专题一 微重点 函数的公切线问题

微重点4 函数的公切线问题
导数中的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养．
考点一 求两函数的公切线
例1 (2022·湘潭模拟)已知直线l 是曲线y ＝e x －1与y ＝ln x ＋1的公共切线，则l 的方程为__________．
答案 y ＝e x －1或y ＝x
解析 设直线l 与曲线y ＝e x －1相切于点P (a ，e a －1)，与曲线y ＝ln x ＋1相切于点Q (b ，ln b ＋1)，
则e a
＝1b ＝ln b －e a ＋2b －a ， 整理得(a －1)(e a －1)＝0，
解得a ＝1或a ＝0，
当a ＝1时，l 的方程为y ＝e x －1；
当a ＝0时，l 的方程为y ＝x .
规律方法 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．
跟踪演练1 已知函数f (x )＝x 2－2m ，g (x )＝3ln x －x ，若y ＝f (x )与y ＝g (x )在公共点处的切线相同，则m ＝________，该切线方程为________．
答案 1 2x －y －3＝0
解析 设函数f (x )＝x 2－2m 与g (x )＝3ln x －x 的公共点为(x 0，y 0)，
f ′(x )＝2x ，
g ′(x )＝3x
－1，
则⎩⎪⎨⎪⎧
f (x 0)＝
g (x 0)，f ′(x 0)＝g ′(x 0)， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x 20－2m ＝3ln x 0－x 0，2x 0＝3x 0－1，
x 0>0，
解得x 0＝m ＝1，
∴f ′(x 0)＝2，f (x 0)＝－1，
切线方程为y ＋1＝2(x －1)，即2x －y －3＝0.
考点二 与公切线有关的求值问题
例2 (2022·河南省百校大联考)已知f (x )＝x 22
＋ln x 与g (x )＝2x －x 3＋c 的图象有一条公切线，则c ＝________.
答案 －32
解析 因为f (x )＝x 22
＋ln x ， g (x )＝2x －x 3＋c ，
所以f ′(x )＝x ＋1x
≥2(x >0)， g ′(x )＝2－3x 2≤2，
所以公切线的斜率为2，与f (x )的图象相切于点⎝⎛⎭
⎫1，12，与g (x )的图象相切于点(0，c )， 故
c －120－1＝2，即c ＝－32. 规律方法 利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程．
跟踪演练2 (2022·湖北省新高考联考协作体联考)若存在过点(0，－2)的直线与曲线y ＝x 3和曲线y ＝x 2－x ＋a 都相切，则实数a 的值是( )
A ．2
B ．1
C ．0
D ．－2
答案 A
解析 y ＝x 3的导函数为y ′＝3x 2，y ＝x 2－x ＋a 的导函数为y ′＝2x －1，若直线与y ＝x 3和y ＝x 2－x ＋a 的切点分别为(x 1，x 31)，(x 2，x 22－x 2＋a )，
∴过点(0，－2)且与两曲线相切的直线为y ＝3x 21x －2，y ＝(2x 2－1)x －2，
则有⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 21＝2x 2－1，x 22－x 2＋a ＝(2x 2－1)x 2－2，x 31＝3x 31－2，可得⎩⎪⎨⎪
⎧ x 1＝1，
x 2＝2，
a ＝2.
考点三 判断公切线条数
例3 (2022·菏泽质检)若直线l 与曲线y ＝e x 和y ＝ln x 都相切，则满足条件的直线l 有(
) A ．0条 B ．1条
C ．2条
D ．无数条
答案 C
解析 设直线l 与曲线y ＝e x 相切于点(x 1，1e x )，y ′＝e x ，
∴直线l 的方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)，
即y ＝1e x ·x －x 11e x ＋1e x .
设直线l 与曲线y ＝ln x 相切于点(x 2，ln x 2)，
y ′＝1x ，
∴直线l 的方程为y －ln x 2＝1
x 2(x －x 2)，
即y ＝1
x 2·x －1＋ln x 2， 则1112121
e =e e 1ln ,
x x x x x x ⎧
⎪⎨⎪-+=-+⎩，
消去x 2得111e e x x x -－x 1－1＝0，
令φ(x )＝x e x －e x －x －1，x ∈R ，
φ′(x )＝x e x －1，
令g (x )＝x e x －1，x ∈R .
则g ′(x )＝(x ＋1)e x ，
当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )<0，
当x ∈(－1，＋∞)时，g ′(x )>0，
∵φ′(x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，
∴φ′(x )min ＝φ′(－1)＝－1e
－1<0， 又当x <0时，φ′(x )<0，
且φ′(0)<0，φ′(1)＝e －1>0，
∃x 0∈(0,1)，使φ′(x )＝0，即00e x
x ＝1，
∴当x ∈(－∞，x 0)时，φ′(x )<0，
当x ∈(x 0，＋∞)时，φ′(x )>0，
∴φ(x )在(－∞，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，
∴φ(x )min ＝φ(x 0)＝000e e x x x －－x 0－1
＝－1x 0
－x 0<0， 且φ(－2)＝1－3e 2>0，φ(2)＝e 2－3>0， ∴函数φ(x )有2个零点，即y ＝e x 与y ＝ln x 有2条公切线．
规律方法 运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况．
跟踪演练3 若a >12e
，则函数y ＝ax 2与y ＝ln x 的公切线有( ) A ．0条
B ．1条
C ．2条
D ．无数条 答案 C
解析 设切线与曲线y ＝ln x 相切于点(t ，ln t )，
对函数y ＝ln x 求导得y ′＝1x
， 所以曲线y ＝ln x 在点(t ，ln t )处的切线方程为
y －ln t ＝1t (x －t )，即y ＝1t
x ＋ln t －1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝ax 2，
y ＝1t x ＋ln t －1， 可得ax 2－1t
x ＋1－ln t ＝0， 由题意可得a ≠0且Δ＝1t
2－4a (1－ln t )＝0， 可得14a
＝t 2－t 2ln t ， 令g (t )＝t 2－t 2ln t ，其中t >0，
则g ′(t )＝2t －(2t ln t ＋t )＝t (1－2ln t )．
当0<t <e 时，g ′(t )>0，函数g (t )单调递增；
当t >e 时，g ′(t )<0，函数g (t )单调递减，
所以g (t )max ＝g (e)＝e 2
.且当0<t <e 时，g (t )>0； 当t >e 时，g (t )<0，函数g (t )的图象如图所示，
由题意可知，当a >12e 时，0<14a <e 2
， 由图可知，直线y ＝14a
与曲线g (t )有两个交点， 则函数y ＝ax 2与y ＝ln x 有两条公切线．
考点四 求参数的取值范围
例4 若曲线C 1
：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝e x a (a >0)存在公切线，则实数a 的取值范围为______． 答案 ⎣⎡⎭⎫e 24，＋∞
解析 y ＝x 2在点(m ，m 2)处的切线斜率为2m ，
y ＝e x a (a >0)在点⎝⎛⎭⎫n ，1a e n 处的切线斜率为1a
e n ， 如果两个曲线存在公共切线，那么2m ＝1a
e n . 又由斜率公式得2m ＝m 2－1a e n m －n
， 由此得到m ＝2n －2，
则4n －4＝1a
e n 有解， 即y ＝4x －4，y ＝1a
e x 的图象有公共点即可． 当直线y ＝4x －4与曲线y ＝1a
e x 相切时， 设切点为(s ，t )，则1a
e s ＝4， 且t ＝4s －4＝1a
e s ，可得t ＝4，s ＝2， 即切点为(2,4)，a ＝e 24，故a 的取值范围是a ≥e 24
. 规律方法 利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k 的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解．
跟踪演练4 若函数f (x )＝4ln x ＋1与函数g (x )＝ax 2－2x (a >0)的图象存在公切线，则实数a 的取值范围为( )
A ．[3，＋∞)
B ．(3，＋∞) C.⎝⎛⎦
⎤1，32 D.⎝⎛⎭
⎫1，32 答案 A
解析 因为a >0，设切点为(t ，4ln t ＋1)，
则f ′(t )＝4t
， 则公切线方程为y －4ln t －1＝4t
(x －t )， 即y ＝4t x ＋4ln t －3，
联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝4t x ＋4ln t －3，y ＝ax 2－2x ，
可得ax 2－⎝⎛⎭
⎫2＋4t x －4ln t ＋3＝0， 所以Δ＝⎝⎛⎭⎫2＋4t 2－4a (3－4ln t )＝0， 整理可得a ＝⎝⎛⎭
⎫2t ＋123－4ln t ， 由⎩⎪⎨⎪⎧
a >0，t >0，
可得3－4ln t >0， 解得0<t <3
4e , 令h (t )＝⎝⎛⎭
⎫2t ＋123－4ln t
， 其中0<t <34e ,
则h ′(t )＝4t ⎝⎛⎭⎫2t ＋1·t ＋4ln t －1t (3－4ln t )2， 令φ(t )＝t ＋4ln t －1，则φ′(t )＝1＋4t >0， 函数φ(t )在340,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增， 当0<t <1时，φ(t )<0，即h ′(t )<0，此时函数h (t )单调递减，
当1<t <34
e 时，φ(t )>0，
即h ′(t )>0，此时函数h (t )单调递增，
所以h (t )min ＝h (1)＝3，
且当t →0＋时，h (t )→＋∞，
所以函数h (t )的值域为[3，＋∞)，故a ≥3.
专题强化练
1．(2022·合肥模拟)已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R ，若曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，则a 的值为( )
A.e 2
B ．e 2
C ．e
D ．2e 答案 A
解析 设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )的交点为P (x 0，y 0)，则x 0＝a ln x 0，
因为f ′(x )＝12x
，g ′(x )＝a x ， 所以12x 0＝a x 0
，即a ＝x 02， 则x 0＝a ln x 0＝x 02
ln x 0， 因为x 0>0，所以ln x 0＝2，即x 0＝e 2，
所以a ＝x 02＝e 2
. 2．已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，若经过点A (0，－1)存在一条直线l 与f (x )的图象和g (x )的图象都相切，则a 等于( )
A ．0
B ．－1
C ．3
D ．－1或3
答案 D
解析 设直线l 与f (x )＝x ln x 相切的切点为(m ，m ln m )，
由f (x )＝x ln x 的导数为f ′(x )＝1＋ln x ，
可得切线的斜率为1＋ln m ，
则切线方程为y －m ln m ＝(1＋ln m )(x －m )，
将A (0，－1)代入切线方程可得
－1－m ln m ＝(1＋ln m )(0－m )，
解得m ＝1，则切线l 的方程为y ＝x －1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x －1，y ＝x 2＋ax ，可得x 2＋(a －1)x ＋1＝0，
由Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或3.
3．(2022·邢台模拟)若直线l 与函数f (x )＝e x ，g (x )＝ln x 的图象分别相切于点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，g (x 2))，则x 1x 2－x 1＋x 2等于( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
答案 B
解析 由f (x )＝e x ，g (x )＝ln x ，
得f ′(x )＝e x ，g ′(x )＝1x
， 则1e x ＝1x 2，ln 1e x ＝ln 1x 2
，即x 1＝－ln x 2. 曲线y ＝f (x )在点A 处的切线方程为y ＝1e x x ＋1e x (1－x 1)，
曲线y ＝g (x )在点B 处的切线方程为y ＝1x 2
x －1＋ln x 2， 所以1e x (1－x 1)＝－1＋ln x 2，
可得1x 2
(1－x 1)＝－1－x 1， 整理得x 1x 2－x 1＋x 2＝－1.
4．(2022·青岛质检)若函数y ＝f (x )的图象上存在两个不同的点A ，B ，使得曲线y ＝f (x )在这两点处的切线重合，则称函数y ＝f (x )为“自重合”函数．下列函数中是“自重合”函数的为
( )
A ．y ＝ln x ＋x
B ．y ＝e x ＋1
C ．y ＝x 3
D ．y ＝x －cos x
答案 D
解析 若曲线y ＝f (x )在这两点处的切线重合，首先要保证这两点处导数相同．
A 选项中，y ′＝1x
＋1；B 选项中，y ′＝e x ，导数均为单调函数，切点不同时，导数值不同，所以切线不可能重合，故A ，B 错误；
C 选项中，y ′＝3x 2，若斜率相同，
则切点为(x 0，x 30)和(－x 0，－x 30
)， 代入解得切线方程分别为y ＝3x 20x －2x 30和y ＝3x 20x ＋2x 30， 若切线重合，则x 0＝0，此时两切点为同一点，不符合题意，故C 错误；
D 选项中，y ′＝1＋sin x ，
令y ′＝1＋sin x ＝1得x ＝k π(k ∈Z )，
则有点(0，－1)，(2π，2π－1)，切线均为y ＝x －1，所以存在不同的两点使得切线重合，故D 正确．
5．(多选)(2022·保定模拟)若直线y ＝3x ＋m 是曲线y ＝x 3(x >0)与曲线y ＝－x 2＋nx －6(x >0)的公切线，则( )
A ．m ＝－2
B ．m ＝－1
C ．n ＝6
D ．n ＝7 答案 AD
解析 设直线y ＝3x ＋m 与曲线y ＝x 3(x >0)相切于点(a ，a 3)，与曲线y ＝－x 2＋nx －6(x >0)相切于点(b ，3b ＋m )，
对于函数y ＝x 3(x >0)，y ′＝3x 2，
则3a 2＝3(a >0)，解得a ＝1，
所以13＝3＋m ，即m ＝－2.
对于函数y ＝－x 2＋nx －6(x >0)，y ′＝－2x ＋n ，
则－2b ＋n ＝3(b >0)，
又－b 2＋nb －6＝3b －2，
所以－b 2＋b (3＋2b )－6＝3b －2，
又b >0，所以b ＝2，n ＝7.
6．(多选)(2022·南京模拟)若二次函数f (x )＝2x 2＋3的图象与曲线C ：g (x )＝a e x ＋3(a >0)存在公切线，则实数a 的可能取值为( )
A.1e
B.12
C.8e 2
D. e 答案 ABC
解析 由f (x )＝2x 2＋3可得f ′(x )＝4x ，
由g (x )＝a e x ＋3可得g ′(x )＝a e x ，
设公切线与f (x )＝2x 2＋3的图象相切于点(x 1，2x 21＋3)，
与g (x )＝a e x ＋3的图象相切于点(x 2，2e x a ＋3)，
所以4x 1＝()22222112121
3232=e e ,e x x x x x x x x a a x a +-=-+-- 即2x 1＝2x 1－x 21x 2－x 1
， 可得x 1＝0或2x 2＝x 1＋2，
因为4x 1＝2e x
a ，a >0，
则x 1>0,2x 2＝x 1＋2>2，即x 2>1， ()()222221422e e 81,e
4x x x x x x a --===x 2>1， 令h (x )＝8(x －1)e x
，x >1， 可得h ′(x )＝8e x －8e x (x －1)e 2x ＝16－8x e x
， 由h ′(x )>0得1<x <2；由h ′(x )<0得x >2，
所以h (x )在(1,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，
所以h (x )max ＝h (2)＝8×(2－1)e 2＝8e 2， 所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦
⎤0，8e 2，故选ABC. 7．(2022·重庆质检)设三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，若曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线与曲线g (x )＝xf (x )在点(1,2)处的切线重合，则g ′(2)＝________.
答案 －32
解析 由题知f (0)＝0，
∴d ＝0，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，
f (x )在(0,0)处的切线为y －0＝f ′(0)(x －0)，
即y ＝f ′(0)x ，
∵g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(1)＝f (1)＋f ′(1)，
∴g (x )在(1,2)处的切线方程为
y ＝g ′(1)x －g ′(1)＋2，
又两条切线重合，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＝g ′(1)，
－g ′(1)＋2＝0， ∴f ′(0)＝g ′(1)＝2，
又∵g (1)＝f (1)＝2，g ′(1)＝f (1)＋f ′(1)，
∴f ′(1)＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＝c ＝2，f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0，
f (1)＝a ＋b ＋c ＝2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝2，
c ＝2，
∴f (x )＝－2x 3＋2x 2＋2x ，
f ′(x )＝－6x 2＋4x ＋2，
∴g ′(2)＝f (2)＋2f ′(2)＝－32.
8．(2022·湖北新高考联考协作体联考)已知f (x )＝12
x 2－2ax ，g (x )＝3a 2ln x －b ，其中a >0.设两曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )有公共点，且在该点的切线相同，则b 的最小值为________，曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )这样的公共切线有______条．
答案 －16e 2 1 解析 由f (x )＝12
x 2－2ax ， g (x )＝3a 2ln x －b ，x >0，
则f ′(x )＝x －2a ，g ′(x )＝3a 2x
， 设两曲线的公切点为(x 0，y 0)，由题意得，
⎩⎪⎨⎪⎧
f (x 0)＝
g (x 0)，
f ′(x 0)＝
g ′(x 0)，
即⎩⎨⎧ 12x 20－2ax 0＝3a 2ln x 0－b ，x 0－2a ＝3a 2x 0，
由x 0－2a ＝3a 2x 0
得，x 20－2ax 0－3a 2＝0， 解得x 0＝3a 或x 0＝－a (舍去)，
所以曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )只有一条这样的公共切线． b ＝3a 2ln x 0－
12x 20＋2ax 0＝3a 2ln 3a －9a 22＋6a 2 ＝3a 2ln 3a ＋3a 22
， 令F (a )＝3a 2ln 3a ＋3a 22
，a >0， 则F ′(a )＝6a ln 3a ＋6a ＝6a (ln 3a ＋1)，
当0<a <13e
时，F ′(a )<0， 当a >13e
时，F ′(a )>0， 所以函数F (a )在⎝⎛⎭
⎫0，13e 上单调递减， 在⎝⎛⎭⎫13e ，＋∞上单调递增，
所以当a ＝13e
时，b 取得最小值， 为F ⎝⎛⎭⎫13e ＝－13e 2＋32·19e 2＝－16e 2.。