自动控制理论_哈尔滨工业大学_3 第3章控制系统的时域分析_(3.9.1) 3.9劳斯稳定判据

Q(s)=s4+3s2+2=0 求导得：4s3+6s=0
s3 4 6
由此方程得到s3行的各项系数
s2 30/2 2 劳斯表第一列元素符号没有改变， 系统
s1 2/3
没有正实部的根，但该系统是不稳定的。
s0 2
原方程中关于原点对称的根可以通过解 辅助方程Q(s)=s4+3s2+2=0求出。
利用劳斯判据判断系统的稳定性的结论为：系统稳 定的充分必要条件是系统的特征方程没有缺项，全部系 数大于0，且劳斯表第一列所有元素也大于0。
e1 f1 g1
e2
判据—系统极点实部 为正实数根的数目等
c1
b1 b1
a1
b2 b1a3 a1b2 b1
a5
于劳斯表中第一列系 数符号改变的次数。
c2

b1 b3 b1a5 a1b3
b1
b1
例： D(s)=s4+2s3+3s2+4s+5=0
s4 1
3
5
s3 2
4
0
13
15
s3 1 40 s3 14s2 40s 40K 0
s2 104
40K
s1 14×40－40K
K＞0 稳定条件为 14×40－40K＞0
s0 40K
解得使系统稳定的K值范围 0＜K＜14， KP=14
2. 确定系统的相对稳定性
(1) 将s＝z-a代入原系统的特征方程，得 z平面
出以z为变量的方程。
设系统特征方程为：
s4+5s3+7s2+5s+6=0
① 有大小相等符号相反的 特征根时会出现零行
② 由零行的上一行构成
劳 s4 1 7 6
s3 51 51
斯 s2 61 61
表 s1 02
s0 1
辅助方程: s2+1=0 对其求导得零行系数: 2s1
继续计算劳斯表，其余第一列 系数均为正，表示有共轭虚根。
系数为实数，an≠0， 排除零根的情况。
(2)设方程中所有系数都存在，并且均大于0，这是系统稳 定的必要条件。方程如果缺项或是具有负的系数，则一定 是不稳定的。
（3）如果系数都是正的按下列方式编制劳斯表
a0sn a1sn1 a2sn2 an1s an 0 a0 a2
(2) 应用劳斯判据于新的方程。
若满足稳定的充要条件。则该系统的特 征根都落在s平面中s＝-a直线的左半部分， 即只有a以上的稳定裕度。
jω S平面 σ
0 a
本节小结
1.劳斯判据判别系统稳定性的方法。 2.劳斯判据的应用。
③ 解辅助方程得对称根: s1,2=±j
1 劳斯表何时会出现零行?
由综合除法可得另两个根为
2 出现零行怎么办?
s3,4= -2,-3
3 如何求对称的根?
劳斯表出现零行系统一定不稳定
设系统特征方程为：
s5+s4+3s3+3s2+2s+2=0
第三行全部为零！
由上一行构造辅助方程。
s5 1 3 2 s4 1 3 2
劳斯稳定判据
一、劳斯判据
一种由特征方程的系数来判定系统稳定性的的代数方法。
对于一阶系统，特征方程为
D(s) a0s a1 0
极点为 P a1 极点为负的充要条件是 a0 0,a1 0 a0
对于二阶系统，特征方程为
D(s) a0s2 a1s a2 0
其根为
s6 1 3 5 7
劳
s5 2 s4 1
4 2
6 77
斯 s3 0ε --88
第一列出现零元素时，用正无穷小量ε代替。
表
s2 2ε+8 7ε s1 -8(2ε +8) -7ε2
s0 7ε
某一行ห้องสมุดไป่ตู้以同乘或除以一个正数。
2. 劳斯表出现零行，或只有零的一项。表示在s平面内存在一 些大小相等，符号相反的实极点或共轭虚数极点。


s2
24 1
20 5
2
2
24
s1
1
5
6
0
1
s0 5
劳斯表第一列元 素符号改变2次，表 明系统有2个正实部 的根，该系统是不稳 定的。
计算劳斯表时可能出现的两种特殊情况
1. 如果劳斯表第1列中出现0，而其余各项不全等于0，则
可s6以+用2s一5个+3小s的4+正4数s3ε+代5替s它2+，6然s+后7继=续0计算其((61-它1(064元－)-/61素4=))/。/-228==1 2
sn a0 a2 a4 a6 …
b1
a1 a3 a1a2 a0a3
a1
a1
… … … …
…
sn－1 sn－2 sn－3
s2 s1 s0
a1 a3 a5 a7 …
a0 a4
b1 b2 b3 b4 …
b2
a1 a5 a1a4 a0a5
a1
a1
c1 c2 c3 c4 …
a1 a3
二．劳斯判据的应用
1．分析系统参数对稳定性的影响
已知系统的开环传递函数为
G(s)
K
s(0.1s 1)(0.25s 1)
确定稳定的开环放大倍数的取值范围，和临界放大系数KP。
特征方程为： s(0.1s 1)(0.25s 1) K 0
0.025s3 0.35s2 s K 0
1,2


a1 2a0


a1 2a0
2

a2 a0
要使系统稳定，极点必须具有负实部，因此其稳定的充要
条件为 a0 0, a1 0, a2 0.
不必求解方程，判定在一个多项式方程中是否存在 位于复平面右半部的正根 。
(1)写出关于s的多项式方程
a0sn a1sn1 a2sn2 an1s an 0