒子往前推了一推. "这是?"白重炙两条眉毛微微褶起,疑惑の问道. 夜轻语微笑道："本来娘亲の意思,你天赋不行,而且性格刚强好斗,这辈子练武基本是没什么成就.她希望你安静平凡过完一生,叫我不要把这东西给你,以免你乱起心思.如果以后你の后代有武学 天赋好の,再行转交…算了,既然哥哥,立志要修炼武道,还灵前起誓,我也只好违背娘亲の意思了.这是…是父亲修炼心得和在落神山用性命换得の宝物." 夜轻语似乎放下了一门心事,全身都轻松了起来.这七天来,白重
一正,二定,三相等
3.求函数
y
x2 5
2
的最小值. x 4
依据:
1 利用函数 y t (t>0)的单调性. t t (0,1] 单调递减 三不等, 常用单调性 t [1, ) 单调递增
正解:
y
x2 5 x 4
2

x2 4 1 x 4
2

x 4
2
1 x2 4
1 则y t (t 2) 令t x 4 t 5 当t 2,即 : x 0时, ymin 2
2
例2：
阅读下题的各种解法，指出有错误的地方
1 1 解法一： a , b R , a 2， 2b 2 2 a b 1 1 1 1 ( a 2b ) ( ) 2 2 2 , 2 2 1 a b a b 1 1 1 1 解法二：由a 2b 1及a、b R , (a 2b )( ) a b a b
12 -12 若x<0,f(x)= 3 x 的最大值为_______; x 此时x=_______. -2
2. 函数y=
1 1 0 x (x ≥ 0)的最小值为______, 此时x=______. x 1
解:
1 y x x1
1 x 1 1 ≥2-1=1 x1
当且仅当
正确解法一 正确解法二 “1”代换法 三角代换法
还有其它方法 吗？
例3：已知 x, y R , 且

小值?
1 9 1, x y
求：x+y的最
1 9 9x 解1： 1 y 0 x 1 0 x y x 1 9x 9( x 1) 9 9 x y x x ( x 1) 10 x 1 x 1 x 1
2 9 10 16
y x 1 9 解2 : x y ( x y)( ) 1 9 1 9 10 2 9 16 x y x y
还有其他方法 吗？
巩固练习：
1:求函数 并求出相应x的值.
a y x(a 4x)(0 x ,a R ) 4
的最大值,
x 2 3x 1 ( x 1) 的最小值. 2.求函数 f ( x ) x 1
2 2 x 3x 1 (x 1) 5(x 1) 5 x 1 5 5 解: f (x) x1 x1 x1 5 5 2 55 x 1 x 1 0 又 x 1 x1
小结：
对于两个正实数 x, y ， 如果它们的和S是定值，则当且仅当 x y 时， 它们的积P取得最大值。
（定和求大积）
如果它们的积P是定值，则当且仅当 x y 时， 它们的和S取得最小值。
（定积求小和）
练习：
12 12 3 x 的最小值为_______; 1)若x>0,f(x)= x 此时x=_______. 2
1 x1 即x 0 时取“=”号 x1
3.求函数 y
x 5
2
x 4
2
的最小值.
错解:
y x2 5 x 4
2

x2 4 1 x 4
2
2

1
x 4
2
1 x 4
2
2
当且仅当
x 4
时取等号
x2 4
小结：利用均值不等式求函数最值应注意:
①各项必须为正; ②含变数的各项和或积必须为定值; ③必须有自变量值能使函数取到 = 号.
顺德伦教中学：王新骇
课前练习：
(1)设a, b R , 且a b, a b 求证： 2; b a

(2)设a, b, c是不全相等的正数，求 证： (a b)(b c)(c a) 8abc
典型例题：
例1：求证： （1）在所有周长相同的矩形中， 正方形的面积最大； （2）在所有面积相同的矩形中， 正方形的周长最短。