高考递推数列通项公式的题目型探究

高考递推数列通项公式的题型探究
2008-9-28
数列知识是高考考察的重点和热点,高考数列试题是以等差、等比数列知识为主干，经过几次变换构造成新的等差等比数列，下面就高考中常出现的几种数列类型做以简要探究。

类型一：周期数列
如果数列{}n a 满足：存在正整数M 、T ，使得对一切大于M 的自然数n ，都有n T n a a =+成立，则数列{}n a 为周期数列。

例1:已知数列{}n a 满足 21=a ，=+1n a
n a 1
1-
，求n a 。

解: =+1n a n a 11- ∴=+2n a 11
1+-n a =－1
1-n a , 从而=+3n a 1－
21+n a
+=1n a =-1n a ,
即数列{}n a 是以3为周期的周期数列。

又21=a ，2
1
2112=-
=a ,13-=a
所以 ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧+=-+=+==3
3,123,2113,2k n k n k n a n
变形: 数列{}n a 满足n n n n a a a a ==--1816,,且31=a ,求9a .(联想函数的对称性与周期性).练习1: 数列{}n a 满足n n a a -=+1,且21=a ,求n a .
练习2: 数列{}n a 满足n
n a a 1
1=
+,且31=a ,求n a .
（联想函数的周期性:a T x f a x f a T x f a x f 2)
(1
)(;2)()(=⇒=
+=⇒-=+）
练习3: 已知数列}{n a 满足)(1
33,0*11N n a a a a n n n ∈+-=
=+，求20a ；
类型二：形如)0,1(1≠≠+=+q p q pa a n n 的递推数列：可化为1+n a －
)1(1p
q
a p p q n --=-
,此时数列}1{p q a n --是以p 为公比，-1a p
q -1 为首项的等比数列，从而可求a 。

例2:已知数列{}n a 满足*
111,21().n n a a a n N +==+∈，求数列{}n a 的通项公式；
解析：
*121(),n n a a n N +=+∈112(1),n n a a +∴+=+即
21
1
1=+++n n a a
{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。

12.n n a ∴+= 即 *
21().
n n a n N =-∈
练习1: 数列{}n a 满足831+=+n n a a ,且21=a ,求n a .
练习2: 数列{}n a 满足921=++n n a a ,且21=a ,求n
a
类型三：形如)(1n g a a n n +=+ 的递推数列,可用累加求和相消法求n a 。

例3:已知数列}{n a 满足11
13,1--+==n n n a a a （2≥n ） ,
(1)求32,a a ； (2) 证明：=n a 2
1
3-n .
解析：(1) 13,4,1321===a a a .
(2) 证明： 11
3--+=n n n a a )2(≥n ,
1123=-a a 2233=-a a
……
113--=-n n n a a
将以上等式两边分别相加，并整理得: 2
133 (331)
2
1
1-=+++=--n n n a a .
练习1: 数列{}n a 满足n a a n n +=+1,且21=a ,求n
a 练习2: 数列{}n a 满足n
n n a a )2
1(1+=+,且11=a ,求n
a
练习3:在数列{n a }中，31=a ,)
1(1
1++
=+n n a a n n ，求通项公式n a .
类型四：形如n n a n f a )(1=+的递推数列，可用累积相消法求n a 。

例4:已知数列}{n a 满足21-=a , 13-=n n
n a a ，求通项n a 。

解： 12
23a a =;
2233a a =;
…
13-=n n n a a
两边相乘并整理得：
2
)
2)(1( (43213)
23
+-++++∙-=∙=n n n
n a a
练习1: 数列{}n a 满足n a a n n ∙=+1,且21=a ,求n a
练习2: 数列{}n a 满足n
n a a n n 1
1+∙
=+,且21=a ,求n a
练习3:设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(12
21=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题）.（分解因式）
练习4: 已知数列{}n a 中11123
,(2)321n n n a a a n n --==⋅≥+，
求数列{}n a 的通项公式。

类型五：形如)(1n g pa a n n +=+ 的递推数列，可用两边同除以1+n p 得
1
11)
(+-++=n n n n n p n g p a p a ，令=
+1n b 11++n n p a ，则=+1n b +n b 1
)
(+n p
n g ，仿照类型三求出 n b 之后，再求出n a .
例5:设有数列}{n a : 11=a , =+1n a 21n a ＋n 2
1
，求n a .
解： =
+1n a 21n a ＋n 2
1
=++112n n a n 2n a ＋2,
令11
12+++=n n n a b ，则21+=+n n b b ，即}{n b 是以2为公差，2,211==a b 为首项的等差数列，
故有n n b n 22)1(2=∙-+=，从而=
n a n n b 2，即=n
a n
n
2
***数列{}n a 满足1,2)2(111=∙--+=++a a a n n n n λλλ,求n
a
解:构建数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=
n n
n
n a b )2(λλ
为等差数列.
练习1: 数列{}n a 满足1
122++∙+=n n n n a a ,且21=a ,求n a
练习2: 数列{}n a 满足n
n n a a 331+=+,且21=a ,求n
a
注意:(
1
)
(+n p n g 的形式变化一定是为能构建基本数列服务的.)
类型六：形如11-++=n n n qa pa a 的递推数列，则其通项a n 的求法如下：（1）写出递推式所对应的
特征方程q px x +=2
；（2）解特征方程得到两个根21,x x ；(3)如果21x x ≠ ，则可设n
n n bx ax a 21+= ；
如果21x x = ，则可设n
n x dn c a 1)(+= ；（4）由初始值21,a a , 求出b a ,或d c ,。

例6:已知数列{}n a 满足*
12211,3,32().
n n n a a a a a n N ++===-∈
（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；（II ）求数列{}n a 的通项公式；
解析：（I ）证明：2132,n n n a a a ++=-所对应的特征方程是2
32-=x x
令232
-=x x 解得11=x ，22=x ，设n n d c a 2⋅+= （c .、R d ∈）
由121,3a a ==得
{
{
11123
4-===+=+⇒
c d d c d c 12-=n
n a 从而21
1
=---+n n n n a a a a
{}1n n a a +∴-是以21a a -2=为首项，2为公比的等比数列。

（II ）解：由（I ）得1
2-=n
n a
练习1: 数列{}n a 满足1132-+=+n n n a a a ,且4,221==a a ,求n
a 练习2: 数列{}n a 满足0211=+--+n n n a a a ,且4,221==a a ,求n
a 练习3: 数列{}n a 满足04411=+--+n n n a a a ,且4,221==a a ,求n
a
类型七：形如)0,0(1>>=+n q
n n a p pa a 型的递归数列，可用对数代换法求n a 。

例7:设数列}{n a 满足2
115,4n n a a a ==+ ，求n a .
解：由2
115,4n n a a a ==+ 可知0>n a ，所以两边取对数，得5lg lg 2lg 1+=+n n a a ，令
n n a b lg =，则5lg 21+=+n n b b ，化为)5lg (25lg 1+=++n n b b ，即}5lg {+n b 是以2为公比，20lg 5lg lg 5lg 11=+=+a b 为首项的等比数列，从而有：即=
n a 5
201
2
-n 。

练习1:数列{}n a 满足4110n n a a =+,且,21=a ,求n
a 练习2:数列{}n a 满足2
1100n n a a =+,且,21=a ,求n
a
类型八：形如=+1
n a d
ca b aa n n ++(0≠c ,0≠-bc ad ) 型的通项公式的求法：(1)写出递推式所对应的特征方程d
cx b
ax x ++=
；（2）解特征方程得到两个根21,x x ；（3）如果21x x ≠，则数列
｛
2
1x a x a n n --｝是等比数列 ；如果x 1 = x 2，则数列｛1
1
x a n -｝是等差数列；（4）由等比数列或
等差数列的通项公式求n
a
例8:（08全国II 卷理科）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且方程2
0n n x a x a --=
有一根为
1,1,2,3,...n S n -= （I ）求12,;a a （II ）求{}n a 的通项公式
解析：由方程2
0n n x a x a --= 有一根为1,1,2,3,n S n -=得
2(1)(1)0n n n n S a S a ----= ∴a 1=12
1--=n n n S S a 211(1)()(1)()0n n n n n n S S S S S S --------=。

即0121=+-⋅-n n n S S S ，2
11--=-n n S S ，所对应的特征方程2
1
--
=x x 。

∴令2
1--
=x x ，解得1
2
1==x x
1
11
12
111
1
11111-=-----=------n n n n S S S S
11n S ⎧⎫
⎨⎬-⎩⎭是以21
2
11111-=-=-S 为首项，－1为公差的等差数列，故
1)1)(1(211--=--+-=-n n S n ，从而1
+=n n
S n
（I ） =
1a 12，∴=2a 1
6
（II ）由1
+=
n n
S n 得)1(11+=
-=-n n S S a n n n
练习1:数列{}n a 满足1
3
1-+=
+n n n a a a ,且,21=a ,求n
a
练习2:数列{}n a 满足3
4
1--=
+n n n a a a ,且,21=a ,求n
a
类型九：递推关系形如 1(0,0)n n a Aa Cn A C +=+≠≠的数列
例9:已知数列{}n a 满足：114,516n n a a a n +=-=+ *
()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式
解析：因为114,516n n a a a n +=-=+，显然{}n a 既不是等比数列又不是等差数列若将递推关系进行适当的变形为：14(1)15(41)n n a n a n ++++=++，就可以转化为一个新的等比数列{41}n a n ++，其
首项为14114411a +⨯+=-++=、公比为5q =， 所以有141155
n n n a n --++=⨯=
从而有1
54n n a n -=--
对一般情况：1(0,0)n n a Aa Cn A C +=+≠≠，如果不能直接转化变出来类似例1中
14(1)15(41)n n a n a n ++++=++的形式，也可以设变形后的形式为)()1(1z xn a y z n x a n n ++=++++。

展
开后得到：z
y x xn y ya a n n )1()1(1-++-+=+。

利用待定系数法可得：
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨
⎧
-=
-==⇒=⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=2)1(1)0)1(1(A C z A C x A
y C x z y x y A y
再将x 、y 、z 代入就可以得到最终的变式。

练习1（09海南）: 数列{}n a 满足1341+-=+n a a n n ,且21=a ,⑴求证数列{n a n -}为等比数列，⑵求数列{}n a 的前n 项和；
类型十：递推关系形如 1n n n a Aa Bt +=+(0,0,1)A B t ≠≠≠的数列
例10:已知数列{}n a 满足：11116,432n n n a a a ++==-∙ *
()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式
解析：因为1
1116,432n n n a a a ++==-∙，显然{}n a 既不是等比数列又不是等差数列若将递推关系
进行适当的变形为：1
132
4(32)n n n n a a ++-∙=-∙，就可以转化为一个新的等比数列{32}n n a -∙，其
首项为113216610a -∙=-=、公比为4q =， 所以有123210452
n n n n a ---∙=⨯=∙
从而有21
52
32n n n a -=∙+∙
例11:已知数列{}n a 满足：21180,535n n n a a a ++==+∙ *
()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式
解析：本题的条件与例3类似，不同之处就是：例3中n a 的系数是4与后面一项1
32n +∙的底数2
不相等，而本例中n a 的系数是5与后面一项2
35
n +∙的底数5相等
因为2
1180,535n n n a a a ++==+∙，显然{}n a 既不是等比数列又不是等差数列若将递推关系进行适
当的变形为：1
115(1)5
5(155)n n n n a n a n ++-+∙=-∙，就可以转化为一个新的等比数列{155}n n a n -∙，其首项
为1
1151580755a -⨯⨯=-=、公比为5q =， 所以有1
15
555n n n a n --∙=⨯=
从而有
1555(151)5n n n a n n =∙+=+∙
对一般情况：1n
n n a Aa Bt +=+，同样可以利用类型一和类型二的方式，用待定系数的方法得到变
形式。

纵观以上十种类型的处理过程实际就是构建等差等比数列的过程,所以熟练的掌握等差等比数列的性质是解决此类问题的核心,’待定系数法’是解决此类问题中的重要且有效办法.
类型十一：取对数法
例12: 若数列{n a }中，1a =3且2
1n n a a =+（n 是正整数），则它的通项公式是n a =▁▁▁.
猜想法
运用猜想法解题的一般步骤是：首先利用所给的递推式求出123,,,a a a ……，然后猜想出满足递推式的一个通项公式n a ，最后用数学归纳法证明猜想是正确的。

类型十二:猜想法
例13:例13 在各项均为正数的数列{}n a 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，n S =1
(2
n a + 1)n a ，求其
通项公式。

类型十三:取倒数法
数列中有一类题型，利用“取倒数”的方法构建等差等比数列，从而求出数列通项或前n 项和。

例1：在数列{}n a 中，已知11
11
2, 2.2n n n n n a a a a +++==+求数列{}n a 的通项式。

解析：观察条件等式的结构特点，现对两边的数式取倒数得：
111112n n n a a ++=+即111n n
a a +-=
1
1.2
n +于是由2321321111111
111,.22
2n n n a a a a a a --=-=-=将以上(1)n -个式子相加得：1
11
n a a -=
23
211
1111112.1.2222
22221
n
n n n n n n a a +++∴=++
+=-∴=-为所求。

例2:已知数列{n a }中，其中,11=a ，且当n ≥2时，1
211
+=
--n n n a a a ，求通项公式n a 。

解：将1211+=
--n n n a a a 两边取倒数得：2111=--n n a a ，这说明}1{n a 是一个等差数列，首项是
11
1=a ，公差为2，所以
122)1(11-=⨯-+=n n a n ，即1
21-=n a n .
此类题型也可用求“特征根法”加以求解。

练习题1: 在数列{}n a 中满足,5
1
1=
a 且当*,2N n n ∈≥时,有n n n n a a a a 211211-+=--,求n
a
练习题2:已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足)2(021≥=+-n S S a n n n ，2
1
1=
a ，
①求证：数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n S 1是等差数列；②求数列{}n a 的通项公式。

附:
2008年数列高考题:
1.（全国二20）．（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ．
（Ⅰ）设3n
n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；
解：（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n
n n S S +=+，左右同除12+n 得:
n
n n n n S S )2
3(212211∙=-++,利用累加法可得:
⇒+++=--])23(...)23()23[(2122
1211n n
n S S 13(3)2n n n S a -=+-，*
n ∈N ，故n b 渴求.
2.（四川卷20）．（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n
n n
ba b S -=-
（Ⅰ）证明：当2b =时，{}
12n n a n --⋅是等比数列；
（Ⅱ）求{}n a 的通项公式
【解】：由题意知12a =，且()21n n n ba b S -=-，()1
1121n n n ba b S +++-=-，两式相减得
()()1121n n n n b a a b a ++--=-,即12n n n a ba +=+ ,方法同上.
3.（天津卷20）（本小题满分12分）
在数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠）．
（Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*n N ∈），证明{}n b 是等比数列；
（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅲ）若3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的*
n N ∈，n a 是3n a +与6n a +的等差中项．
（Ⅰ）证明：由11(1)n n n a q a qa +-=+-的特征方程q x q x -+=)1(2
得:q
x x ==21,1
01.当1=q ,112-+-=n n n a a a ,故此数列为等差数列,所以n a n =,1=n b ,故{}n b 是等比数列.
02.当1≠q ,可设n n bq a a +=,由11a =，22a =得q
q b q q a -=--=
21
,12.
故1
121-+--=-q q q q a n n ,所以1
1-+=-=n n n n q a a b ,所以{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列．
4.（湖北卷21）.(本小题满分14分)
已知数列{}n a 和{}n b 满足：1a λ=,124,(1)(321),3n n n n n a a n b a n +=
+-=--+其中λ为实数，n 为正整数.
（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅰ）证明：设)()1(1z xn a y z n x a n n ++=++++,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---==213234132z y x z x yz x yx y
1)32()18(213-∙+=+-=n n n n a c λ213)3
2()18(1-+∙+=⇒-n a n n λ,显然对任意实数λ，数列{}n a 不是等比数列.
(Ⅱ)解：由题意:1)32
()18()1(-∙+∙-=n n n b λ,显然当18-≠λ时为等比数列,证明简略.
5.（陕西卷22）．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 的首项135
a =，1321n n n a a a +=+，12n =，，． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
解:由特征方程123+=x x x 可得1,021==x x ,数列}1{-=n n n a a c 为等比数列,
n n n n a a c 3)23(1∙-=-=⇒332
n n n a ∴=+ 6.(2009全国2)在数列}{n a 中,n n n n a n a a 21)11(,111+++
==+ (1)设n a b n n =,求数列}{n b 的通向公式. (2)求数列}{n a 的前n 项和n S
7.(2009全国1)设数列}{n a 的前n 项和为n S ,已知24,111+==+n n a S a
(1)设n n n a a b 21-=+,证明数列}{n b 是等比数列. (2)求数列}{n a 的通向公式。