新初中数学图形的相似专项训练解析含答案

新初中数学图形的相似专项训练解析含答案
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，
使点C落在C′的位置，C′D交AB于点Q，则BQ
AQ
的值为（）
A B C．
2D．
2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出AD＝DC＝BD，AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，进而求出∠C、∠B的度
数，求出其他角的度数，可得AQ＝AC，将BQ
AQ
转化为
BQ
AC
，再由相似三角形和等腰直角
三角形的边角关系得出答案．
【详解】
解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ADC＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE＝
2
AD，
在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，
∴AD＝CD＝BD，
由折叠得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，
∴∠CDC′＝45°+45°＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD，
∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，∴AC′＝AQ＝AC，
由△AEC∽△BDQ得：BQ
AC
＝
BD
AE
，
∴BQ
AQ
＝
BQ
AC
＝
AD
AE
＝
AE
．
故选：A．
【点睛】
考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定等知识，合理的转化是解决问题的关键．
2．如图，AB 为O e 的直径，C 为O e 上一点，弦AD 平分BAC ∠，交弦BC 于点E ，4CD =，2DE =，则AE 的长为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【答案】C
【解析】
【分析】 根据角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD ，根据圆周角定理得到∠DCB=∠BAD ，证明△DCE ∽△DAC ，根据相似三角形的性质求出AD ，结合图形计算，得到答案．
【详解】
解：∵AD 平分∠BAC ，
∴∠CAD=∠BAD ，
由圆周角定理得，∠DCB=∠BAD ，
∴∠CAD=∠DCB ，又∠D=∠D ，
∴△DCE ∽△DAC ， ∴DE DC DC DA =，即244AD
=， 解得，AD=8，
∴AE=AD -DE=8-2=6，
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
3．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点
E ，连接AC 交DE 于点
F .若3sin 5
CAB ∠=，5DF =，则AB 的长为( )
A ．10
B ．12
C ．16
D ．20
【答案】D
【解析】
【分析】 连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到5FD FA ==，再根据正弦的定义计算出3EF =，则4AE =，8DE =，接着证明ADE DBE ∆∆∽，利用相似比得到16BE =，所以20AB =．
【详解】
解：连接BD ，如图，
AB Q 为直径，
90ADB ACB ∴∠=∠=︒，
AD CD =Q ，
DAC DCA ∴∠=∠，
而DCA ABD ∠=∠，
DAC ABD ∴∠=∠，
DE AB ∵⊥，
90ABD BDE ∴∠+∠=︒，
而90ADE BDE ∠+∠=︒，
ABD ADE ∴∠=∠，
ADE DAC ∴∠=∠，
5FD FA ∴==，
在Rt AEF ∆中，3sin 5
EF CAB AF ∠=
=Q ， 3EF ∴=， 22534AE ∴-=，538DE =+=，
ADE DBE ∠=∠Q ，AED BED ∠=∠，
ADE DBE ∴∆∆∽，
::DE BE AE DE ∴=，即8:4:8BE =，
16BE ∴=，
41620AB ∴=+=．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．
4．如图，已知////AB CD EF ，:3:5AD AF =，6BC =，CE 的长为（ ）
A ．2
B ．4
C ．3
D ．5
【答案】B
【解析】
【分析】 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】
∵AD ：AF=3：5，
∴AD ：DF=3：2，
∵AB ∥CD ∥EF ， ∴AD BC DF CE =，即362CE
=， 解得，CE=4，
故选B ．
【点睛】 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5．如图所示，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于E 点，对角线BD 交AG 于F 点．已知FG=2，则线段AE 的长度为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
【答案】D
【解析】 分析：根据正方形的性质可得出AB ∥CD ，进而可得出△ABF ∽△GDF ，根据相似三角形的性质可得出AF AB GF GD
==2，结合FG=2可求出AF 、AG 的长度，由CG ∥AB 、AB=2CG 可得出CG 为△EAB 的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE 的长度，此题得解． 详解：∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB=CD ，AB ∥CD ，
∴∠ABF=∠GDF ，∠BAF=∠DGF ，
∴△ABF ∽△GDF ， ∴
AF AB GF GD
==2， ∴AF=2GF=4，
∴AG=6． ∵CG ∥AB ，AB=2CG ，
∴CG 为△EAB 的中位线，
∴AE=2AG=12．
故选D ．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF 的长度是解题的关键．
6．如图，在ABC ∆中，点D E F 、、分别在边AB AC BC 、、上，
// ,//DE BC DF AC ，则下列结论一定正确的是( )
A ．DE CE BF AE
= B ．
AE CE CF BF = C ．AD AB CF AC
= D ．DF AD AC AB = 【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理，可得B 正确．
【详解】
解：//DE BC Q ，//DF AC ， ∴AE AD CE BD =，BF BD CF AD
=， ∴
AE CF CE BF =， 故B 选项正确，选项A 、C 、D 错误，
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查平行线分线段成比例，找准对应边是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为
13
，点A ，B ，E 在x 轴上．若正方形ABCD 的边长为2，则点F 坐标为（ ）
A ．（8，6）
B ．（9，6）
C ．19,62⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．（10，6）
【答案】B
【解析】
【分析】 直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF 的长，进而得出△OBC ∽△OEF ，进而得出EO 的长，即可得出答案．
【详解】
解：∵正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13
， ∴13BC OB EF EO ==， ∵BC ＝2，
∴EF ＝BE ＝6，
∵BC ∥EF ，
∴△OBC ∽△OEF ，
∴136
BO BO =+， 解得：OB ＝3，
∴EO＝9，
∴F点坐标为：（9，6），
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出OB的长是解题关键．
8．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于点F，且S△EFC＝3S△EFD，则S△ADE：S△ABC的值为（）
A．1：3 B．1：8 C．1：9 D．1：4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，易证△DEF∽△CBF，同理可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即可解答．
【详解】
∵S△EFC＝3S△DEF，
∴DF：FC＝1：3 （两个三角形等高，面积之比就是底边之比），
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴DE：BC＝DF：FC＝1：3
同理△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC＝1：9，
故选：C．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比是对应边比例的平方．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（）
A．3
2
B．
9
2
C．
33
2
D．33
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∴△ACD∽△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
∵AC=3，AB=6，∴AD=3
2
．故选A．
考点：相似三角形的判定与性质．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB的中点，点P是直线BC 上一点，将△BDP沿DP所在的直线翻折后，点B落在B1处，若B1D⊥BC，则点P与点B 之间的距离为（）
A．1 B．5
4
C．1或 3 D．
5
4
或5
【答案】D
【解析】
【分析】
分点B1在BC左侧，点B1在BC右侧两种情况讨论，由勾股定理可AB=5，由平行线分线段
成比例可得
1
2
BD BE DE
AB BC AC
===，可求BE，DE的长，由勾股定理可求PB的长．
【详解】
解：如图，若点B1在BC左侧，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=225
AC BC
+=
∵点D是AB的中点，
∴BD=1
2
BA=
5
2
∵B1D⊥BC，∠C=90°∴B1D∥AC
∴
1
2 BD BE DE
AB BC AC
===
∴BE=EC=1
2
BC=2，DE=
1
2
AC=
3
2
∵折叠
∴B1D=BD=5
2
，B1P=BP
∴B1E=B1D-DE=1
∴在Rt△B1PE中，B1P2=B1E2+PE2，∴BP2=1+（2-BP）2，
∴BP=5 4
如图，若点B1在BC右侧，
∵B1E=DE+B1D=3
2
+
5
2
，
∴B1E=4
在Rt△EB1P中，B1P2=B1E2+EP2，∴BP2=16+（BP-2）2，
∴BP=5
故选：D．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．
11．平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）经过某种变换后得到的对应点为P′（1
2
a+1，
1
2
b﹣1）．已知A，B，C是不共线的三个点，它们经过这种变换后，得到的对应点分别为A′，B′，C′．若△ABC的面积为S1，△A′B′C′的面积为S2，则用等式表示S1与S2的关系为（）
A．S1
1
2
=S2B．S1
1
4
=S2C．S1＝2S2D．S1＝4S2
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据点P及其对应点判断出变换的类型，再依据其性质可得答案．【详解】
由点P（a，b）经过变换后得到的对应点为P′（1
2
a+1，
1
2
b﹣1）知，
此变换是以点（2，﹣2）为中心、2：1的位似变换，
则△ABC的面积与△A′B′C′的面积比为4：1，
∴S1＝4S2，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查几何变换类型，解题的关键是根据对应点的坐标判断出其几何变换类型．
12．如图，O是平行四边形ABCD的对角线交点，E为AB中点，DE交AC于点F，若平行四边形ABCD的面积为8，则DOE
∆的面积是()
A．2B．3
2
C．1D．
9
4
【答案】C
【解析】
【分析】
由平行四边形的面积，找到三角形底边和高与平行四边形底边和高的关系，利用面积公式以及线段间的关系求解．分别作△OED和△AOD的高，利用平行线的性质，得出高的关
系，进而求解．
【详解】
解：如图，过A、E两点分别作AN⊥BD、EM⊥BD，垂足分别为M、N，则EM∥AN，
∴EM：AN＝BE：AB，
∵E为AB中点，
∴BE=1
2 AB，
∴EM＝1
2 AN，
∵平行四边形ABCD的面积为8，
∴2×1
2
×AN×BD＝8，
∴AN×BD＝8
∴S△OED＝1
2
×OD×EM＝
1
2
×
1
2
BD×
1
2
AN＝
1
8
AN×BD＝1．
故选：C．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，综合了平行线分线段成比例以及面积公式．已知一个三角形的面积求另一个三角形的面积有以下几种做法：①面积比是边长比的平方比；②分别找到底和高的比．
13．如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（）
A．AF＝1
2 CF
B．∠DCF＝∠DFC
C．图中与△AEF相似的三角形共有5个D．tan∠CAD
3
【答案】D
【解析】
【分析】
由AE=12AD=12BC ，又AD ∥BC ，所以12
AE AF BC FC ==，故A 正确，不符合题意； 过D 作DM ∥BE 交AC 于N ，得到四边形BMDE 是平行四边形，求出BM=DE=
12BC ，得到CN=NF ，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B 正确，不符合题意；
根据相似三角形的判定即可求解，故C 正确，不符合题意；
由△BAE ∽△ADC ，得到CD 与AD 的大小关系，根据正切函数可求tan ∠CAD 的值，故D 错误，符合题意．
【详解】
解：A 、∵AD ∥BC ，
∴△AEF ∽△CBF ， ∴AE BC ＝AF FC
， ∵AE ＝
12AD ＝12BC ， ∴AF FC ＝12
，故A 正确，不符合题意； B 、过D 作DM ∥BE 交AC 于N ，
∵DE ∥BM ，BE ∥DM ，
∴四边形BMDE 是平行四边形，
∴BM ＝DE ＝12
BC ， ∴BM ＝CM ，
∴CN ＝NF ，
∵BE ⊥AC 于点F ，DM ∥BE ，
∴DN ⊥CF ，
∴DF ＝DC ，
∴∠DCF ＝∠DFC ，故B 正确，不符合题意；
C 、图中与△AEF 相似的三角形有△AC
D ，△BAF ，△CBF ，△CAB ，△AB
E 共有5个，故C 正确，不符合题意．
D 、设AD ＝a ，AB ＝b 由△BA
E ∽△ADC ，有
b a ＝2a ．
∵tan ∠CAD ＝
CD AD ＝b a ＝2
，故D 错误，符合题意． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
14．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，G ，F 分别为AD 、BC 边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF 的长为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B
【解析】 ∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠GEA+∠FEB=90°，
∴∠AGE=∠FEB ，∠AEG=∠EFB ，
∴△AEG ∽△BFE ， ∴
AE AG BF BE
=， 又∵AE=BE ， ∴AE 2=AG•BF=2，
∴2（舍负），
∴GF 2=GE 2+EF 2=AG 2+AE 2+BE 2+BF 2=1+2+2+4=9，
∴GF 的长为3，
故选B.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证明△AEG ∽△BFE ．
15．如图，矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的，AH 与BE 、BF 、DF 、DG 、CG 分别交于点P 、Q 、K 、M 、N ，设BPQ ∆，DKM ∆，CNH ∆的面积依次为1S 、
2S 、3S ，若1320S S +=，则2S 的值为( )
A ．6
B ．8
C ．10
D ．1
【答案】B
【解析】
【分析】 由已知条件可以得到△BPQ ∽△DKM ∽△CNH ，然后得到△BPQ 与△DKM 的相似比为12，△BPQ 与△CNH 的相似比为
13
，由相似三角形的性质求出1S ，从而求出2S . 【详解】
解：∵矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的，
∴AB=BD=CD ，AE ∥BF ∥DG ∥CH ，
∴四边形BEFD 、四边形DFGC 是平行四边形，∠BQP=∠DMK=∠CHN ，
∴BE ∥DF ∥CG ，
∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH ，
∴△ABQ ∽△ADM ，△ABQ ∽△ACH ， ∴
12AB BQ AD DM ==，13
BQ AB CH AC ==， ∴△BPQ ∽△DKM ∽△CNH ， ∵
12BQ MD =，13BQ CH =， ∴1214S S =，1319
S S =， ∴214S S =，319S S =，
∵1320S S +=，
∴12S =，
∴2148S S ==；
故选：B.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质以及平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确得到214S S =，319S S =，从而求出答案.
16．如图，在直角坐标系中，有两点A (6，3)、B (6，0)．以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（ ）
A ．(2，1)
B ．(2，0)
C ．(3，3)
D ．(3，1)
【答案】A
【解析】
【分析】 根据位似变换的性质可知，△ODC ∽△OBA ，相似比是
13，根据已知数据可以求出点C 的坐标．
【详解】
由题意得，△ODC ∽△OBA ，相似比是
13， ∴OD DC OB AB
=， 又OB =6，AB =3，
∴OD =2，CD =1，
∴点C 的坐标为：（2，1），
故选A ．
【点睛】
本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．
17．如图，顶角为36o 的等腰三角形，其底边与腰之比等k ，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB=1，ABC ∆为第一个黄金三角形，BCD ∆为第二个黄金三角形，CDE ∆为第三个黄金三角形以此类推，第2020个黄金三角形的周长（）
A ．2018k
B ．2019k
C ．2018
2k k + D ．2019(2)k k +
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相似三角形对应角相等，对应边成比例，求出前几个三角形的周长，进而找出规律：第n 个黄金三角形的周长为k n-1（2+k ），从而得出答案．
【详解】
解：∵AB=AC=1，
∴△ABC 的周长为2+k ；
△BCD 的周长为k+k+k 2=k （2+k ）；
△CDE 的周长为k 2+k 2+k 3=k 2（2+k ）；
依此类推，第2020个黄金三角形的周长为k 2019（2+k ）．
故选：D ．
【点睛】
此题考查黄金分割，相似三角形的性质，找出各个三角形周长之间的关系，得出规律是解题的关键．
18．若△ABC 的每条边长增加各自的50%得△A 'B 'C '，若△ABC 的面积为4，则△A 'B 'C '的面积是（ ）
A ．9
B ．6
C ．5
D ．2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵△ABC 的每条边长增加各自的50%得△A ′B ′C ′，
∴△ABC 与△A ′B ′C ′的三边对应成比例，
∴△ABC ∽△A ′B ′C ′， ∴214()150%9
ABC A B C S S '''==+V V ， ∵△ABC 的面积为4，则△A'B'C'的面积是9．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
19．如图，在四边形ABCD 中，,90,5,10AD BC ABC AB BC ∠=︒==P ，连接,AC BD ，以BD 为直径的圆交AC 于点E ．若3DE =，则AD 的长为（ ）
A ．55
B ．45
C ．35
D ．25
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断出△ABC 与△DBE 相似，求出BD ，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】
如图1，
在Rt △ABC 中，AB=5，BC=10， ∴AC=55，
连接BE ，
∵BD 是圆的直径，
∴∠BED=90°=∠CBA ，
∵∠BAC=∠EDB ，
∴△ABC ∽△DEB ，
∴AB AC DE DB
＝ ， ∴5355DB
＝ ， ∴DB=35
在Rt △ABD 中，2225BD AB -，
故选：D ．
【点睛】
此题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
20．如图所示，Rt AOB ∆中，90AOB ∠=︒ ，顶点,A B 分别在反比例函数()10y x x =>与()50y x x
=-<的图象器上，则tan BAO ∠的值为（ ）
A 5
B 5
C 25
D 10
【答案】B
【解析】
【分析】
过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥x 轴于D ，于是得到∠BDO=∠ACO=90°，根据反比例函数的
性质得到S △BDO =
52
，S △AOC =12，根据相似三角形的性质得到=5OB OA =，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】
解：过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥x 轴于D ， 则∠BDO=∠ACO=90°，
∵顶点A ，B 分别在反比例函数()10y x x =
>与()50y x x =-<的图象上， ∴S △BDO =52
，S △AOC =12， ∵∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠DBO=∠AOC ，
∴△BDO ∽△OCA ， ∴251522
BOD OAC S OB S OA ⎛⎫==÷= ⎪⎝⎭△△， ∴5OB OA
= ∴tan ∠BAO=
5OB OA =. 故选B.
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质以及直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．。