初三【数学(人教版)】数学活动：探究四点共圆的条件 教学设计
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教学重点：四点共圆的条件的探究.
教学难点：四点共圆的条件的证明.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
一、创设情境，提出问题
【创设情境】
（1）经过一点A，可以在平面内作无数个圆.
（2）经过两点A，B，可以在平面内作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
（3）经过三点：若A，B，C三点共线，则不能作出过三点的圆；若A，B，C三点不共线，可以作出一个圆.即：不在同一直线上的三点可以确定一个圆，也就是说过任意பைடு நூலகம்个三角形的三个顶点都能作一个圆.
图1图2
【猜想3】过对角互补的四边形的四个顶点，可以作一个圆.
三、证明猜想，得出结论
已知：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°.
求证：A，B，C，D四点共圆.
证明：过A，B，C三点作⊙O，假设点D不在⊙O上，则点D在⊙O内或点D在⊙O外.
1若点D在⊙O内，延长AD交⊙O于E，连接CE，则∠B+∠E=180°.
已知：如图，△ABC的两条高BD，CE交于点H，连接AH并延长交BC于F.
求证：AF⊥BC.
【例】如图，∠ABC=∠ADC.求证：A，B，C，D四点共圆.
五、总结提升
【课堂小结】
1.你可以用哪些方法证明四点共圆？
2.如果要证明五个或五个以上的点共圆，可以怎样做？
【布置作业】
1.如图，在四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，添加下列条件中的一个后，不一定使A，B，C，D四点共圆的是（）.
（4）经过平面内四点：若四个点中有任意三点共线，则不能作出过四点的圆；若其中任意三点都不共线，能否作出过四点的圆呢？
【提出问题】过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？
二、探究问题，提出猜想
【引例】过下列四边形的四个顶点能作一个圆吗？
正方形矩形平行四边形等腰梯形直角梯形
想一想：正方形、矩形、等腰梯形有哪些共同特征？具有这些特征的其它四边形，过它的四个顶点是否一定能作一个圆？
（提示：先证明A，E，C，F四点共圆.）
【猜想1】有一组对边平行的四边形的四个顶点共圆.
【猜想2】有两个角是直角的四边形的四个顶点共圆.
分析：需要分情况讨论.
1当两个直角相邻时，由直角梯形可知，四个顶点不一定共圆.
2当两个直角相对时，如图1，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°.如图2，连接BD，作BD的中点O，连接OA，OC，则OA=OB=OD=OC，所以A，B，C，D在圆O上.
（A）∠B+∠D=180°（B）∠A=∠BCD
（C）∠A=∠DCE（D）∠A=∠BCD=90°
2.如图，将一个含45°角的直角三角板ABC和一个含30°角的直角三角板ADC拼在一起，斜边AC恰好重合，则∠BDC=________°.
1.如图，正方形ABCD中，点E是BC边上一点（不与B，C重合），∠AEF=90°.作正方形的外角∠DCG的平分线交射线EF于点H.请补全图形，并探究线段AE与EH之间的大小关系.
课程基本信息
课例编号
学科
数学
年级
初三
学期
上
课题
数学活动：探究四点共圆的条件
教科书
书名：《义务教育教科书数学（九年级上册）》
出版社：人民教育出版社 出版日期：2014年6月
教学人员
姓名
单位
授课教师
指导教师
教学目标
教学目标：（1）探索并证明对角互补的四边形的四个顶点共圆的结论.
（2）在探究的过程中，体会由特殊到一般的数学思想，积累数学活动经验.
又∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC=∠E.
这与△CDE中，∠ADC>∠E矛盾，所以点D不在⊙O内.
2若点D在⊙O外，（请自己完成后面的画图和证明）
……
综上，假设不成立，点D在过A，B，C三点的圆上.
结论：经过对角互补的四边形的四个顶点，可以作一个圆.
四、运用迁移
【例】三角形的三条高线交于一点.
教学难点：四点共圆的条件的证明.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
一、创设情境，提出问题
【创设情境】
（1）经过一点A，可以在平面内作无数个圆.
（2）经过两点A，B，可以在平面内作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
（3）经过三点：若A，B，C三点共线，则不能作出过三点的圆；若A，B，C三点不共线，可以作出一个圆.即：不在同一直线上的三点可以确定一个圆，也就是说过任意பைடு நூலகம்个三角形的三个顶点都能作一个圆.
图1图2
【猜想3】过对角互补的四边形的四个顶点，可以作一个圆.
三、证明猜想，得出结论
已知：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°.
求证：A，B，C，D四点共圆.
证明：过A，B，C三点作⊙O，假设点D不在⊙O上，则点D在⊙O内或点D在⊙O外.
1若点D在⊙O内，延长AD交⊙O于E，连接CE，则∠B+∠E=180°.
已知：如图，△ABC的两条高BD，CE交于点H，连接AH并延长交BC于F.
求证：AF⊥BC.
【例】如图，∠ABC=∠ADC.求证：A，B，C，D四点共圆.
五、总结提升
【课堂小结】
1.你可以用哪些方法证明四点共圆？
2.如果要证明五个或五个以上的点共圆，可以怎样做？
【布置作业】
1.如图，在四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，添加下列条件中的一个后，不一定使A，B，C，D四点共圆的是（）.
（4）经过平面内四点：若四个点中有任意三点共线，则不能作出过四点的圆；若其中任意三点都不共线，能否作出过四点的圆呢？
【提出问题】过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？
二、探究问题，提出猜想
【引例】过下列四边形的四个顶点能作一个圆吗？
正方形矩形平行四边形等腰梯形直角梯形
想一想：正方形、矩形、等腰梯形有哪些共同特征？具有这些特征的其它四边形，过它的四个顶点是否一定能作一个圆？
（提示：先证明A，E，C，F四点共圆.）
【猜想1】有一组对边平行的四边形的四个顶点共圆.
【猜想2】有两个角是直角的四边形的四个顶点共圆.
分析：需要分情况讨论.
1当两个直角相邻时，由直角梯形可知，四个顶点不一定共圆.
2当两个直角相对时，如图1，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°.如图2，连接BD，作BD的中点O，连接OA，OC，则OA=OB=OD=OC，所以A，B，C，D在圆O上.
（A）∠B+∠D=180°（B）∠A=∠BCD
（C）∠A=∠DCE（D）∠A=∠BCD=90°
2.如图，将一个含45°角的直角三角板ABC和一个含30°角的直角三角板ADC拼在一起，斜边AC恰好重合，则∠BDC=________°.
1.如图，正方形ABCD中，点E是BC边上一点（不与B，C重合），∠AEF=90°.作正方形的外角∠DCG的平分线交射线EF于点H.请补全图形，并探究线段AE与EH之间的大小关系.
课程基本信息
课例编号
学科
数学
年级
初三
学期
上
课题
数学活动：探究四点共圆的条件
教科书
书名：《义务教育教科书数学（九年级上册）》
出版社：人民教育出版社 出版日期：2014年6月
教学人员
姓名
单位
授课教师
指导教师
教学目标
教学目标：（1）探索并证明对角互补的四边形的四个顶点共圆的结论.
（2）在探究的过程中，体会由特殊到一般的数学思想，积累数学活动经验.
又∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC=∠E.
这与△CDE中，∠ADC>∠E矛盾，所以点D不在⊙O内.
2若点D在⊙O外，（请自己完成后面的画图和证明）
……
综上，假设不成立，点D在过A，B，C三点的圆上.
结论：经过对角互补的四边形的四个顶点，可以作一个圆.
四、运用迁移
【例】三角形的三条高线交于一点.