人教版八年级初二数学第二学期二次根式单元 期末复习专题强化试卷学能测试试卷

一、选择题
1．下列计算正确的是（ ）
A 2=±
B 3=-
C ．(25=
D ．(23=-
2．下列计算正确的是（ ）
A =
B =
C =
D =3．下列计算正确的是（ ）
A =
B ．12=
C 3=
D ．14= 4．下列各式中，无意义的是（ ）
A B C D ．310- 5．下列各式中，正确的是（ ）
A 2=±
B =
C 3=-
D 2=
6．x 的取值范围是（ ）
A ．13x ≥
B ．13x >
C ．13x ≤
D ．13
x <
7．已知a 满足2018a -a ，则a －2 0182＝( )
A ．0
B ．1
C ．2 018
D ．2 019
8．如果a ，那么a 的取值范围是（ ）
A ．a 0=
B ．a 1=
C ．a 1≤
D ．a=0a=1或
9．下列运算一定正确的是( )
A a =
B =
C ．222()a b a b ⋅=⋅
D ()0n a m =≥
10．与根式- ）
A ．
B ．x -
C ．D
二、填空题
11．比较实数的大小:(1)______ ；（2 _______12
12．使函数212y x x
=+有意义的自变量x 的取值范围为_____________ 13．若实数x ，y ，m 满足等式 ()2
23x y m +-=m+4的算术平方根为
________．
14．已知，n=1的值________．
15．===据上述各等式反映的规律，请写出第5个等式：___________________________．
16．已知4a |2|a -=_____．
17．=_______．
18．a ，小数部分是b b -=______.
19．若a 、b 都是有理数，且2222480a ab b a -+++=．
20．化简：＝_____．
三、解答题
21．我国南宋时期有个著名的数学家秦九韶提出了一个利用三角形的三边求三角形的面积的公式，若三角形三边为a b c 、、，则此三角形的面积为：
1S = 同样古希腊有个几何学家海伦也提出了一个三角形面积公式：
2S =2
a b c p ++= （1）在ABC 中，若4AB =，5BC =，6AC =，用其中一个公式求ABC 的面积． （2）请证明：1
2S S
【答案】（1）
4；（2） 证明见解析 【分析】
（1）将4AB =，5BC =，6AC =代入1S = （2）对1S 和2S 分别平方，再进行整理化简得出2212S S =，即可得出1
2S S ． 【详解】
解：（1）将4AB =，5BC =，6AC =代入1S =得：
4S == （2）222
2222
11[()]24a b a S c b +-=-
=222222
)1(22
(4)a b c a b c ab ab +-+--+ =222
2()2(2
1)4c a c a b b +⋅---⋅ =()(1()()16
)c a b c a b a b c a b c +-++-++- 22()()()S p p a p b p c =--- ∵2
a b c p ++=
， ∴22()(2)(222)S a a b c a b c a b c a b c b c +++++++-+=-- =
2222
a b c b c a a c b a b c +++-+-+-⋅⋅⋅ =1()()()()16a b c b c a a c b a b c +++-+-+- ∴2212S S =
∵10S >，20S >，
∴12S S ．
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，解题的关键是理解题中给出的公式，灵活运用二次根式的运算性质进行运算．
22．像2)＝1＝a (a ≥0)、﹣1)＝b ﹣1(b ≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因
+1﹣1，﹣因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
(1)
；
(2)
+；
(3)的大小，并说明理由．
【答案】（1（2）（3）＜ 【解析】
分析：（1=1，确定互为有理化因式，由此计算即可；
（2）确定分母的有理化因式为2与2+然后分母有理
化后计算即可；
（3与
，
，然后比较即可.
详解：(1) 原式
=9；
（2）原式=2+=2+
（3）根据题意，
-=
=，
>
<，
>
点睛：此题是一个阅读题，认证读题，了解互为有理化因式的实际意义，以及特点，然后根据特点变形解题是关键.
23．在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.
比如：2224312111-=-=-+=).善于动脑的小明继续探究：
当a b m n 、、、为正整数时，若2a n +=+)，则有
22(2a m n =+，所以222a m n =+，2b mn =.
请模仿小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a b m n 、、、为正整数时，若2a n =+)，请用含有m
n 、的式子分别表示a b 、，得：a = ，b = ；
（2）填空：13-( - 2；
（3）若2a m +=()，且a m n 、、为正整数，求a 的值.
【答案】（1）223a m n =+，2b mn =；（2）213--；（3）14a =或46.
【解析】
试题分析：
（1）把等式)2
a n +=+右边展开，参考范例中的方法即可求得本题答案； （2）由（1）中结论可得：2231324a m n
b mn ⎧=+=⎨==⎩
，结合a b m n 、、、都为正整数可
得：m=2，n=1，这样就可得到：213(1-=-；
（3）将()2
a m +=+右边展开，整理可得：225a m n =+，62mn =结合a m n 、、为正整数，即可先求得m n 、的值，再求a 的值即可.
试题解析：
（1）∵2a n =+)，
∴223a m n +=++，
∴2232a m n b mn =+=，；
（2）由（1）中结论可得：2231324a m n b mn ⎧=+=⎨==⎩
， ∵a b m n 、、、都为正整数，
∴12m n =⎧⎨=⎩
或21m n =⎧⎨=⎩ ， ∵当m=1，n=2时，223713a m n =+=≠，而当m=2，n=1时，22313a m n =+=， ∴m=2，n=1，
∴(2
131--；
（3）∵222()52a m m n +=+=++
∴225a m n =+，62mn = ，
又∵a m n 、、为正整数，
∴=1=3m n ，， 或者=3=1m n ，，
∴当=1=3m n ，时，46a =；当=3=1m n ，，14a =，
即a 的值为：46或14.
24．(1)已知a 2+b 2=6，ab =1，求a ﹣b 的值；
(2)已知
b =，求a 2+b 2的值． 【答案】（1）±
2；（2）2． 【分析】
（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；
（2）先分母有理化，再根据完全平方公式和平方差公式即可求解．
【详解】
（1）由a 2+b 2=6，ab=1，得a 2+b 2-2ab=4，
（a-b ）2=4，
a-b=±2．
（2）
a ===
b===
2
222
1111
()22312
2222
a b a b ab
⎛⎫
+=+-=+-⨯⨯=-=
⎪
⎪
⎝⎭
【点睛】
本题考查了分母有理化、完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．
25．已知a
，b
（1）求a2﹣b2的值；
（2）求
b
a
+
a
b
的值．
【答案】（1）
；（2）10
【分析】
(1)先计算出a+b、a-b的值，然后将所求的式子因式分解后利用整体代入思想代入数值进行计算即可；
(2)先计算ab的值，然后将所求的式子通分，分子进行变形后利用整体代入思想代入相关数值进行计算即可.
【详解】
(1)∵a
b
，
∴a+b
a﹣b
＝
，
∴a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)＝
＝
；
(2)∵a
b
，
∴ab＝
)×
)＝3﹣2＝1，
则原式＝
22
b a
ab
+
＝
()22
a b ab
ab
+-
＝
(221
1
-⨯
＝10．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握整体代入思想是解题的关键.
26．计算：（1
（2
|a﹣1|，其中1＜a
【答案】（1）1；（2）1
【分析】
（1）根据二次根式的乘法法则计算；
（2）由二次根式的非负性，a 的取值范围进行化简．
【详解】
解：（1－1＝2－1＝1
（2）∵1＜a ，
a ﹣1＝2﹣a ＋a ﹣1＝1．
【点睛】
本题考查二次根式的性质、二次根式的乘法法则，主要检验学生的计算能力．
27．计算（1
（2）21)-
【答案】（1）4；（2）3+
【分析】
（1）先把各根式化为最简二次根式，再去括号，合并同类项即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可．
【详解】
解：（1）解：原式=
4=+
4=-
（2）解：原式()
22161=---
63=-+
3=+
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，注意先化简，再进一步利用计算公式和计算方法计算．
28．先阅读下面的解题过程，然后再解答.
a ，
b ，使a b m +=，ab n =，即22m +==
0)a b ==±>.
这里7m =，12n =，
由于437+=，4312⨯=，
所以22+==，
2===.
.
【答案】见解析
【分析】
应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法．
【详解】
根据题意，可知13m =，42n =，
由于7613+=，7642⨯=，
所以2213+=，=
=
==
【点睛】
此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于求得13m =，42n =.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
直接利用二次根式的性质分别求解，即可得出答案．
【详解】
解：A ，故A 选项错误；
B ，故B 选项错误；
C 选项：2=5，故C 选项正确；
D 选项：2=3，故D 选项错误，
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质，正确求解二次根式是解题的关键．
2．B
解析：B
【分析】
根据二次根式加法法则，二次根式的乘法法则计算后判断即可得到答案.
【详解】
=3= ，
∴A 、C 、D 均错误，B 正确，
故选：B.
【点睛】
此题考查二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，熟记计算法则是正确解题的关键.
3．B
解析：B
【分析】
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】
A 不符合题意；
∵12=，故选项B 符合题意；
C 不符合题意；
∵=D 不符合题意；
故选：B ．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
4．A
解析：A
【分析】
直接利用二次根式有意义的条件、负整数指数幂的性质分析得出答案．
【详解】
A
B ，有意义，不合题意；
C D 、33
110=
10-，有意义，不合题意； 故选A.
此题主要考查了二次根式有意义的条件、负整数指数幂的性质，正确把握二次根式的定义是解题关键．
5．B
解析：B
【分析】
本题可利用二次根式的化简以及运算法则判断A 、B 、C 选项；利用立方根性质判断D 选项．
【详解】
A ，故该选项错误；
B ==
C 3=，故该选项错误；
D 112
23334=(2)2==，故该选项错误；
故选：B ．
【点睛】
本题考查二次根式以及立方根，二次根式计算时通常需要化为最简二次根式，然后按照运算法则求解即可，解题关键是细心．
6．C
解析：C
【分析】
根据二次根式的性质：被开方数大于或等于0，列不等式求解．
【详解】
解：依题意有
当130x -≥时，原二次根式有意义；
解得：13
x ≤； 故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次根式的基本性质（被开方数大于或等于0）；解一元一次不等式，在解一元一次不等式的过程中要用到不等式的基本性质（1．不等式两边同时加上或同时减去一个数，不等号的方向不变；2．不等式两边同时乘以或同时除以一个正数，不等号的方向不变；3．不等式两边同时乘以或同时除以一个负数，不等号的方向改变．）熟记并灵活运用不等式的基本性质是解本题的关键．
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据二次根式的被开数的非负性，求的a的范围，然后再化简绝对值，最后，依据二次根式的定义进行变形即可．
【详解】
-＝a成立，则a≥2019，
解：等式2018a
∴，
，
∴a-2019=20182，
∴a-20182=2019．
故选D．
【点睛】
本题主要考查的是二次根式有意义的条件，求得a的取值范围是解题的关键．
8．C
解析：C
【解析】
试题解析：∵a1，
a
∴1-a≥0，
a≤1，
故选C．
9．C
解析：C
【分析】
直接利用二次根式的性质与化简以及积的乘方运算法则分别计算即可得出答案．
【详解】
A|a|，故此选项错误；
B．，则a，b均为非负数，故此选项错误；
C．a2•b2=（a•b）2，正确；
D m n a（a≥0），故此选项错误．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的性质与化简以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
10．D
解析：D
【分析】
先化简二次根式，再计算二次根式的乘法即可.
【详解】
由题意可得x 是负数，
所以-x x
-⋅=- 故选：D .
【点睛】
此题考查二次根式的化简，二次根式的乘法计算法则，正确化简二次根式是解题的关键，注意题目中x 的符号是负号，这是解题的难点. 二、填空题
11．【分析】
(1)根据两个负数比较大小、绝对值大的反而小比较即可；(2)先求出两数的差，再根据差的正负比较即可．
【详解】
(1)
(2)
∵
∴
∴
故答案为： ，．
解析：< <
【分析】
(1)根据两个负数比较大小、绝对值大的反而小比较即可；(2)先求出两数的差，再根据差的正负比较即可．
【详解】
(1)<
12=
∵3=
∴304
<
∴
1 4< 1
2 故答案为：< ，<．
【点睛】
本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键．
12．【分析】
利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成.
【详解】
根据题意，
解得：
①当时，
解得：
即：
①当时，
解得：
即：
故自变量x 的取值范围为
【点睛】 解析：11,022
x x -≤≤≠ 【分析】
利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成.
【详解】
根据题意，220x x +≠
解得：0,2x x ≠≠-
12||0x -≥
①当0x >时，120x -≥ 解得：12
x ≤ 即：102
x <≤ ①当0x <时，120x +≥ 解得：21x ≥-
即：102
x -≤< 故自变量x 的取值范围为11,022x x -
≤≤≠ 【点睛】
本题考查二次根式以及分式有意义的条件，熟练掌握分类讨论和解不等式组是解题关键. 13．3
【解析】
【分析】
先根据二次根式有意义的条件得出x+y 的值，再根据非负数的性质列出关于x ，y ，m 的方程组，求出m 的值，进而可得出结论．
【详解】
依题意得：，解得：x=1，y=1，m ＝5，∴3
解析：3
【解析】
【分析】
先根据二次根式有意义的条件得出x +y 的值，再根据非负数的性质列出关于x ，y ，m 的方程组，求出m 的值，进而可得出结论．
【详解】
依题意得：3530230
2x y m x y m x y +--=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩
，解得：x =1，y =1，m ＝5
，∴==3．
故答案为3．
【点睛】 本题考查了二次根式有意义得条件及非负数的性质，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
14．【解析】
根据题意，把被开方数配方为完全平方，然后代入求解，可得====． 故答案是：．
【解析】
根据题意，
把被开方数配方为完全平方，然后代入求解，可得
．
15．【解析】
上述各式反映的规律是
(n ⩾1的整数),
得到第5个等式为： (n ⩾1的整数).
故答案是： (n ⩾1的整数).
点睛:这是一道等式规律探寻题,此类题的一般推倒方法为:第一步.标序号;
=【解析】
上述各式反映的规律是
=n⩾1的整数),
得到第5==n⩾1的整数).
=n⩾1的整数).
点睛:这是一道等式规律探寻题,此类题的一般推倒方法为:第一步.标序号;第二步,找规律,分别比较等式中各部分与序号之间的关系,把其蕴含的规律用含序数的代数式表示出来;第三步,根据找出的规律得出第n个等式.
16．-5
【分析】
根据a的取值范围化简二次根式及绝对值，再根据整式的加减法计算法则计算得到答案.
【详解】
∵,
∴a+3<0,2-a>0,
∴-a-3-2+a=-5，
故答案为：-5.
【点睛】
此
解析：-5
【分析】
根据a的取值范围化简二次根式及绝对值，再根据整式的加减法计算法则计算得到答案.【详解】
a,
∵4
∴a+3<0,2-a>0,
|2|a
-=-a-3-2+a=-5，
故答案为：-5.
【点睛】
此题考查二次根式的化简，绝对值的化简，整式的加减法计算法则，正确化简代数式是解题的关键.
17．【分析】
设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．
【详解】
解：设，由算术平方根的非负性可得t≥0，
则
．
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是二
【分析】
t=，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．
【详解】
t=，由算术平方根的非负性可得t≥0，
则244
t=+
=+
8
=+
8
=+
81)
=+
6
2
=
1)
1
∴=．
t
．
【点睛】
此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键．18．【详解】
若的整数部分为a，小数部分为b，
∴a=1，b=，
∴a-b==1．
故答案为1．
解析：【详解】
a ，小数部分为
b ，
∴a =1，b
1，
∴
-b 1)=1．
故答案为1．
19．【分析】
先将原等式两边同时乘2，然后将左侧配方，然后利用平方的非负性即可求出a 和b 的值，然后代入即可．
【详解】
解：∵
∴
∴
∴
∵
∴
解得：a=-4，b=-2
∴=
故答案为：．
【点睛
解析：
【分析】
先将原等式两边同时乘2，然后将左侧配方，然后利用平方的非负性即可求出a 和b 的值，然后代入即可．
【详解】
解：∵2222480a ab b a -+++=
∴222448160a ab b a -+++=
∴()()222448160a ab b
a a -+++=+ ∴()()22240a
b a +-+=
∵()()2220,40a b a +-≥≥
∴20,40a b a +-==
解得：a=-4，b=-2
=
故答案为：
【点睛】
此题考查的是配方法、非负性的应用和化简二次根式，掌握完全平方公式、平方的非负性
和二次根式的乘法公式是解决此题的关键．
20．【分析】
直接合并同类二次根式即可．
【详解】
解：．
故答案为
【点睛】
合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．
解析：
【分析】
直接合并同类二次根式即可．
【详解】
解：=．
故答案为
【点睛】
合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无
27．无
28．无。