2021-2022年高三上学期第一次调研 数学(文)

2021-2022年高三上学期第一次调研 数学（文）
本试卷共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。

注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条
形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案
的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、
笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。

4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符
合题目要求。

1. 已知全集1234534523{}{,,},{,}U M N ===，，，，，，则集合
A ．
B ．
C.
D ．
2. 函数()sin()(0)6
f x x π
ωω=+>的最小正周期为，则
A.
B.
C.
D.
3. 在中，角的对边分别为.已知，则角大 小为
A ．
B ．
C ． 或
D ．或 4. 如果平面向量，那么下列结论中正确的是 A. B.
C. D. ∥
5. 等差数列的首项，公差，的前项和为，则以下结论中一定 正确的是
A. 单调递增
B. 单调递减
C. 有最小值
D. 有最大值
6. 给出两个条件：（1）定义域为的奇函数；（2）在上为增函数. 则同时满足这两 个条件的函数是
A ．
B ．
C ．
D ．
7. 已知为锐角，且54
cos ,cos()135
ααβ=+=-, 则
A ．
B ．
C ．
D ．
8. 已知是不共线的向量，,(,),AB a b AC a b R λμλμ=+=+∈若三点共线,
则的关系一定成立的是 A ．
B ．
C ．
D ．
9. 已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是，则
A.
B.
C. D. 或1 10. 函数的图像大致是
A. B.
C.
D.
11. 如图，在中，, , 边 上有10个不同点, 记(1,2,,10)i i m AB AP i ==，
则
A.
B.
C.
12. 若函数5()sin (0)2
f x x a x π
=-≤≤有三个零点,且这三个零点成等比数列，则
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 设函数31
1log (2),1()3
,1
x x x f x x -+-<⎧=⎨
≥⎩，则
.
14. 已知向量满足：且的夹角为，则 ．
C
1210
15. 斐波那契数列，又称黄金分割数列, 因意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例而引入，
故又称为“ 兔子数列”：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……，其递推公式为：
(1)(2)1,()(1)(2)(2,*)F F F n F n F n n n N ===-+->∈，若此数列每项被4除后的余数构
16. 已知函数的定义域为，若对于任意的，存在唯一的，使 得成立，则称在上的算术平均数为，已知函数
，则在区间上的算术平均数是 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） 已知各项都为正数的等比数列满足，且．
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.
18．（12分） 海上某货轮在处看灯塔在货轮的北偏东，距离为海里；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为海里；货轮向正北由处行驶到处时看灯塔在货轮的北偏东. （1）画出示意图并求处与处之间的距离；（2）求灯塔与处之间的距离. 19．（12分）
已知，数列满足111,()(*)n n a a f a n N +==∈
（1） 求证：是等差数列；
（2） 设，记数列的前项和为，求证： 20．（12分）
已知函数()2sin cos()3
2
f x x x π
=++
. （1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最大值及最小值.
21．（12分）
已知函数在处的切线平行于直线
（1）求实数的值; （2）求函数在上的最大值与最小值.
22．（12分）
已知函数21
()(1)ln ()2
f x a x x a R =-+∈． （1）若当时，函数取得极值，求的值；
（2）若在区间上，不等式恒成立，求的取值范围．
参考答案
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D
B
C
C
D
D
C
A
A
B
D
A
二、填空题： 13. 4;
14. ;
15. 1 ;
16. 2
三、解答题： 17．（10分）
解：（1）设等比数列的公式比为，由题意知， ∴，解得，故． ---------------------5分 (2)12
5(15)55
5551544
n n n
n S +-=+++==-- -------------------------------------10分
18．（12分）
解：由题意画出示意图，如图所示 .-----------------2分
（1）中，由题意得，
由正弦定理得(海里). -------7分（2）在中，由余弦定理，
222222
2cos302422483
CD AD AC AD AC
=+-⨯︒=+-⨯⨯=⨯
故(海里).
所以处与处之间的距离为24海里；灯塔与处之间的距离为海里. --12分
19．（12分）
解：(1)由已知得
1
11
1111
(),1,1
1
n
n n
n n n n n
a
a f a
a a a a a
+
++
==∴=+∴-=
+
---------------4分
∴
⎩
⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
1
a n是公差为1的等差数列．--------------------------------------------6分（2）因为，所以
11
1(1)1,
n
n
n n a
a n
=+-⨯=∴=--------------------------------8分
1
111
(1)1
n n n
b a a
n n n n
+
∴===-
++
------------------------------------------10分
11111111
111
2233411
n
S
n n n
=-+-+-++-=-<
++
即
-----------------------------------------12分20．（12分）
解；（1）
1
()2sin cos(
)2sin(cos)
32
f x x x x x x
π
=+=-
2
sin cos
2
x x x
=+
1
sin2
2
x
=+
=
= -------------------------------------------5分
由
3
222,
232
k x k k Z
πππ
ππ
+≤+≤+∈得
所以的单调递减区间是 -----------------8分
（2）由得，所以. ---------10分
所以当时，取得最小值；当时，取得最大值1 ……12分 21．（12分）
解：（1）,所以(1)2,312,1k f a a '==-== -------------------5分
（2）由（1）得a=1,32211
(),()33()23
f x x x f x x x x x '=-
=-=- -----------7分 当时，当时，
所以当时，函数有最小值 ---------------------10分 又，所以函数最大值为
综上：函数函数的上的最大值为，最小值为 -------------------------12分
22．（12分） 解：（1）
13
(2)0,2(1)0,24
f a a '=∴-+
== ------------3分 此时214(2)(2)()444x x x x f x x x x
-+-'=-+==
时，时，，所以是极值点
所以 -----------------------------------------------------------------------4分
（2）
21
(),(1)ln 02
f x ax a x ax x <∴--+<在上恒成立
设21
()(1)ln 2
g x a x ax x =--+，
21(1)1(1)[(1)1]
()(1)a x ax x a x g x a x a x x x
--+---'=--+== --------------6分
①当即时，在上，，为减函数 ，所以只须，
所以 ---------------------------------------------------------------------9分
②当时，，1(1)(1)()(1)[(1)1]
1()a x x x a x a g x x
x
---
----'==
所以当时，；当时，
，，不恒成立 -----------11分
③当时，，在上恒成立，为增函数
所以，，不恒成立
综上：------------------------------------------------12分31106 7982 禂39059 9893 颓36826 8FDA 迚37635 9303 錃28258 6E62 湢37273 9199 醙20752 5110 儐22623 585F 塟40760 9F38 鼸25579 63EB 揫32361 7E69 繩33701 83A5 莥24855 6117 愗。