信号与系统 奥本海姆 中文答案 chapter 2

Chapter 2
2.1解：(a) 1[][][][0][][1][1][3][3]y n x n h n x h n x h n x h n =*=+-+-
2[1]4[]2[1]2[2]2[4]n n n n n δδδδδ=+++-+---(图略)
(b) 21[][2][][2]y n x n h n y n =+*=+
2[3]4[2]2[1]2[]2[2]n n n n n δδδδδ=++++++--(图略)
(c) 32[][][2][]y n x n h n y n =*+=(图略)
2.5解：9
[][][]k y n x k h n k ==
-∑，由[4]5y =可知：4N ≥
由[14]0y =可知：9114N ++≤，即：4N ≤ 所以：4N =
2.11解：(a) 3t ≤时，()0y t =
35t <≤时，3()(3)()(3)()t
y t u t h t u h t d τττ=-*=--⎰
3(3)
3()
3
13
t t
t e e
d ττ-----==⎰
5t >时，[]()6
3(5)
5
3()
3
1()(3)(5)()3
t t e e y t t u t u h t e d ττ------=---*==
⎰
因此：()3(3)
63(5)0,31(),3531,5
3t t t e y t t e e t -----⎧
⎪≤⎪
⎪-=<≤⎨
⎪
⎪-⎪>⎩
（b ）
()
(3)(5)dx t t t dt
δδ=--- 3(3)3(5)()
()()(3)(5)(3)(5)t t dx t g t h t h t h t e u t e u t dt
----∴=*=---=---
(c) ()
()dy t g t dt
=
2.13解：(a) 将1[][]5n h n u n ⎛⎫= ⎪⎝⎭代入式子得：1
11[][1][]55n n u n A u n n δ-⎛⎫⎛⎫
--= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
即：()1[]5[1][]5n
u n Au n n δ⎛⎫
--= ⎪⎝⎭
从而可得：51A =，即：15
A = (b)由(a)可知：1
[][1][]5
h n h n n δ-
-= 则1S 的逆系统2S 的单位脉冲响应为：11[][][1]5
h n n n δδ=--
2.16解：(a)对。

若21n N N -<，即：12n N N <+，则[]x k 与[]h n k -没有公共部分，显
然有[][]0x n h n *=。

(b)错。

[1][][1][][1]k y n x k h n k x n h n +∞
=-∞
-=
--=*-∑
(c)对。

()()()y t x r h t r dr +∞
-∞-=
--⎰
，令r λ=-，则： ()()()()()()()()y t x h t d x h t d x t h t λλλλλλ-∞
+∞+∞
-∞
-=---=--=-*-⎰
⎰
(d)对。

若21t T T ->，则没有公共部分，故12t T T >+时，()()0x t h t *=。

2.19 a). ()(1)()y n y n w n αβ=-+, 1
()()(1)w n y n y n α
β
β
=
+
- 将w(n)代入后经比较可得：1
,14
αβ=
=。

b). 根据书上例题2.15, 利用递推算法，可求得系统S1，S2的脉冲响应为：
11()()2n
h n u n ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，21()()4n
h n u n ⎛⎫= ⎪⎝⎭
则总系统的单位脉冲响应为1211()()*()2()24n n h n h n h n u n ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2.21 (a).11()()n n y n u n βαβα++-=-; c). 4
(8/9)(1/8)4,6
()(8/9)(1/2),6
n
n
n y n n ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 2.22. (b) 当1t ≤时，2
5
2()2()22(2)2(5)
2
1()22
t t t t t y t e d e d e e e ττττ----⎡⎤=
-=
-+⎣⎦⎰
⎰
当13t ≤≤时，2
5
2()
2()22(2)2(5)1
2
1()22
t t t t t y t e
d e d e e e ττττ-----⎡⎤=
-=
-+⎣⎦⎰
⎰ 当36t ≤≤时，5
2()2(5)2
1
1()2
t t t y t e d e e ττ---⎡⎤=-=
-⎣⎦⎰
当6t >时，()0y t =
(e). ()x t 是周期信号，由此可推知()()()y t x t h t =*也是周期的，且周期也为2。

因此只需求出()y t 的一个周期。

当1122t -≤≤时，1
22112
1
()(1)(1)4t t y t t d t d t t ττττ---=--++-+=++⎰⎰
2.24解：a) 2()()(1)h n n n δδ=+-，
()1221()()*()*()()*()2(1)(2)h n h n h n h n h n n n n δδδ==+-+-； 111()()2(1)(2)h n h n h n h n =+-+-，根据h(n)的图形可推出h 1(n):
h 1(0)=1, : h 1(1)=3, : h 1(2)=3, h 1(4)=1,: h 1(5)=0.n>5,h(n)=0. b). ()()(1)y n h n h n =--
2.28解：(a) 1[][]5n
h n u n ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
当0n <时，[]0h n =，因而是因果的。

5
[]4
k h k +∞
=-∞
=
<∞∑
，因而是稳定的。

(c) 1[][]2n
h n u n ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
当0n <时，[]0h n ≠，因而是非因果的。

[]2
k
k k h k +∞+∞
=-∞
=-∞
==∞∑∑，因而是
非稳定的。

(e) 1[][](1.01)[1]2n
n h n u n u n ⎛⎫
=-+-- ⎪⎝⎭
当0n <时，[]0h n =，因而是因果的。

[]k h k +∞
=-∞
=∞∑
，因而是非稳定的。

(g) 1[][1]3n
h n n u n ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
当0n <时，[]0h n =，因而是因果的。

11[]33k
k k h k k +∞
+∞
=-∞=⎛⎫
==<∞ ⎪⎝⎭
∑∑，因
而是稳定的。

2.29解：(b) 6()(3)t h t e u t -=-
0t <时，()0h t ≠，因而是非因果的。

3
6()h d e d ττττ+∞
--∞
-∞
==∞⎰
⎰，因而
是非稳定的。

(d) 2()(1)t h t e u t =--
0t <时，()0h t ≠，因而是非因果的。

1
22
1()2
h d e d e ττττ+∞
---∞
-∞
==
<∞⎰
⎰，因而是稳定的。

(f). 因果的，稳定的。

2.31. 解： 系统最初松弛， ∴当3n ≤-时，()0y n =
由 ()()2(2)2(y n x n x n y n =+---可递推得出
(2)(2)2(4)2(3)1(1)(1)2(3)2(2)0,
(0)(0)2(2)2(1)5,
(1)(1)2(1)2(0)4,(2)(2)2(0)2(1)16,(3)(3)2(1)2(2)27,(4)(4)2(2)2(3)58,(5)(5)2(3)2y x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x -=-+---=-=-+---==+---==+--=-=+-==+-=-=+-==+-(4)114,
y =-
6n ≥时，5()114(2)n y n -=--
2.40解：(a) 2
()(2)(2)()(2)()()*(2)t
t t t t y t e x d x e d x t e u t τσττσσ---------∞
-∞
=-==-⎰
⎰
(2)
()(2)t h t e
u t --∴=-
(b) 由图PS3.7知，当1t ≤时，()()*()0y t x t h t ==
当14t <≤时，1
(2)
(1)2()1t t y t e
d e ττ+----==-⎰
当4t >时，1
(2)(4)(1)2
()t t t t y t e d e e ττ+-------=
=-⎰
2.44 a). 312T T T =+ b). 402N N N =+, 513N N N =+; 1y x h M M M =+- 2.47 (a) 00()2(),
()()x t x t h t h t ==
000()2()*()2()y t x t h t y t ∴== 如图 (a)所示。

(b) 000()()(2),()()x t x t x t h t h t =--=
00()()(2)y t y t y t ∴=-- 如图 (b)所示。

(c) 000000()(1)(1),(2)(1)(1)x t h t y t x t h t y t *+=+-*+=- 000()(2)(1)(1)y t x t h t y t ∴
=-*+=- 如图 (c)所示。

(d) 信号不能确定； e). 00000()()*()()()()()()y t x t h t x h t d x h t d y t ττττττ∞
∞
-∞
-∞
==
--=--=-⎰
⎰
(f) ''''
000()()*()()y t x t h t y t == 如图 (f)所示。

2.48解：(a) 正确。

()h t 为周期性非零函数时，
()h t dt ∞
-∞
=∞⎰。

(b) 错误。

若系统的冲激响应为00(),0t t t δ->，则其逆系统的冲激响应为0()t t δ+，显然
是非因果的。

(c) 错误。

若()()h n u n =，显然()1h n ≤；但
()n h n ∞
=-∞
=∞∑
，因此系统不稳定。

(d) 正确。

()h n 为有限长时，必然有
()n h n ∞
=-∞
<∞∑。

(e) 错误。

若()()h t u t =，显然系统是因果的，但由于
()h t ∞
=∞⎰
，因此系统不稳定。

(f) 错误。

若系统A 的冲激响应()(3)A h t t δ=+，系统B 的冲激响应()(5)B h t t δ=-；系
统A 非因果，系统B 因果；但它们级联后有()()()*(2)A B h t h t h t t δ==-，显 然是因果的。

(g) 错误。

若某系统的()()t h t e u t -=，显然该系统稳定，但其阶跃响应
()(1)()t
t S t e d e u t ττ--==-⎰并不绝对可积。

(h) 正确。

0
()(),()()k k u n n k S n h n k δ∞∞
===
-=-∑∑，如果0n <时，()0S n =，则必有
0n <时，()0h n =，从而系统是因果的。

反之，若系统因果，则0n <时，()0h n =，从
而必有0n <，()()0n
k s n h k =-∞
=
=∑。

2.50解：(a) 系统B 是系统A 的逆系统，∴图P
3.12所示的整个系统是恒等系统。

系统A 对
12()()ax t bx t +的响应为12()()ay t by t +，因此系统B 对输入12()()ay t by t +的响
应为12()()ax t bx t +。

(b) 系统A 对1()x t τ-的响应是1()y t τ-，
∴ 系统B 对1()y t τ-的响应是1()x t τ-。