【三维设计】高考数学一轮复习 第7节 数学归纳法课件 理

解得：ak＋1＝ 2k＋3－ 2k＋1 或ak＋1＝－ 2k＋3－ 2k＋1(舍去)． 即当n＝k＋1时，通项公式也成立． 由①和②，可知对所有n∈N＋，an＝ 2n＋1 － 2n－1 都成立．
[冲关锦囊] 解“归纳—猜想—证明”题的关键环节： (1)准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础． (2)通过观察、分析、比较、联想，猜想出一般结论． (3)用数学归纳法证明之．
(2)证明：①当n＝1时，a1＝1，结论成立． ②假设n＝k(k≥1且k∈N＋)时，结论成立， 即ak＝22k－k－11.那么n＝k＋1时， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1， ∴2ak＋1＝2＋ak.
∴ak＋1＝2＋2 ak＝2＋222k－k－11＝2k＋21－k 1. 这表明 n＝k＋1 时，结论成立． 由①②知猜想 an＝22nn－－11(n∈N＋)成立．
数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤： 1．(归纳奠基)证明当n取 第一个值n0(n0∈N+) 时命题成立；
2．(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N+)时命题成立，证明当 n＝k＋1 时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所 有正整数n都成立．
1．(教材习题改编)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…
那么当 n＝k＋1 时， 左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1) ＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2 ＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)， 这就是说当 n＝k＋1 时等式也成立． 综上可知原等式对于任意正整数 n 都成立．
答案：2k
5．(教材习题改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3) 条时，第一步检验第一个值n0＝________.
解析：第一步检验的第一个值n0应为3. 答案： 3
数学归纳法的应用 (1)数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证
明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不 可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第 二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n＝k＋1 时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的 关键是“一凑假设，二凑结论”． (2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k到k＋1 时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．
[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．(2012·大连模拟)用数学归纳法证明： 2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2n21n＋2＝4nn＋1(n∈N＋)．
证明：(1)当n＝1时，等式左边＝2×1×12×1＋2＝18， 等式右边＝411＋1＝18. 等式左边＝等式右边，所以等式成立．
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3．(2012·苏北四市联考)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝
an 2
＋a1n－1，且an＞0，n∈N＋. (1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式； (2)证明通项公式的正确性．
解：(1)当 n＝1 时， 由已知得 a1＝a21＋a11－1，a12＋2a1－2＝0. ∴a1＝ 3－1 或 a1＝－ 3－1(舍去)． 当 n＝2 时，由已知得 a1＋a2＝a22＋a12－1， 将 a1＝ 3－1 代入并整理得 a22＋2 3a2－2＝0. ∴a2＝ 5－ 3或 a2＝－ 5－ 3(舍去)． 同理可得 a3＝ 7－ 5. 由 a1，a2，a3，猜想 an＝ 2n＋1－ 2n－1(n∈N＋)．
第
六
第
章
七
不
节
等
式、 推
数 学 归
理
纳
与
法
证
[理]
明
抓基础 明考向 提能力
教你一招 我来演练
[备考方向要明了] 考什么
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些 简单的数学命题.
怎么考 从高考内容上来看，用数学归纳法证明与正整数有 关的不等式以及与数列有关的命题是高考命题的热 点．题型为解答题，着重考查数学归纳法的应用及学生 的逻辑推理能力，难度中、高档.
(2)假设当 n＝k(k∈N＋，k≥2)时不等式成立，
即(a1＋a2＋…＋ak)(a11＋a12＋…＋a1k)≥k2.当 n＝k＋1 时，(a1＋a2＋…＋
ak＋ak＋1)(a11＋a12＋…＋a1k＋ak1＋1)＝(a1＋a2＋…＋ak)(a11＋a12＋…＋a1k)＋
(a1
＋
a2
＋
…
＋
ak)
1 ak＋1
()
解析：由f(n)可知，共有n2－n＋1项，且n＝2时，f(2)＝12＋13＋14.
答案： D
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/172022/1/17January 17, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/172022/1/172022/1/171/17/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/172022/1/17
•
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4．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋2n－1 1<n(n>1)”，由n＝k(k>1) 不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是________． 解析：当n＝k时，不等式为1＋12＋13＋…＋2k－1 1<k. 则n＝k＋1时，左边应为： 1＋12＋13＋…＋2k－1 1＋21k＋2k＋1 1＋…＋2k＋11－1 则增加的项数为2k＋1－1－2k＋1＝2k.
1 a1
＋
1 a2
＋…＋
a1n)≥n2对任意n∈N＋，n≥2都成立．
[冲关锦囊] 1．用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式，一般有
三种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证 明；二是比较两个式子的大小，先利用n的几个特殊 值猜想大小再给出证明；三是已知不等式成立，寻求 变量的取值范围． 2．在证明由n＝k到n＝k＋1成立时，一定要用归纳假设 n＝k时得到的中间过渡式，由过渡式到目标式的证 明可以用放缩法、基本不等式、分析法等.
(2)假设 n＝k(k∈N＋且 k≥1)时等式成立，即有 2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k2k1＋2＝4k＋k 1， 则当 n＝k＋1 时，2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k2k1＋2＋2k＋1[21k＋1＋2] ＝4k＋k 1＋4k＋11k＋2 ＝4kk＋k＋12k＋＋12＝4k＋k＋11k＋2 2＝4kk＋＋12＝4k＋k＋1＋1 1 所以当 n＝k＋1 时．等式也成立． 由(1)(2)可知，对于一切 n∈N＋，等式都成立．
1 2
，a
2 n
＋(an＋1＋
2)an＋2an＋1＋1＝0.求证： －1<an<0；
[自主解答] 已知条件可化为(an＋1＋an)(an＋2)＋1＝0，
即an＋1＝－an－an＋1 2.
①当 n＝1 时结论成立； ②假设当 n＝k(k≥1 且 k∈N＋)时结论成立，即－1<ak<0， 那么当 n＝k＋1 时，ak＋1＝－(ak＋2)－ak＋1 2＋2. ∵1<ak＋2<2，又 y＝t＋1t 在(1,2)内为增函数， ∴ak＋2＋ak＋1 2∈(2，52)，∴ak＋1∈(－12，0)， 则－1<ak＋1<0. ∴当 n＝k＋1 时结论成立． 由①②知，对一切 n∈N＋均有－1<an<0.
解题样板 解答
数学归纳法解答题的规范
[考题范例] (13 分)(2011·湖南高考)已知函数 f(x)＝x3，g(x)＝x＋ x. (1)求函数 h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数，并说明理由； (2)设数列{an}(n∈N＋)满足 a1＝a(a＞0)，f(an＋1)＝g(an)， 证明：存在常数 M，使得对于任意的 n∈N＋，都有 an≤M.
[冲关锦囊] 用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时命题成立． (2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形 目标． (3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③ 配方法.
[精析考题]
[例2]
(2012·苏北四市联考)已知数列{an}满足：a1＝－
(2)证明：①由(1)的计算过程知，当 n＝1,2,3 时，通项公式成立． ②假设当 n＝k(k≥3，k∈N＋)时，通项公式成立， 即 ak＝ 2k＋1－ 2k－1. 那么由 ak＋1＝Sk＋1－Sk＝ak2＋1＋ak1＋1－a2k－a1k， 将 ak＝ 2k＋1－ 2k－1代入上式并整理得 a2k＋1＋2 2k＋1ak＋1－2＝0，
[精析考题] [例1] (2012·海口模拟)求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝ 2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N＋)． [自主解答] 当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式 成立； 假设当n＝k时等式成立， 即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，
＋
ak
＋
1(
1 a1
＋
1 a2
＋
…
＋
1 ak
)
＋
1≥k2
＋
(
a1 ak＋1
＋
ak＋1 a1
)
＋
(aak＋2 1＋aak＋2 1)＋…＋(aak＋k 1＋aak＋k 1)＋1≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2，当且仅当 a1
＝a2＝…＝ak＝ak＋1 时等号成立．
即当n＝k＋1时不等式成立．
由(1)(2)得不等式(a1＋a2＋…＋an)·(
2．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，
在验证n＝1时，左边计算所得的式子为 ( )
A．1
B．1＋2
C．1＋2＋22
D．1＋2＋22＋23
解析：由n＝1时，左＝1＋2＋22＋23.
答案： D
3．已知f(n)＝n1＋n＋1 1＋n＋1 2＋…＋n12，则 A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13 B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14 C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13 D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14
－n1＝2(n＋1 2＋n＋1 4＋…＋21n)时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时
命题为真，则还需要用归纳假设再证
()
A．n＝k＋1时等式成立
B．n＝k＋2时等式成立
C．n＝2k＋2时等式成立
D．n＝2(k＋2)时等式成立
解析： ∵n为偶数故假设n＝k成立后，再证n＝k＋2
时等式成立． 答案： B
பைடு நூலகம்
[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
2．(2012·宜昌模拟)对于正数a1，a2，a3，…，an有下列不等式成立： (a1＋a2)(a11＋a12)≥4， (a1＋a2＋a3)(a11＋a12＋a13)≥9， 试写出n个正数时的不等式，并给出证明．
解：由题意可得有n个正数时的不等式为 (a1＋a2＋…＋an)(a11＋a12＋…＋a1n)≥n2. 下面用数学归纳法证明． (1)当n＝2时， (a1＋a2)(a11＋a12)≥2 a1a2· a21a2＝4， 当且仅当a1＝a2时等号成立， 即当n＝2时，不等式成立．
[精析考题] [例3] (2012·北京海淀模拟)数列{an}满足Sn＝2n－ an(n∈N+)． (1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
[自主解答] (1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1. 当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝23. 当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝47. 当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝185. 由此猜想an＝22nn－－11(n∈N+)．