秋高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在

2018年秋高中数学第一章导数及其应用1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用1.7.2 定积分在物理中的应用学案新人教A版选修2-2
编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋高中数学第一章导数及其应用1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用1.7.2 定积分在物理中的应用学案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018年秋高中数学第一章导数及其应用1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用1.7.2 定积分在物理中的应用学案新人教A版选修2-2的全部内容。

1。

7 定积分的简单应用
1.7。

1 定积分在几何中的应用
1.7。

2 定积分在物理中的应用
学习目标：1。

会用定积分求平面图形的面积．(重点、易混点)2。

会求变速直线运动的路程和变力做功．(重点、难点)
[自主预习·探新知］
1．定积分与平面图形面积的关系
(1）已知函数f（x)在[a，b］上是连续函数，由直线y＝0，x＝a，x＝b与曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积为S，填表：
f
（x)的符号平面图形的面积与定积分的关系f（x）≥0S＝错误!f(x)d x
f(x）＜0S＝－
⎠
⎛
a
b f（x)d x
（2)，那么直线x ＝a，x＝b与曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积为S＝错误![f(x)－g（x)］d x.即曲边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示函数的差的定积分．
图1。

7­1
2．变速直线运动的路程
做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v（t）(v（t）≥0)在时间区间[a，b］上的定积分，即s＝错误!v（t)d t。

思考:变速直线运动的路程和位移相同吗?
［提示]不同．路程是标量，位移是矢量，两者是不同的概念．
3．变力做功
如果物体在变力F（x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与F（x）相同的方向从x＝a 移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为W＝错误!F(x）d x.
［基础自测]
1．思考辨析
(1)函数y＝f（x），x∈[a，b ]与x轴围成的图形的面积S＝错误!f(x）d x.（）
(2）若物体的运动速度v＝5－2t，则其在1≤t≤3内的路程S＝错误!（5－2t)d t。

( ）
(3)曲线y＝x3与直线x＋y＝2，y＝0围成的图形面积为错误!x3d x＋错误!（2－x）d x.( )
（4)曲线y＝3－x2与直线y＝－1围成的图形面积为（4－x2）d x.（)
[答案］(1）×（2）×(3）√(4)√
2．曲线y＝x3与直线y＝x所围成的图形的面积等于（)
【导学号：31062099】
C［由题意知，由y＝x3及y＝x所围成的图形如图所示．
显然S＝2错误!(x－x3）d x.］
3．一物体沿直线以v＝3t＋2(t单位:s，v单位：m/s）的速度运动，则该物体在3～6 s间的运动路程为( ）
【导学号：31062100】A．46 m B．46。

5 m
C．87 m D．47 m
B[s＝错误!(3t＋2)d t＝错误!错误!
＝(54＋12)－错误!＝46。

5（m）．］
4．一物体在力F(x）＝4x－1（单位：N)的作用下,沿着与力F（x)相同的方向，从x＝1处运动到x＝3处（单位：m）,则力F（x)所作的功为________J.
[解析］由题意可知，力F（x)所作的功
W＝错误!F（x)d x＝错误!(4x－1）d x＝(2x2－x)错误!
＝14 J。

[答案]14
[合作探究·攻重难］
利用定积分求平面图形的面积问题[
观察图形，完成下列探究问题：
图1。

7。

2
1．图中阴影部分的面积能否用定积分错误!［错误!－（x－4）］d x表示？为什么?
提示：不能．由定积分的几何意义可知，当x∈［0,8］时,被积函数y＝错误!－(x－4)表示的图形如图所示:
2．若以x为积分变量,如何用定积分表示图形中阴影部分的面积？
提示：S＝2错误!错误!d x＋错误!［错误!－(x－4)］d x.
3．能否以y为积分变量，用定积分表示图形中阴影部分的面积？
提示：能．可表示为S＝错误!d y。

（1）已知函数y＝x2与y＝kx(k〉0）的图象所围成的阴影部分(如图1.7。

3所示)的面积为错误!，则k＝________.
图1­7­3
(2）求由曲线y＝x，y＝2－x，y＝－错误!x所围成的图形的面积．
[解](1）由错误!解得错误!或错误!
故阴影部分的面积为错误!(kx－x2）d x＝错误!错误!＝错误!k3－错误!k3＝错误!k3＝错误!，解得k＝2.
（2）画出图形,如图所示．
解方程组错误!错误!
及错误!
得交点坐标分别为(1，1)，(0，0),(3,－1)，
所以S＝错误!错误!d x＋错误!（2－x)－错误!d x＝错误!错误!d x＋错误!错误!d x
＝错误!错误!＋错误!错误!错误!
＝错误!＋错误!＋错误!错误!
＝错误!＋6－错误!×9－2＋错误!＝错误!。

母题探究：1。

（变条件)把本例(1)的条件变为“如图1。

7。

4，已知点A错误!，点P(x0，y
）（x0＞0）在曲线y＝x2上，若阴影部分的面积与△OAP的面积相等”，则x0＝________。

0
图1。

7­4
［解]由题意知
即错误!x0＝错误!x错误!，
解得x0＝错误!或x0＝－错误!或x0＝0.
∵x0＞0，∴x0＝错误!.
2．(变条件）把本例（1）的条件变为“曲线y＝x2在点P（2,4）处的切线与曲线及x轴
所围成的图形面积为S”，求S.
［解］∵y′|x＝2＝4，故曲线在P点处的切线方程为y－4＝4（x－2），即y＝4x－4，故
所求面积S＝错误!x2d x＋错误!(x2－4x＋4）d x＝错误!x3错误!＋错误!错误!＝错误!。

3．(变条件)把本例（2）的条件改为“求由曲线y2＝x，y＝2－x所围成的图形的面积．”
［解］由错误!得错误!或错误!
∴阴影部分的面积
S＝（2－y－y2)d y
＝错误!错误!
＝错误!－错误!＝错误!。

[规律方法]
求曲边梯形面积的一般步骤如下:
求变速直线运动的路程
有一动点t2（速度的正方向与x 轴正方向一致)．求：
(1)P从原点出发，当t＝6时,求点P移动的路程和离开原点的位移;
(2）P从原点出发,经过时间t后又返回原点时的t值。

【导学号：31062101】[解］（1）由v（t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，
即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，
当t＞4时，P点向x轴负方向运动．
故t＝6时,点P移动的路程
s
1
＝错误!(8t－2t2）d t－错误!(8t－2t2)d t
＝错误!错误!－错误!错误!
＝错误!.
当t＝6时,点P的位移为
错误!（8t－2t2)d t＝错误!错误!＝0。

(2)依题意错误!(8t－2t2)d t＝0，
即4t2－2
3
t3＝0，
解得t＝0或t＝6,
t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t＝6是从原点出发，又返回原点所用的时间．
［规律方法] 做变速直线运动的物体，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b a ＜b 所经过的路程s
和位移s ′情况如下：
1若v
t ≥0，
则s ＝错误!v t d t ；s ′＝错误!v t d t .即s ＝s ′。

2若v
t ≤0，
则s ＝－⎠⎛a
b v t d t ；s ′＝错误!v t d t 。

即s ＝－s ′.
3
若在区间［a ,c ]上,v
t ≥0，在区间[c ，b ]上v t ＜0，则s ＝错误!v t d t －错误!v t
d t ，s ′＝错误!v
t d t 。

所以求路程时要事先求得速度的正负区间.
[跟踪训练]
1．有一辆汽车以每小时36 km 的速度沿平直的公路行驶,在B 处需要减速停车．设汽车以2 m/s 2
的加速度刹车，问：从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？
[解］ 设从开始刹车到停车，汽车经过了t s.
v 0＝36 km/h ＝10 m/s,v （t ）＝v 0－at ＝10－2t 。

令v (t ）＝0，解得t ＝5。

所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为s ＝⎠⎛05(10－2t ）d t ＝(10t －t 2
） 错误!＝25(m)．
故从开始刹车到停车，汽车行驶了25 m.
求变力做功
设有一个长为30 cm ，求使弹簧
由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．
[解］ 设x 表示弹簧伸长的长度，f （x )表示加在弹簧上的力，则f (x )＝kx （其中常数k 为比例系数)．
因为当f （x )＝100时,x ＝5，所以k ＝20。

所以f （x )＝20x .
弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时，弹簧伸长的长度x 从0 cm 变化到15 cm,故所做的功
W ＝错误!20x d x ＝10x 2错误!＝2 250(N·cm）＝22.5(J ）．
［规律方法] 求变力做功的方法步骤
（1)要明确变力的函数式F (x ），确定物体在力的方向上的位移． （2）利用变力做功的公式W ＝错误!F （x ）d x 计算．
（3）注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．
[跟踪训练］
2．一物体在力F（x)＝错误!（单位:N)的作用下沿与力F相同的方向,从x＝0处运动到x ＝4（单位：m)处，则力F(x）做的功为( )
A．10 J B．12 J
C．14 J D．16 J
B[W＝错误!2d x＋错误!（2x－2)d x＝2x错误!＋（x2－2x）错误!＝4＋(16－8－4＋4）＝12（J)．］
［当堂达标·固双基]
1．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有( )
S＝错误![f(x)－g（x)]d x S＝错误!(2错误!－2x＋8)d x
①②
错误!
③④
图1­7。

5
A．①③B．②③
C．①④D．③④
D［①错误，S＝错误![f（x）－g(x)］d x；
②错误,S＝错误!2错误!d x＋错误!（2错误!－2x＋8）d x；
③④正确．］
2．曲线y＝cos x错误!与坐标轴所围图形的面积是( )
【导学号：31062102】A．2 B．3
C．错误!D．4
B[S＝
＝sin π
2
－sin 0－sin 错误!＋sin 错误!＝1－0＋1＋1＝3.]
3．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v（t)＝27－0.9t，则列车刹车后前进多少米才能停车（)
A．405 B．540
C．810 D．945
A［停车时v(t）＝0，由27－0.9t＝0,得t＝30，
∴s＝错误!v（t)d t＝错误!（27－0。

9t)d t＝(27t－0。

45t2) 错误!＝405.］
4．设a＞0，若曲线y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.
[解析］由已知得S＝＝a2,
所以a＝错误!,所以a＝错误!。

［答案］错误!
5．一物体在变力F（x)＝错误!(N)的作用下沿坐标平面内x轴的正方向由x＝8 m处运动到x＝18 m处，求力F（x）在这一过程中所做的功．
[解]由题意得力F(x)在这一过程中所做的功为F（x)在［8，18]上的定积分,从而
W＝错误!F(x）d x＝－36x－1错误!＝（－36·18－1)－(－36·8－1）＝(－2)－错误!＝错误!(J)．
从而可得力F(x)在这一过程中所做的功为5
2
J.。