山东莱州市一中2020年秋高二数学上学期周末检测卷三附答案解析

山东莱州市一中2020年秋高二数学上学期周末检测卷三
一、 单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。

）
1.＝（2，2m ﹣3，1），＝（﹣4，2，3n ﹣2）．若∥．则实数mn 的值是（ ）
A ．﹣2
B ．
C ．2
D ．0
2.已知平面α，β的法向量分别为（其中λ，μ∈R ），若α∥β，则λ+μ的
值为（ ） A ．
B ．﹣5
C ．
D ．5
3. 已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
4. 设，，为空间的三个不同向量，如果λ1λ2λ30成立的等价条件为λ1＝λ2＝λ3＝0，则称，
，
线性无关，否则称它们线性相关．若
（2，1，﹣3），（1，0，2），
（1，﹣1，m ）线性相
关，则m ＝（ ） A ．9
B ．7
C ．5
D ．3
5. 如图，已知三棱锥O ﹣ABC ，点M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 为线段MN 上一点，且MG ＝2GN ，若记
，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6.已知0,||2,||3,a b a b ⋅===且(32)()0a b a b λ+⋅-=，则λ等于（ ） A ．
3
2
B ．32
-
C ．32
±
D ．1
7.若O 为坐标原点，(1,12),(3,2,8),(0,1,0)OA OB OC =-==，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为
（ ） A ．
165
2
B ．214
C ．53
D ．
532
8.已知平面α的一个法向量(2,2,1)n =--，点(1,3,0)A -在平面α内，则点(2,1,4)P -到平面α的距离为
A ．10
B ．3
C ．
83
D ．
103
9.如图，已知三棱锥ABC ﹣A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面ABB 1A 1是菱形，且∠A 1AB ＝60°，M 是A 1B 1的中点，MB ⊥AC ，则二面角A 1﹣BB 1﹣C 的余弦值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10. 如图，已知点P 在正方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '的对角线BD '上，∠PDC ＝60°．设λ，则λ的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11. 已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝3，AA 1＝2，空间中存在一动点P 满足||＝1，记I 1，I 2，I 3，则（ ）
A ．存在点P ，使得I 1＝I 2
B ．存在点P ，使得I 1＝I 3
C ．对任意的点P ，有I 1＞I 2
D ．对任意的点P ，有I 2＞I 3
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

） 12.已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，下列说法中正确的是（ ） A ．
B ．
C ．向量
与向量
的夹角是60°
D ．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为
13. 已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果
，，
，下列结论正确的有（ ）
A ．
B ．
C ．
是平面ABCD 的一个法向量
D ．
14.在正四面体P ﹣ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面结论中正确的是（ ） A ．BC ∥平面PDF B ．DF ⊥平面P AE
C ．平面PDF ⊥平面ABC
D ．平面P A
E ⊥平面ABC
15.正方体
1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别为
11
,,,CC BC CD BB 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A ．1
B G B
C ⊥ B ． 平面AEF 平面111AA
D D AD =
C ． 1A H ∥平面AEF
D ．二面角
E A
F C --的大小为4
π
16.正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1
AB ，则（ ）
A ．AC 1与底面ABC 的成角的正弦值为
B ．A
C 1与底面ABC 的成角的正弦值为
C ．AC 1与侧面AA 1B 1B 的成角的正弦值为
D ．AC 1与侧面AA 1B 1B 的成角的正弦值为
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。

）
17.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点P （3，2，1），Q （﹣1，0，1），则|PQ |＝ ．
18. 在空间直角坐标系中，已知点)2,0,1(A ，)1,3,1(-B ，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是 。

19.已知,a b 是直线，,αβ是平面，,a b αβ⊥⊥，向量1a 在a 上，向量1b 在b 上，1
1(1,1,1),(3,4,0)a b ==-，
则,αβ所成的锐角二面角的余弦值为_______.
20. 如图，在四棱锥S －ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，且AB ＝4，SA ＝3，E 、F 分别为线段BC 、SB 上的一点(端点除外)，满足
SF CE
BF BE
=＝λ，则当实数λ的值为________时，∠AFE 为直角．
21.给出下列命题：
①直线l的方向向量为＝（1，﹣1，2），直线m的方向向量＝（2，1，﹣），则l与m垂直；
②直线l的方向向量＝（0，1，﹣1），平面α的法向量＝（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；
③平面α、β的法向量分别为＝（0，1，3），＝（1，0，2），则α∥β；
④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量＝（1，u，t）是平面α的法
向量，则u+t＝1．
其中真命题的是．（把你认为正确命题的序号都填上）
四、解答题：（本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
22.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，
AB＝AF＝2EF＝2，点P在棱DF上．
（1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
（2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，求PF的长度．
23.在①PC⊥BD，②PC⊥AB，③P A＝PC三个条件中选两个条件补充在下面的横线处，使得PO⊥面ABCD成立，
请说明理由，并在此条件下进一步解答该题：
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AC∩BD＝O，底ABCD为菱形，若_____，且∠ABC＝60°，异面直线PB与CD 所成的角为60°，求平面APB与平面PBC夹角的余弦值．
24.在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，所有棱长均为2，∠AA1D1＝∠AA1B1＝60°，∠D1A1B1＝90°．
（1）求证：A1C⊥B1D1；
（2）求对角线AC1的长；
（3）求二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角的余弦值的大小．
25.如图，在四棱锥S﹣ABCD中，已知AB∥DC，AB⊥AD，△SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AD
＝AB＝2DC＝2，F为SB的中点
（ 1 ）求异面直线SA与FC所成角的大小；
（2）在棱SB上是否存在点Q，使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为？若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由．
参考答案：
DDDAC ADDBCC 12.AB 13.ABC 14.ABD 15.BC 16.BC
17. 218.)0,1
,0( 19. 3
15 20.
9
16
21. ①④
22.解：（1）∵BAF ＝90°，∴AF⊥AB，
又∵平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD＝AB，
∴AF⊥平面ABCD，又四边形ABCD为矩形，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，P是DF的中点，
∴B（2，0，0），E（1，0，2），C（2，2，0），P（0，1，1），
＝（﹣1，0，2），＝（﹣2，﹣1，1），
设异面直线BE与CP所成角的平面角为θ，
则cosθ＝＝＝，
∴异面直线BE与CP所成角的余弦值为．
（2）A（0，0，0），C（2，2，0），F（0，0，2），D（0，2，0），
设P（a，b，c），，0≤λ≤1，即（a，b，c﹣2）＝λ（0，2，﹣2），
解得a＝0，b＝2λ，c＝2﹣2λ，∴P（0，2λ，2﹣2λ），
＝（0，2λ，2﹣2λ），＝（2，2，0），
设平面APC的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，﹣1，），
平面ADF的法向量＝（1，0，0），
∵二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，
∴|cos＜＞|＝＝＝，
解得，
1
2
λ=,(0,1,3)
P∴PF的长度|PF|＝2
23.解：若选②，由PO⊥平面ABCD，知PO⊥AB，
又PC⊥AB，∴AB⊥面P AC，∴AB⊥AC，∴∠BAC＞90°，BC＞BA，
这与底面是菱形矛盾，∴②必不选，故选①③．
下面证明：PO⊥平面ABCD，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵PC⊥BD，PC∩AC＝C，∴BD⊥平面APC，
∵PO⊂平面APC，∴BD⊥PO，
∵P A＝PC，O为AC中点，∴PO⊥AC，
又AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD，
∵PO⊥平面ABCD，
以O为原点，OB，OC，OP的方向分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，∵AB∥CD，∴∠PBA为异面直线PB与CD所成角，∴∠PBA＝60°，
在菱形ABCD中，设AB＝2，
∵∠ABC＝60°，∴OA＝1，OB，
设PO＝a，则P A，PB，
在△PBA中，由余弦定理得：
P A2＝BA2+BP2﹣2BA•BP•cos∠PBA，
∴，解得a，
∴A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），P（0，0，），
设平面ABP的法向量（x，y，z），
（，1，0），（0，1，），
则，取z＝1，得（，1），
设（a，b，c）是平面CBP的法向量，
（，﹣1，0），（0，﹣1，），
由，令c＝1，得（，1），
设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，
∴cosθ，
∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．
24. 解：（1）证明：（1）∵在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，所有棱长均为2，
∴AD1＝AB1＝2，连结A1C1，B1D1，交于点O，连结AO，
∵∠AA1D1＝∠AA1B1＝60°，∠D1A1B1＝90°．∴AO⊥B1D1，
∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴B1D1⊥A1C1，
∴B1D1⊥平面A1ACC1，
∵A1C⊂平面A1ACC1，∴B1D1⊥A1C．
（2）解：在△AB 1D1中，AO＝，，AA1＝2，
∴，∴AO⊥A1O，
∵AO⊥B1D1，∴AO⊥平面A1B1C1D1，
∴AO⊥OC1，∴AC1＝＝2．
（3）解：由（2）知AO⊥平面A1B1C1D1，
以点O为原点，OA1为x轴，OB1为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，），B1（0，，0），C1（﹣，0，0），
＝（0，，﹣），＝（﹣，0，﹣），
设平面AB1C1的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，﹣1，﹣1），
平面AB1D1的法向量＝（1，0，0），
设二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角为θ，
则cosθ＝＝＝，
∴二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角的余弦值为．
25.解：（1）∵在四棱锥S﹣ABCD中，已知AB∥DC，AB⊥AD，△SAD是正三角形，
平面SAD⊥平面ABCD，AD＝AB＝2DC＝2，F为SB的中点，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），S（0，1，），C（1，2，0），B（2，0，0），F（1，），（0，﹣1，），（0，，），
设异面直线SA与FC所成角为θ（0°＜θ≤90°），
则cosθ0，∴θ＝90°．
∴异面直线SA与FC所成角的大小为90°；
（2）假设在棱SB上存在点Q（a，b，c），λ，（0≤λ≤1），
使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为，
则，即（a，b﹣1，c）＝λ（2，﹣1，），解得a＝2λ，b＝1﹣λ，c，
∴Q（2λ，1﹣λ，），（2λ，1﹣λ，），（1，2，0），（0，1，），设平面ACQ的法向量（x，y，z），
则，取x＝2，得（2，﹣1，），
设平面ASC的法向量（p，q，r），
则，取q＝2，得（2，﹣1，），
∵平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为，
∴cos，
整理得5λ2﹣10λ+4＝0，解得λ或（舍去）．
故在棱SB上存在点Q，使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为，此时1．。