中考数学总复习 专题提升十一 巧用图形变换进行计算与证明(含答案)

巧用图形变换进行计算与证明
1．已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到图2则旋转的牌是(A)
(第1题图)
2．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是(B)
A. 3
B. 2 3
C. 3 3
D. 4 3
(第2题图)
(第3题图)
3．如图，已知⊙O的半径长为3，∠AOB＋∠COD＝150°，则阴影部分面积为15π4
．
4．如图是一个台阶的纵切面图，∠B＝90°，AB＝3 m，BC＝5 m，现需在台阶从点A到点C 处铺上红地毯，则该地毯的长度为__8__m.
(第4题图)
(第5题图)
5．如图，四边形是矩形纸片，AB ＝2，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，折痕为EF ；展平后再过点B 折叠矩形纸片，使点A 落在EF 上的点N ，折痕BM 与EF 相交于点Q ；再次展平，连结BN ，MN ，延长MN 交BC 于点G .有如下结论： ①∠ABN ＝60°；②AM ＝1；③QN ＝33
；④△BMG 是等边三角形；⑤P 为线段BM 上一动点，H 是BN 的中点，则PN ＋PH 的最小值是 3.
其中正确结论的序号是__①④⑤__．
6．如图，菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝3，⊙A ，⊙B 的半径分别为2和1，P ，E ，F 分别是边CD ，⊙A 和⊙B 上的动点，则PE ＋PF 的最小值是__3__．
(第6题图)
(第7题图)
7．如图，O 是等边三角形ABC 内一点，OA ＝3，OB ＝4，OC ＝5，则△AOC 与△AOB 的面积之
和为 6＋934
． 8．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AD 是BC 边上的高，BD ＝3，CD ＝2，则AD 的长为__6__．
(第8题图)
(第9题图)
9．如图，在正方形ABCD 中，点M ，N 分别是AD ，CD 边上的动点(含端点)，且∠MBN ＝45°.求证：AM ＋CN ＝MN .
(第9题图解)
证明：∵∠C ＝∠A ＝90°，BC ＝BA ，
∴将△BCN 逆时针旋转90°得到△BAN ′，如解图所示．
∵∠MBN ＝45°，
∴∠MBN ′＝45°，
在△MBN 和△MBN ′中，
∵⎩⎪⎨⎪⎧BN ＝BN ′，∠MBN ＝∠MBN ′，BM ＝BM ，
∴△MBN ≌△MBN ′(SAS )，
∴MN ＝MN ′，
即AM ＋AN ′＝MN ，
∴AM ＋CN ＝MN .
10．某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A 和李村B 送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O 为坐标原点，以河道所在的直线为x 轴建立直角坐标系(如图)，两村的坐标分别为A (2，3)，B (12，7)．
(1)若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O 多远的地方可使所用输水管最短？
(2)水泵站建在距离大桥O 多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？
解：(1)如解图，作点B 关于x 轴的对称点E ，连结AE ，
(第10题图解)
则点E 为(12，－7)．
设直线AE 的函数表达式为y ＝kx ＋b ，则
⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝3，12k ＋b ＝－7，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝5. ∴直线AE 的表达式为y ＝－x ＋5 .
当y ＝0时，x ＝5，∴水泵站建在距离大桥5 km 的地方，可使所用输水管道最短．
(2)如解图，作线段AB 的垂直平分线GF ，交AB 于点F ，交x 轴于点G .
设点G 的坐标为(x ，0)，
在Rt △AGD 中，AG 2＝AD 2＋DG 2＝32＋(x －2)2，
在Rt △BCG 中，BG 2＝BC 2＋GC 2＝72＋(12－x )2，
∵AG ＝BG ，∴32＋(x －2)2＝72＋(12－x )2，
解得x ＝9.
∴水泵站建在距离大桥9 km 的地方，可使它到张村、李村的距离相等．
11．如图①，将线段A 1A 2向右平移1个单位到B 1B 2，得到封闭图形A 1A 2B 2B 1(即阴影部分)，在图②中，将折线A 1A 2A 3向右平移1个单位到B 1B 2B 3，得到封闭图形A 1A 2A 3 B 3B 2B 1(即阴影部分)．
(1)在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示．
(2)请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积(设长方形水平方向长均为a ，竖直方向长均为b )：S 1＝(a －1)b ，S 2＝(a －1)b ，S 3＝(a －1)b ．
(3)如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的小路(小路任何地方的水平宽度都是2个单位)，请你求出空白部分表示的草地面积是多少？
(4)如图⑤，若在(3)中的草地又有一条横向的弯曲小路(小路任何地方的宽度都是1个单位)，请你求出空白部分表示的草地的面积是多少？
解：(1)如解图所示：
(第11题图解)
(2)均填(a－1)b.
(3)将右边空白部分向左平移2个单位，两块空白部分草地就拼成了一个矩形，所以空白部分草地面积为：(a－2)b；
(4)将4块空白部分都移到右上方，则会发现它们拼成了一个矩形，所以空白部分草地面积为：(a－2)(b－1)．。