汉铁高中高三年级数学周练(文科).docx

2015届汉铁高中高三年级数学周练（文科）
2015.4.8
（满分150分，考试时间120分）
第Ⅰ卷（选择题 50分）
一、选择题
1.已知集合{}i
A,1
-
=，i为虚数单位，则下列选项正确的是（）
A．A
i
∈
1
B．A
i
i
∈
+
-
1
1
C．A
i∈
5D．A
i∈
-
２.已知m,n为实数，则“mn＞0”是“方程221
mx ny
+=表示椭圆”的
( )
A．必要且不充分条件 B．充分且不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
３．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等
于
A．
7
3
πB．16π C．8π D．
28
3
π
４.若变量x，y满足约束条件
0,
0,
4312,
x
y
x y
≥
⎧
⎪
≥
⎨
⎪+≤
⎩
则
3
1
y
z
x
+
=
+
的取值范围是
A .(
3
4
，7) B.[
2
3
，5 ] C.[
2
3
，7] D. [
3
4
，7]
５．程序框图如图所示：
如果上述程序运行的结果S＝1320，那么判断框中应填入( )
A．K≤11? B．K≤10? C．K＜9? D．K＜10?
6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin
C
2
＝
6
3
，a＝b＝3，点P是边AB上
的一个三等分点，则CP
→
·CB
→
＋CP
→
·CA
→
＝( )
A．0 B.6 C．9 D.12
７. 已知函数)0
(
cos
sin
3
)
(>
+
=ω
ω
ωx
x
x
f的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差
2
正视图
俯视图
1
1
3
第３题图
侧视图
为
2π的等差数列，把函数)(x f 的图象沿x 轴向左平移6π
个单位，得到函数)(x g 的图象.关于函数)(x g ，下列说法正确的是
A. 在]2,4[ππ上是增函数
B. 其图象关于直线4
π
-=x 对称
C. 函数)(x g 是奇函数
D. 当]3
2
,6[ππ∈x 时，函数)(x g 的值域是]1,2[-
８.已知函数1
3
3,(1),()log ,(1),x x f x x x ⎧≤⎪
=⎨>⎪⎩，则函数(1)y f x =-的
大致图象是
９.
2:x 设切
(p 1若1 11 １０．对于函数()f x ，若存在区间][n m A ，=，使得{}A A x x f y y =∈=，)(|，则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 A ．()sin(
)2
f x x π
= B ．12)(2
－
x x f = C ．()21x
f x =+
D ．2()log (22)f x x =-
第Ⅱ卷（非选择题 100分）
二、填空题(本大题共7小题,每小题5分,)
11．设向量(21)a =-r ，
，(34)b =r ，，则向量a r 在向量b r
方向上的投影为 ． 12．已知α为钝角，且3
cos(
)25
π
α+=-，则sin 2α= ． １3. 设函数22,(0)
()log ,(0)
x
x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤错误！未找到引用源。

，则方程1()2f x =错误！未找
到引用源。

的解集为
14．已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，准线为直线l ，过抛物线上一点P 作PE l ⊥于E ，若直线EF 的倾斜角为o
150，则||PF = ． 15. 正实数x,y 满足xy+x+2y=6， x+y 的最小值为 .
B D
C
16. 函数⎩⎨⎧>≤-=1
,ln 1,1)(2x x x x x f ，若方程21
)(-=mx x f 恰有四个不相等的实数根，则实数
m 的取值范围是____________.
17．将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为a ，b ，则直线0ax by +=与圆
22(2)2x y -+=无公共点的概率为 ____________.
三、解答题
18. (本小题满分12分)
在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，已知b A c C a 2
3
2cos 2cos 22=+ （1）求证：c b a 、、成等差数列； （2）若，34,3
==
S B π
求b
19. （本小题满分13分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足
113,1a b ==，
2252310,2.b S a b a +=-=
(Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (Ⅱ)令设数列{}n c 的前n 项和n T ，求2.n T
20. (本小题满分13分)
直三棱柱111ABC A B C - 中，11AA AB AC ===，E ，F 分别是1CC 、BC 的中点，11AE A B ⊥，D 为棱11A B 上的点. （1）证明：DF AE ⊥;
（2）当112A D B D =时，求ＤＦ与平面ＢＣＥ所成的角正切值 21. (本小题满分13分)
椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点为4,(,)33b
A P 是C 上的一点，以AP 为直径的圆经
过椭圆C 的右焦点F ． （1）求椭圆C 的方程；
（2）动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到直线l 的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由． 22. (本小题满分14分) 函数x
x
a x f ln )(+=
，若曲线)(x f 在点
))(,e f e （处的切线与直线02=+-e y x e 垂直（其中e 为自然对数的底数）. （（1）求实数a 的值
（2）若)(x f 在)1,(+m m 上存在极值，求实数m 的取值范围；
n 为奇数， n 为偶数， 2,,
n n n S c b ⎧⎪=⎨⎪⎩
B 1
（3）求证：当1>x 时，)
1)(1(21)(1
++>+-x
x xe x e e x f .
（文科）参考答案
一、选择题(每小题5分，共60分)
1-5： CADDD 6-10：CDDDB 二、填空题(每小题5分，共20分)
11. 2/5 12.—24/25 13.150 14. 4/3 15. 324- 16.
)1
,21(e
17. 5/12 18.解：（1）由正弦定理得：B A C C A sin 2
3
2cos sin 2cos sin 22
=+ 即B A C C A sin 2
3
2cos 1sin 2cos 1sin =+++ ………2分
∴B C A C A C A sin 3sin cos cos sin sin sin =+++
即B C A C A sin 3)sin(sin sin =+++ ………4分 ∵B C A sin )sin(=+
∴B C A sin 2sin sin =+ 即b c a 2=+
∴c b a 、、成等差数列。

………6分
（2）∵3443
sin 21==
=ac B ac S ∴16=ac ………8分 又ac c a ac c a B ac c a b 3)(cos 22
22222-+=-+=-+= ………10分
由（1）得：b c a 2=+ ∴48422-=b b
∴162=b 即4=b ………12分 19.解析：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，则
由225
2310,2,b S a b a +=⎧⎨-=⎩得610,34232,q d d q d ++=⎧⎨+-=+⎩解得2,2,d q =⎧⎨=⎩
所以32(1)21n a n n =+-=+，12n n b -=． …………………4分
(Ⅱ)由13a =，21n a n =+得(2)n S n n =+，
则即 …………………6分
21321242()()n n n T c c c c c c -=+++++++L L
32111111[(1)()()](222)3352121
n n n -=-+-++-++++-+L L …………………9分
12(14)12114
n
n -=-+
+-22(41)213n n n =+-+ …………………12分 19（1）.P=1/5+4/5*2/5+4/5*3/5*3/5=101/125
（2）p(ξ=10000)=1/5 p(ξ=5000)=8/25 p(ξ=2500)=36/125 p(ξ=1250)=96/625 p(ξ=625)=24/625 E(ξ)=4536 20 （1）证明：11AE A B ⊥Q ，11A B ∥AB AB AE ∴⊥ 又1AB AA ⊥Q 1AE AA A ⋂=
11
1,22,n n c n n -⎧-⎪=+⎨⎪⎩n 为奇数， n 为偶数， n 为奇数， n 为偶数， 12,(2)2,n n n n c -⎧⎪
+=⎨⎪⎩
AB ∴⊥面11A ACC 又AC ⊂Q 面11A ACC
AB AC ∴⊥ ………2分 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz - 则()0,0,0A ,10,1,2E ⎛
⎫ ⎪⎝⎭,11,,022F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,1(0,0,1)A ,1(1,0,1)B
设(),,D x y z ，111A D A B λ=u u u u v u u u u v
且[0,1]λ∈,即：()(),,11
,0,0x y z λ-=(),0,1D λ∴ 11,,122DF λ⎛⎫∴=-- ⎪
⎝⎭
u u u v
10,1,2AE ⎛⎫
∴= ⎪⎝
⎭u u u v ………5分
∴11
022
DF AE =-=u u u v u u u v g DF AE ∴⊥ ………6分
（222/22
21解：（1）(,0),(0,)F c A b ，由题设可知0FA FP ⋅=u u u r u u u r
，得
2
2
4033
b c c -+=
① ………1分 又点P 在椭圆C 上，2
222161,2
99b a a b ∴+=⇒=
②
2222b c a +==
③ ………3分
①③联立解得，21,1c b == ………4分
故所求椭圆的方程为2
212x y += ………5分
（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，代入椭圆方程，消去y ，
整理得222(21)4220k x kmx m +++-=
（﹡）
方程（﹡）有且只有一个实根，又2210k +>，
所以0,∆=得2221m k =+ ………8分 假设存在1122(,0),(,0)M M λλ满足题设，则由 221212121222()21
()()
1
1
k km k k m k m d d k k ++++++⋅=
=
++λλλλλλ 212122(2)()111k km k ++++==+λλλλ对任意的实数k 恒成立,
所以， 1212210+=⎧⎨+=⎩λλλλ 解得，11
22
11
11==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩λλλλ或 当直线l 的斜率不存在时，经检验符合题意.
总上，存在两个定点12(1,0),(1,0)M M -，使它们到直线l 的距离之积等于1. ………13分
22.解：（1）∵2ln 1)(x x
a x f --=
'
由已知21)(e e f -=' ∴221
-e
e a -= 得1=a ∴
)0(ln )(ln 1)(2>-='+=x x
x x f x x x f
当)(,0)(,)1,0(x f x f x >'∈时为增函数； 当),1(+∞∈x 时，0)(<'x f ，)(x f 为减函数。

∴1=x 是函数)(x f 的极大值点 又)(x f 在)1,(+m m 上
存在极值
∴ 11+<<m m 即10<<m 故实数m 的取值范围是）
（1,0 )
1)(1(21)(1
++>+-x
x xe x e e x f 即为1
2)1)(ln 1111
+>+++-x x xe e x x x e （
令x
x x x g )
1)(ln 1()(++=
则22
[(1)(ln 1)](1)(ln 1)ln ()x x x x x x x
g x x x '++-++-'==
再令x x x ln )-=（φ 则x
x x x 1
11-=
-='）（φ ∵1>x ∴0)(>'x φ ∴ )(x φ在），（∞+1上是增函数 ∴01)1()(>=>φφx ∴0)(>'x g ∴)(x g 在）
，（∞+1上是增函数 ∴1>x 时，2)1()(=>g x g 故1
2
1)(+>
+e e x g 令=)(x h 1
21
+-x
x xe e 则21211)1()
1(2)1()1()1(2)(+-=
+'+-+='---x x x x x x x x xe e e xe e xe xe e x h ∵1>x ∴01<-x
e ∴0)(<'x h 即)(x h ）
，（∞+1上是减函数 ∴1>x 时，12)1()(+=<e h x h 所以()
()1
g x h x e >+， 即
)
1)(1(21)(1
++>
+-x x xe x e e x f。