北师大版九年级数学上册 第六章 反比例函数 复习学案设计(无答案)

反比例函数知识点归纳和典型习题
基础知识梳理：
（一）反比例函数的概念
1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；
2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；
3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．
（二）反比例函数的图象
在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．
（三）反比例函数及其图象的性质
1．函数解析式：（）
2．自变量的取值范围：
3．图象：
（1）图象的形状：双曲线．
越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：
与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．
当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；
当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．
图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．
4．k的几何意义
如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x 轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积
是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．
如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．
图1 图2
5．注意：
（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．
（2）直线与双曲线的关系：
当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．
（四）实际问题与反比例函数
1．求函数解析式的方法：
（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．
2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的理解和研究上．
（五）充分利用数形结合的思想解决问题．
反比例函数自身就是一种几何与代数知识的结合，因而在进行反比例函数解题的时候要尽可能多的利用数形结合思想，将代数的准确性以及几何的直观性都充分地表现出来，从而促进数学解题思路的拓展与提升，从而将数学问题的难度降低，帮助学生更轻松、更直观地进行解题。

三、典型题目
1．反比例函数的概念
例：下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ）． A ．y=3x B ．
C ．3xy=1
D ．
解析：明确反比例函数的三种表示方式：（）；可以写成：也可以写成
xy=k 的形式； 故而C 答案符合要求。

典型习题
（1）下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ）． A ．
B ．
C ．
D ．
（2）如果函数2
2
)1(--=m
x m y 是反比例函数，那么m 的值是( )．
A 、2, B.1 C.-1 D.1±
（3）请写出下列各题中变量y 与x 的关系，并判断y 是x 的反比例函数的有几个？
（1）一个矩形的面积是202cm ，相邻的两条边长分别为 x （cm ）和 y （cm ）； （2）某种大米的单价是2.2元/千克，当购买x 千克大米时，花费为y 元； （3）京沪高速公路全长约为1262km ，汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京，所需的时间为y （h ），行驶的平均速度为x （km/h ）；
（4）一个圆柱的体积为1203cm ，它的高y （cm ）与底面半径x （cm ） A.1 B.2 C.3 D.4 2、图象和性质
例：（1）对于函数x
y 2
-=，下列说法错误的是( )．
【A 】这个函数的图象位于第二、第四象限
【B 】当x ＜0时，y 随x 的增大而减小
【C 】这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 【D 】当x ＞0时，y 随x 的增大而增大
解析：本题目考察能够用文字语言解释反比例函数的性质.对于x
y 2
-
=的图像是双曲线，这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，k=-2<0所以图像位于第二、四象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大。

所以B 选项错误。

例（2）已知一次函数y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第
________象限．
解析：本题目是一次函数与反比例函数综合利用数形结合解决问题，可以借助图像进行，一次函数y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，所以a<0,b>0，于是ab<0 ,所以函数的
图象位于第二、四象限． 典型习题：
（1）对于反比例函数x
y 3
=，当x ＞1时，y 的取值范围是( )．
【A 】y ＞3或y ＜0 【B 】y ＜3 【C 】y ＞3 【D 】0＜y ＜3 （2）已知函数
是反比例函数，
①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________． ②若y 随x 的增大而减小，那么k=___________．
（3）某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y （单位：公顷/人）与总人口x （单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）.
【A 】该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
【B 】该村人均耕地面积y 与总人口x 成正比例
【C 】若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 【D 】当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷 （4）.已知长方形的面积为20cm 2，设该长方形一边长为ycm ，另一边的长为xcm ，则y 与x 之间的函数图象大致是（ ）.
【A 】【B 】【C 】【D 】
（5）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____
象限．
（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
3.函数的增减性
例：已知反比例函数x
y 2
-=，若点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）都在其图象
上，且x 1＞x 2＞0＞x 3，用“＞”连接y 1、y 2、y 3为 . 解析：此题目解法比较多。

典型习题： （1）在反比例函数的图象上有两点
，
，且
，
则
的值为（ ）．
A ．正数
B ．负数
C ．非正数
D ．非负数 （2）在函数（a 为常数）的图象上有三个点，
，
，
则函数值、、的大小关系是（ ）． A ．＜
＜
B ．
＜
＜
C ．＜
＜
D ．
＜
＜
（3）下列四个函数中：①
；②
；③
；④
．
y 随x 的增大而减小的函数有（ ）．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 （4）已知反比例函数
的图象与直线y=2x 和y=x+1的图象过同一点，则当x ＞0时，
这个反比例函数的函数值y 随x 的增大而 （填“增大”或“减小”）．
（5）.已知反比例函数x
y 4
=
，若该反比例函数的图象与直线y ＝kx ＋4（k ≠0）只有一
个公共点，则函数y =kx 2－2x ＋1的最大值是y = .
4．解析式的确定
例：已知y 与x 之间的关系满足下表：
则y 与x 之间的函数关系式为 ；当x=4时，y= .
【答案】x
y 12
-=；-3.
典型习题：
（1）已知反比例函数的图象经过点
，反比例函数
的图象在第二、
四象限，求
的值．
（2）已知一次函数y=x+m 与反比例函数
（
）的图象在第一象限内的交
点为P （x ，3）．
①求x 的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．
（3）某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出．据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每月可销售300个．若销售单价每降低1元，每月可多售出2个．据统计，每个玩具的固定成本Q （元）与月产销量y （个）满足如下关系：
求每个玩具的固定成本Q （元）与月产销量y （个）之间的函数关系式.
5．面积计算
例：如图，Rt△AOB 的顶点A 在双曲线
上，且，求m 的
x … -2 -1 1 2 3 …
y … 6 12 -12 -6 -4 … 月产销量y （个） … 160 200 240 300 … 每个玩具的固定成本Q （元） …
60
48
40
32
…
值．
解：根据反比例函数k的几何意义的m=2S
△AOB
=2×3=6
典型习题：
（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．A．B．
C．D．
第（1）题图第（2）题图（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x 轴，△ABC的面积S，则（）．
A．S=1 B．1＜S＜2 C．S=2 D．S＞2
（3）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．
第4题图第5题图第6题图
第4题图
（4）如图，A 、B 两点在双曲线4
y x
=上，分别经过A 、B 两点向轴作垂线段，已知S 阴影=1，则S 1+S 2= .
（5）.如图，点A 在双曲线2(0)y x x
=>上，点B 在双曲线4(0)y x x
=>上，且AB //y 轴点
P 是y 轴上的任意一点，则△PAB 的面积为 .
（6）.如图，点A 、B 是x 轴上的点，分别过点A 、B 作x 轴的垂线交反比例函数1
(0)
y x x
=＞的图象于C 、D 两点，若OB =AB ，则BD 与AC 的比值为 .
（7）如图，在平面直角坐标系中，点A 1、A 2、A 3，…是x 轴正半轴上的点，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=…，分别过点A 1、A 2、A 3，…作y 轴的平
行线，交反比例函数x
y 6
=（x ＞0）的图象于点B 1、B 2、B 3，…，
则△A n B n B n +1的面积等于 ( )．
【A 】n 3 【B 】n 6 【C 】1n 3+ 【D 】1n 6+
6反比例函数与一次函数
例：已知正比例函数y =ax 与反比例函数y =
b
x
的图象有一个公共点A （1，2）． （1）求这两个函数的表达式；
（2）在给出的网格中画两个函数的图象，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围．
解：（1）把A （1，2）代入y =ax 得a =2，
所以正比例函数解析式为y =2x ； 把A （1，2）代入y =得b =1×2=2，
所以反比例函数解析式为y =2
x
.
（2）﹣1＜x ＜0或x ＞1.
典型习题
：（1）、如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m
y x
=
的图象交于
(12),(2n)A B -，， 两点．
①试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
②求AOB △的面积．
③根据图像直接写出反比例函数值大于一次函数值的x 的取值范围。

7.用反比例函数的建立数学模型解决实际问题.
例：某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示：
第1天 第2天 第3天 第4天 售价x （元/双）
200
240
250
300
销售量y （双）
30
25
24
20
（1）观察表中数据，x ，y 满足什么函数关系？请求出这个函数关系式； （2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为多少元？
（3）若要每天销售这种运动鞋的利润率不低于25%，则每天的销量最多是多少双？ 解：（1）由表中数据得：xy=6000，
O
y
x
C A
B
∴y=.
（2）由题意得：（x﹣120）y=3000，
把y=代入得：（x﹣120）•=3000，
解得：x=240；
经检验，x=240是原方程的根；
答：若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为240元．
（3）由题意得：x≥（1+25%）×120，即：x≥150
∵y=，k=6000＞0，
∴y随x的增大而减小，
∴y≤40.
答：每天的销量最多是40双.
典型习题：
（1）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20℃，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想再8：10上课前能喝到不超过40℃的开水，问他需要在什么时间段内接水．
（2）制作一种产品，需先将材料加热达到60 ℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），加热开始计算的时间为x（min）．据了解，当该材料加热时，温度y与时间x一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加热前的温度为15 ℃，加热5分钟后温度达到60 ℃．
1.分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x间的函数关系式；
2.根据工艺要求，当材料的温度低于15 ℃时，停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
北师大版九年级数学上册第六章反比例函数复习学案设计（无答案）
（3）某厂 2015年起开始投入技术改进资金，经过技术改进后，某产品的生产成本不断降低，
年度2015 2016 2017 2018 投入技改资金x（万元） 2.5 3 4 4.5
产品成本y（万元/件）7.2 6 4.5 4
（1）请认真分析表中数据，从所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中，确定哪种函数能表示其变化规律？说明你确定的理由，并求出y与x之间的关系式；
（2）按照这种变化规律，若2020年投入技改资金5万元，预计届时生产成本每件比2018年降低多少万元？
（4）心理学家研究发现,一般情况下,一节课40分钟中,学生的注
意力随教师讲课的变化而变化。

开始上课时,学生的注意力逐步增
强,中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态,随后
学生的注意力开始分散。

经过实验分析可知,学生的注意力指标数
y随时间x(分钟)的变化规律如图所示(其中AB,BC分别为线段,CD
为双曲线的一部分):
(1)分别求出线段AB和曲线CD的函数关系式；
(2)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?
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