全国百强校上海市华东师范大学第二附属中学沪科高中数学复习曲线运动曲直谈讲课文档

limv n
t t0
vA
AB t
at
lim vt t0 t
lim vA AB
t0 t
an
v2
a
第三页，共33页。
专题7-例1 在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，若人收绳的速率恒为
v0，试求船在离岸边s距离处时的速度与加速度的大小各为多少？
求船的速度
依据实际运动效果分解船的运动：
a科 2u
A
由于参考系转动及质点对参考系有相对运动而产生的， 2 r
方向指向u沿ω方向转过90°的方向
O
第十三页，共33页。
2 u
aA
返试手回x
度小ω试绕顶身点O手转题动，如5某图一所点示M,一以等等腰相直对速角度三沿角A形B边OA运B在动其，自当身三平角面形内转以等了角一速
周时，M点走过了AB，如已知AB＝b，试求M点在A时的速度与加速度．
x y
v0t 1 gt 2
2
中消去t得
s2
2
v
2 0
h
g
y 2 2 p vx2
y
P
p
Op
2
y2 2 px
x
对轨迹上的P点: g co s
式中
2 2 p 第十八页，共33页。
v2 v02 2gh
cos v0
v02 2gh
v
2 0
2
gh
gv0
3 2
v p02 1
2 xg h
pv
◎物体在时刻t的位置
sv0t
h1gt2 2
h
x
v0t2
12gt22,方向与s成s
tan1
gt 2v0
◎物体在时刻t的速度
vs v0 vhgt
v
第二十页，共33页。
v02 gt
2,方 向 与 v0成v
tan1gt v0
返回
s
v0 v
vh v
沿斜面方向的匀加速运动与垂 直斜面方向的上抛运动之合成!
全国百强校上海市华东师范大学第二附属中学沪科高中数学 复习曲线运动曲直谈课件PPT
第一页，共33页。
一、曲线运动的发生条件
合外力方向与速度方向不在一直线
切向力改变速度大小
法向力改变速度方向
v
Ft
二、曲线运动的特点
速度方向一定变化
F Fn
三、求解曲线运动问题的运动学基本方法
第二页，共33页。
矢量的合成与分解
2 0
gg
g
33
2 2
v
2 0
2
gh
v0
v
2 0
2 gh
抛物线上 x=p/2点
P
O
h
s
P
v
2 0
g
,
v
2 0
2g
v0
g
v vh 2gh
试手
同小．试试用身运手动学题方7法旋求转解半曲径率为半r、径螺ρ值距．为h的等距螺旋线，曲率半径处处相
设物体以v0做匀速率的圆周运动、同时以vh 沿垂直于v0方向做匀速直线运动，每前进
v
2 0
h
cot3
第五页，共33页。
2
v
2 0
h
h s
3
v
2 0
h
2
s3
专题7-例2 如图所示，质点从O点由静止开始沿半径为R的圆周做速率均匀增
大的运动，到达A点时质点的加速度与速度方向夹角为α，质点通过的弧s所对的圆心角 为β，试确定α与β间的关系．
质点沿圆周做速度大小、方向均变化的运动
O
设Δt时间内，v2方向变化Δθ, Δθ→0时: A Fv 1 vt 1
B
tanv1t
L
L v2
A D
由加速度定义，猎犬 加速度
a lim v t0 t
第九页，共33页。
lim v2
t0 t
a
v 1v 2 L
B
v
v2
v2
小试身手题4赛车在公路的平直段上以尽可能大的加速度行驶，在0.1 s内速度由
空中飞行时间
t 2 v0 sin
g cos
2v0 tan
g
g
距斜面最大高度
y
v0
H
x
H
v
2 0
sin
2
2 g cos
平抛初速大小不同,落在斜面上时速度方向相同!
第二十一页，共33页。
小这个试坡的身末手端形题如8水如平图跳所板示．，当小跳冰板球高从h高为为何H值的时光，滑坡冰顶球由飞静过止的开距始离下s滑最，远
第十页，共33页。
R 20 m
6 小试身手题 质点沿半径为R的圆周运动，初速度的大小为v0．在运动
过程中，点的切向加速度与法向加速度大小恒相等，求经时间T质点的速 度v．
本题用微元法
设速率从v0增加,取运动过程2 中第i个极短时间Δt，由题意有
lim v v v i i1
i
t R 则T t litiim 0 0 tiR i ln i m i n1vi vi2 vi1
求质点的速度
引入中介参照系-三角形OAB
质点对轴O的速度（相对速度）
b vMA 2
三角形A点对轴的速度（牵连速度） vA 2b
? 质点对轴O的速度（绝对速度）vM
三速度关系为 vMvAvM A
Oω
vM2b22b 4 2 2 22 2bb 2 cos45
b 82 41
2
第十四页，共33页。
方向与AB夹角
相互垂直时，它们之间的距离．
当两质点速度互相垂直时，速 v1
度矢量关系如图示:
由矢量图得
v1tanv2cottan23 vy v1t
而 vyv1tan23m/s
t v1tan 0.2 3s
g
v2
v2t vy
第二十三页，共33页。
则S v1v2
t
73 5
m
小的试A处身抛一手石题块，1如使0图石，块一抛仓过库屋高顶2，5 问m，距宽离4l0为m多．大今时在，仓初库速前度lvm0之、值高最5小m
？（g取10 m/s2）
此即滑杆C的加速度 a C a A y
代入数据得滑杆C的加速度 aB 0.05m/s2
第八页，共33页。
3 小变的试速身率v手2追击题，有其一运只动狐方狸向以始不终变对的准速狐度狸v．1沿某着时直刻线狐A狸B在逃F跑处，，一猎猎犬犬在以D处不
，FD⊥AB，且FD＝L，如图．试求此时猎犬的加速度的大小．
．每个瞬时的加速度均可分解为切向加速度at 与法向加速度an，前者反映质点速率变化快
β
由慢题，给后条者件反映a质t 点速2t度2s方,向an变化快vR慢2A．
而 v2Aatt2,sR
2 则 an
a
2 t
t
2
R
an at
att2
R
2 st2 t2R
an
又
第六页，共33页。
at
tan
tan 2
？它等于多少？
物体从坡末端B水平飞出后做平抛运动:
A
S 2gHh 2h2Hh.h H
g
B
由基本不等式性质
h
当Hhh,hH时 2
Smax H
第二十二页，共33页。
小个质试点身位于手同题一点两9，个且质其点中以一加个速质度点g在具均有匀水重平力速场度中v1运＝3动.0．m开／始s；时另两一
个质点水平速度v2＝4.0 m／s，方向与前者相反．求当两个质点的速度矢量
tan1 2 2 1
AM
vA
vMA
45
B
vM
续解
求质点的加速度
规律
aMaM AaAa科
相对中介参考系的加速度 aMA 0
牵连加速度
aA 2 2b
a科
2
b 2
a科
AM
aMLeabharlann aAOωB
a M 2 2 b2 2 b 2 2 2 22 b 2 b 2 c o s4 5
2b
第十二页，共33页。
t2 0
O
续解x
aAy
lim
t 0
vy t
limuruttu
读题
2r
t 0
t
牵连加速度
aAx
lim
t0
vx t
limrututr
t 0
t
2u
aA r24u2
方向与x成
tan1 r
2u
参考系以ω匀速转动时，质点加速度的构成
相对中介参考系的加速度 a 相 对
y
牵连加速度
a牵连 2r
微元法
♠ 曲线运动的加速度
v 质点的瞬时加速度定义为 a lim 为求一般的做曲线运动质点在任一点 t 0 t
的瞬时加速度，通常将其分解为法向
加速度an与切向加速度at．
an
lim
t 0
vn t
at
lim vt t0 t
A
B
O
v v n
v B
vt
A点曲率圆半径
A点曲率圆
AvaBnAn
vA
s
A
at
aan
vA
小速度试矢量身与手圆相题如交图1成所弦示M，A质=点l，沿试一求圆此周加运速动度，的过M大点小时．速度大小为v，作加
将M点加速度沿切向与法向进行分解! M
法向加速度
an
a
sin
v2 R
l
O
a v2
R sin
而 sin = l
2R 2 v 2 a l
第七页，共33页。
v at
10.0m／s加大到10.5 m／s，那么该赛车在半径为30 m的环形公路段行驶中，要达到同样 大的速度需要多少时间？当环形公路段的半径为多少时，赛车的速度就不可能增大到超 过10 m/s？（公路的路面是水平的）
当代轨在 切入无道直向环数切线半加形据向加速公径速加度路令时速上1车9法0度，0的.5法向0，加4向赛加速加车度速0a速t.速:2t2度度5率大a不van小2t会05等t增v于vvR加tt02tat00:v0a0.n21Rv550m2 mat2/sa20 a02
22 21
第十五页，共33页。
方向与AO夹角
tan1 1 2 1
♠ 曲线运动轨迹的曲率
曲线的弯曲程度用曲率描述
曲线上某点的曲率定义为
K lim t0 s
圆周上各点曲率相同:
1
K
R R
s
R
曲线上各点对应的半径为该点曲
率倒数1/K的圆称为曲率圆,该圆圆 心称曲线该点的曲率中心!
第十六页，共33页。
在Δt时间内，质点沿y方向速度增量为
v y u c o s t r u ts i n t u y
在Δt时间内，质点沿x方向速度增量为
B
v x u s i n t r u tc o s t ru
B rut
注意到Δt→0时 cost 1
A ωr
sintt
t
vn v0
第四由页，共图33页。示v、vvt、t v则 n矢vv量0c关o系vt0及si位n置hs的v0几何关h 2系s易得s 2：v0
续解
求船的加速度
读题
在一小段时间Δt内,船头位置从A
移A′，绳绕滑轮转过一小角度
Δθ→0:
v
v0
sin
1
1
vv0sinsin
由加速度定义得： 由几何关系得：
v0
一个螺距，完成一次圆周，即有
2 r h
v0 vh
vh
设螺旋线上任一点的曲率半径为ρ
v0
则
an
v
2 0
r
v
2 0
v
2 h
h
r
v
2 0
v
2 h
v
2 0
r
1
h2
4 2r 2
r
第十九页，共33页。
受恒力作用
v0
力与初速度垂直
s
轨迹为半支抛物线
x
匀变速曲线运动
水平方向匀速运动与竖直方 向自由落体运动的合成
船及与船相系的绳端A的实际运动是水 v0
平向左的，这可看作是绳之A端一方
面沿绳方向向“前方”滑轮处“收短” h
，同时以滑轮为圆心转动而成，即将实
v
际速度v分解成沿绳方向“收短”的
分速度vn和垂直于绳方向的转动分速 度vt;
vn
A
s vt
注意到绳子是不可伸长的，人收绳的速 率v0也就是绳端A点沿绳方向移动速率vn:
v0
v t
vt
A
v
A v
则a
v a lim
t0 t
lim
0
v0
1
sin
1
sin
h tan
h
t cohsvt
vh0c ostan
cos
lim 0vh 0 2tcao nssin sinsin sin
v0 cos
limv02cos 0 htan
cos2sin2
sinsin
n
Rlim n i1
vi vi1 vi1vi
n 1
Rlim n
i
1
vi
1
1
vi
1 1 1 1 Rv0v1v1v2
1 1 vn1v
1 1
R
v0
v
v Rv0
第十一页，共33页。
R v0T
若速率从v0减小, 有
v Rv0 R v0T
专题7-例3 如图所示，圆盘半径为R，以角速度ω绕盘心O转动，一质点沿径向槽
以恒定速度u自盘心向外运动，试求质点的加速度．
本题讨论中介参考系以ω匀速转动时，质点加速度的构成
质点的运动是质点相对槽的运动及与槽一起转 动两者之合运动． 设某一瞬时质点沿槽运动到与O相距r的位置A
uA
经Δt时间，质点沿槽运动到与盘心O相距r+uΔt 的位置
O
B ，盘转过了角度ωΔt，故质点实际应在位置B′
理方法求曲率(半径)示例1
专题7-例4 用矢量分解法求椭圆长轴与短轴端点的曲率半径,已知长半
轴与短半轴为a和b.
设质点在M平面内沿椭圆轨道以速率v运动，这个运动在M1平面的
一个分运动轨道恰成半径为b的圆，则两平面间夹角
cos1 b
对椭圆长轴端的A点: a v 2
对A点投影A1点:
aA
v2
A
a A1 b
A
又aA1 aAcos
b aaA
椭圆短轴端B点的曲率半径由
aB
v
A
M
b2
v
aA
aB
Bv
a
M1
A1
aAa1 B B1
v2 vcos
B
b
2
B
第十七页，共33页。
a2 b
理方法求曲率(半径)示例2
专题7-例5 用运动分解法求抛物线上某点的曲率半径.
设质点以速度v0做平抛运动
平抛规 律
在
A
a an
小时针试方身向转手动题．如由2图于所曲示柄，的曲A柄端O推A动长水40平cm板,以B等而角使速滑度杆ωC=0沿.5竖ra直d/s方绕向O上轴升反
，求当曲柄与水平线夹角θ=30°时，滑杆C的加速度．