高二数学教A版选修11课件第二章22第2课时双曲线的简单几何性

[尝试解答] (1)不妨取点 M 在第一象限，如图所示，设双曲线 方程为xa22－by22＝1(a>0，b>0)， 则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝ 60°， ∴M 点的坐标为2a， 3a. ∵M 点在双曲线上， ∴4aa22－3ba22＝1，a＝b，∴c＝ 2a，e＝ac＝ 2.故选 D.
则|AB|＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2 ＝ （x1－x2）2＋（x1－x2）2
＝ 2· （x1＋x2）2－4x1x－x＋1 代入双曲线xa22－y2＝1，
得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，
∴14－ a4＋a2≠ 8a20（，1－a2）>0，解得 0<a< 2且 a≠1. ∵双曲线的离心率 e＝ 1＋a a2＝ a12＋1，∴e> 26且 e≠ 2.
∴c2－2ac－a2＝0，∴ac2－2×ac－1＝0. 即 e2－2e－1＝0. ∴e＝1＋ 2或 e＝1－ 2(舍去)． ∴所求双曲线的离心率为 1＋ 2.
讲一讲 4．已知直线 l：x＋y＝1 与双曲线 C：xa22－y2＝1(a>0)．(链接
教材 P60－例 6)
(1)若 a＝12，求 l 与 C 相交所得的弦长； (2)若 l 与 C 有两个不同的交点，求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围． [尝试解答] (1)当 a＝12时，双曲线 C 的方程为 4x2－y2＝1， 联立x4＋x2－y＝y21＝，1，消去 y，得 3x2＋2x－2＝0. 设两交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝－23，x1x2＝－23，
[尝试解答] 把方程 9x2－16y2＋144＝0 化为标准方程为 y92－1x62 ＝1.
由此可知，半实轴长 a＝3，半虚轴长 b＝4，c＝ a2＋b2＝
9＋16＝5，焦点坐标为(0，－5)，(0，5)；离心率 e＝ac＝53； 渐近线方程为 y＝±bax＝±34x.双曲线的草图如图所示．
已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程 的先化成标准方程，确定方程中 a，b 的对应值，利用 c2＝a2＋b2 得到 c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写 出双曲线的几何性质．
则①式只有一个解．
当 1－k2＝0，即 k＝±1 时，①式只有一个解；
当 1－k2≠0 时，应满足 Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0，
解得
k＝±
25，故
k
的值为±1
或±
5 2.
答案：±1
或±
5 2
————————[课堂归纳·感悟提升]—————————
1．本节课的重点是双曲线几何性质的求法，难点是直线与双曲线 的位置关系．
(3)法一：∵e＝ac＝ 2，∴c＝ 2a，b2＝c2－a2＝a2. 又焦点在 x 轴上，故可设双曲线的标准方程为xa22－ay22＝
1(a>0)．把点(5,4)的坐标代入方程得2a52－1a62＝1，解得 a2＝9. 故所求双曲线的标准方程为x92－y92＝1.
法二：由离心率为 2知所求双曲线为等轴双曲线， 设双曲线的方程为 x2－y2＝k(k≠0)，把点(5,4)的坐标代入 方程得 k＝9， 故所求双曲线的标准方程为x92－y92＝1.
即离心率 e 的取值范围是 26， 2∪( 2，＋∞)．
(1)判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双
曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线
交点的个数，联立方程消去 x 或 y 中的一个后，得到的形
如二次方程的式子中，要注意 x2 项或 y2 项系数是否为零的
情况，否则容易漏解．
综上可知，所求双曲线的标准方程为x42－y2＝1.
(4)法一：由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)， 即 c＝3 且焦点在 x 轴上． 设双曲线的标准方程为xa22－by22＝1(a>0，b>0)．
因为 e＝ac＝32，所以 a＝2，则 b2＝c2－a2＝5， 故所求双曲线的标准方程为x42－y52＝1. 法二：因为椭圆焦点在 x 轴上， 所以可设双曲线的标准方程为25x－2 λ－λ－y216＝1(16<λ<25)．
过点(4，－2)，则它的离心率为( )
6
5
A. 6 B. 5 C. 2 D. 2
解析：选 D 由题意知，过点(4，－2)的渐近线的方程为 y＝－bax，∴－2＝－ba·4，∴a＝2b.则 e2＝ba22＋1＝14＋1＝54，故 e＝ 25.
4．已知 F1，F2 是双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ 是 经过 F1 且垂直于 x 轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求 双曲线的离心率． 解：设 F1(c，0)，将 x＝c 代入双曲线的方程得ac22－by22＝1， 则 y＝±ba2. 由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°， 知|PF1|＝|F1F2|， ∴ba2＝2c，∴b2＝2ac.
第 2 课时 双曲线的简单几何性质
[核心必知]
1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P49～P53 的内容，回答下列问题．
类
比
椭
圆
的
几何
性
质
，
结
合
图
象
，
你
能
得到双
曲
线
x2 a2
－
y2 b2
＝
1(a>0，b>0)的哪些几何性质？
提示：双曲线的范围、对称性、顶点坐标和离心率 ．
2．归纳总结，核心必记 (1)双曲线的简单几何性质
(2)如图所示， 不妨设与渐近线平行的直线 l 的斜率为ba， 又直线 l 过右焦点 F(c，0)，则直 线 l 的方程为 y＝ba(x－c)．因为点 P 的横坐标为 2a，代入双曲 线方程得4aa22－by22＝1，化简得 y＝－ 3b 或 y＝ 3b(点 P 在 x 轴 下方，故舍去)，故点 P 的坐标为(2a，－ 3b)，代入直线方程 得－ 3b＝ba(2a－c)，化简可得离心率 e＝ac＝2＋ 3. [答案](1)D (2)2＋ 3
(2)直线 y＝kx＋b 与双曲线相交所得的弦长 d＝ 1＋k2·|x1－
x2|＝
1＋k12|y1－y2|.
练一练 5．若直线 y＝kx－1 与双曲线 x2－y2＝4 只有一个公共点，则 k
的值等于________． 解析：由yx＝2－kyx2－＝14，，得(1－k2)x2＋2kx－5＝0.① 直线与双曲线只有一个公共点，
．
(4)等轴双曲线的离心率为何值？ 提示：e＝ac＝ a2＋a2b2＝ 2，即等轴双曲线的离心率为 2 ．
[课前反思]
(1)双曲线的几何性质有哪些？
；
(2)等轴双曲线的定义：
．
讲一讲 1．求双曲线 9x2－16y2＋144＝0 的半实轴长、半虚轴长、焦点
坐标、离心率、渐近线方程，并画出这个双曲线的草图．
标准方程 xa22－by22＝1(a>0，b>0) ay22－xb22＝1(a>0，b>0)
图形
焦点
(±c，0)
(0，±c)
焦距
2c
2c
范围 x≥a 或 x≤－a，y∈R y≥a 或 y≤－a，x∈R
对称性 对称轴： x 轴和 y 轴 ，中心： (0，0)
性 顶点 质 轴长
离心率
(±a，0)
(0，±a)
[尝试解答] (1)设所求双曲线的标准方程为xa22－by22＝1(a>0， b>0)，则 2b＝8，e＝ac＝53，从而 b＝4，c＝53a，代入 c2＝a2＋b2， 得 a2＝9，故双曲线的标准方程为x92－1y62 ＝1.
(2)由两顶点间的距离是 6 得 2a＝6，即 a＝3. 由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得 2c＝4a＝12，即 c＝6，于是有 b2＝c2－a2＝62－32＝27. 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为 x92－2y72 ＝1 或y92－2x72＝1.
实轴长＝ 2a ，虚轴长＝ 2b
e＝ac∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±bax
y＝±abx
(2)等轴双曲线
实轴 和 虚轴 等 长 的 双 曲 线 叫 做 等 轴 双 曲 线 ， 它 的 渐 近 线
是 y＝±x .
[问题思考]
(1)如何用 a，b 表示双曲线的离心率？ 提示： e＝ac＝ a2＋a2 b2＝ 1＋ba22 ．
因此所求双曲线的标准方程为3y22 －x82＝1. 9
(2)设所求双曲线方程为y42－x32＝λ(λ≠0)．由点 M(3，－2)在双曲 线上得44－93＝λ，得 λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为x62－y82＝1.
(3)当所求双曲线的焦点在 x 轴上时，可设其方程为6x42 －1y62 ＝
λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得 λ＝116，故所求双曲线的标准方 程为x42－y2＝1；当所求双曲线的焦点在 y 轴上时，可设其方程为6y42 － 1x62＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得 λ＝－14<0(舍去)．
(2)椭圆的离心率反映了椭圆的扁圆程度．那么，双曲线的
离心率与开口大小有关系吗？怎样反映这种关系？ 提示： e＝ac＝ 1＋ab22，当 e 越大时，双曲线开口越
大；当 e 越小，接近于 1 时，双曲线开口越小
．
(3)双曲线xa22－by22＝1 与by22－xa22＝1 的渐近线有什么关系？
提示： 双曲线xa22－by22＝1 与by22－xa22＝1 的渐近线相同
因为 e＝32，所以λ2－5－16λ＝94－1，解得 λ＝21.
故所求双曲线的标准方程为x42－y52＝1.
讲一讲 3．(1)已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，△ABM 为
等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为 ( )
A. 5
B．2
C. 3
D. 2
(2)过双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其 渐近线平行的直线，交 C 于点 P.若点 P 的横坐标为 2a，则 C 的离心率为________．
(1)根据双曲线几何性质求标准方程时，常用方法是先定型(焦 点在哪个轴上)，再定量(确定 a2，b2 的值)．要特别注意 a2 ＋b2＝c2 的应用，并注意不要与椭圆中的关系相混淆．
(2)如果已知双曲线的方程为标准形式，但不知焦点所处的位 置，也可把双曲线方程设为 mx2－ny2＝1(m，n 同号)，然 后由条件求 m，n.
离心率为 e＝ac＝ 213，渐近线方程为 y＝±bax，即 y＝±32x. 双曲线的草图如图所示.
讲一讲
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在 x 轴上，虚轴长为 8，离心率为53； (2)两顶点间的距离是 6，两焦点的连线被两顶点和中心四 等分；
(3)焦点在 x 轴上，离心率为 2，且过点(5,4)．
(3)与双曲线xa22－by22＝1 具有共同渐近线的双曲线的标准方程可 设为xa22－by22＝λ(λ≠0)，然后再结合其他条件求出 λ 的值即 可得到双曲线方程．
练一练 2．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)以直线 2x±3y＝0 为渐近线，且过点(1,2)； (2)与双曲线y42－x32＝1 具有相同的渐近线，且过点 M(3，－2)； (3)过点(2,0)，与双曲线6y42 －1x62＝1 离心率相等； (4)与椭圆2x52＋1y62 ＝1 有公共焦点，离心率为32.
练一练 1．求双曲线 4y2－9x2＝－4 的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、
离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图． 解：将双曲线方程化成标准方程x42－y12＝1，
9
可知半实轴长 a＝ 49＝23，半虚轴长 b＝ 1＝1. 于是有 c＝ a2＋b2＝ 49＋1＝ 313， 所以焦点坐标为± 313，0，
2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)由双曲线的标准方程研究几何性质，见讲 1； (2)由双曲线的几何性质求标准方程，见讲 2； (3)双曲线离心率的求法，见讲 3.
解：(1)法一：由题意可设所求双曲线方程为 4x2－9y2 ＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得 λ＝－32.
因此所求双曲线的标准方程为3y22 －x82＝1. 9
法二：由题意可设所求双曲线方程为xm2－yn2＝1(mn>0)．
由题意，得mmn1 －＝n494，＝1，
m＝－8， 解得n＝－392.
求双曲线离心率的常用方法 (1)依据条件求出 a，c.计算 e＝ac； (2)依据条件建立 a，b，c 的关系式，一种方法是消去 b 转化
成离心率 e 的方程求解，另一种方法是消去 c 转化成含ba的 方程，求出ba后利用 e＝ 1＋ab22求解．
3．中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经