第十章基础资产价格的变动_随机微分方程

Et [St ] h
方差
Var[St ] 2h
适用条件
首页
（1）资产价格比较稳定； （2）价格变化趋势是线性的； （3）波动项不是无限大； （4）资产价格不存在一种规律的“跳跃 性”。 常系数的随机微分方程描述的是资产价格围绕线性 趋势进行的一种波动。
二、几何随机微分方程 布莱克和休斯模型
形式为： dSt Stdt StdWt
E[
t 0
eWs
dWs
]
0
首页
故 若记 则有
所以
故得 从而
E[zt ] 1
t 0
1 2
2
E[
zs
]ds
E[zt ] xt
xt
1
t 0
1 2
2
xsds
dxt dt
1 2
2
xt
且 x0 1
1 2t
xt e 2
即
1 2t
E[zt ] e 2
Et[ST ]
(r 1 2 )T
S0e 2 Et [zT
微分方程或相应的积分方程。
五、资产现值的应用
假设 St 是某资产的价格，其价值的增加带有不确
定性，即
dSt rStdt StdWt
t [0, )
则此随机微分方程强解的备选答案是
首页
S S e(
r
1
2
2
)
t
Wt
t
0
s 现在假设 是将来T t 时刻的资产价格， T
s 对于时刻ｔ来说， 是未知的，但可以预测的 T
t
，强解
S
t
~s 计但另算需外弱考的解虑信与息过 集t 时程H不td，W需~t要且的考它相虑是关生H联成t的。信鞅又息。过集程Idt 的W~过t可程生，成
首页 因此，弱解
需要满足
dS~t a(SΒιβλιοθήκη t ,t)dt (S~t ,t)dW~t
三、解的选择
~s 强解和弱解具有相同的主项和扩展项，因此 St 和 t
Var ( S k
Sk 1)
S2 2 k 1
即大方了差相与对S于t 2S成t 正的比变的动。。在实际情况中，这会增
三、平方根过程
形式为： dSt Stdt St dWt
首页
S t 遵循指数变动趋势，但标准差则是 S t 的平
方根的函数。
方差
Var(Sk Sk1) 2Sk1
误差项的方差与 St 是成比例的。因此，若St 随的增大，
首先，令
zt eWt
其次，用伊藤定理
dzt eWt dWt
1
2
e2 Wt dt
再次，考虑相应的积分方程
zt
z0
t 0
eWs dWs
t 1 e2 Ws ds
02
最后，两边求均值
E[zt ] E[z0 ] E[
t 0
eWs
dWs
]
E[
t 1 e2 Ws ds]
02
而 E[z0 ] 1
说明2
dSt a(St ,t)dt (St ,t)dWt
其中的扩展项包含外生变量 dWt ，它表示影响价
格进行完全不可预测变动的极其微小的事件。这一
系列小事件形成的“历史”就是ｔ时刻的信息 It
集。
计算强解是在给定dWt 时，求满足方程的值 St ，
也就是说为得到强解，需要知道集合I 与 It 是相互对应的。
首页
原因
参与者知道 dSt 将如何变化，他就能完全
预测这一变量，即对任一时刻而言都有
dWt 0
因此这类参与者的随机微分方程可写作
dSt a(St ,t)dt
而其他参与者的随机微分方程则是不变。
表明
随机微分方程的具体形式以及误差项 dWt
的定义都要依赖于信息集 { It ，t [0,T ] }
即维纳过程 dWt 与信息集 It 相对应。
虽含有一个随机项，但 dWt的系数是一个不随时
间而改变的常数。
故
t 0
1 Su
dSu
t
Wt
即随机微分方程的任何解都必须满足这一积分方程
下面用伊藤定理来解决这一方程。 考察备选项：
首页
S S e(
a
1
2
2
)
t
Wt
t
0
用伊藤定理来计算随机微分 dSt
dSt
(
S0e
a
1 2
2
)t
Wt
[(
a
1 2)dt
资产价格的变动率不是迅速增加，运用此模型更为合适。
四、均值调整过程
形式为： dSt ( St )dt StdWt
首页
dSt ( St )dt St dWt
若倾向S于t 比为均正值数，小故，S则t 最 终 回St复到0均，值这就使。得dSt
说明
均值调整过程有一变动主趋势，但此趋势的偏差不
2
dWt
1
2
2dt]
即
dSt St (adt dWt )
若 a 则这正是给定的随机微分方程。
因此，求得随机微分方程的强解为：
S S e(
1 2
2
)
t
Wt
t
0
首页
注 要求随机微分方程的强解，应考虑备选解法，即找
出依赖于参数的函数，如 St f (a, , t, S0 ,Wt )
然后运用伊藤定理来检验这一备选项是否满足随机
2 )T
Et [eWT
]
求 Et [eWT ]的方法：（两种）
（1） 利用维纳过程的密度函数直接求。（很难）
Et [eWT ]
e WT
f
(WT
| Wt )dWT
其中 f (WT | Wt ) 表示维纳过程的条件密度函数
w 且条件均值为 ，方差为T t t
首页
（2） 利用伊藤定理间接来求。（简单）
第十章基础资产价 格的变动_随机微分
方程
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第一节 引 言
随机微分方程
dSt a(St ,t)dt (St ,t)dWt
即将随机价格的变动分解为可预测和不可预 测两部分，且分解过程用到在时刻t的信息集。
对于不同的市场参与者来说他拥有不同的信 息集，那么随机微分方程的含义不同。
如：假如一个市场参与者拥有“內幕信息”， 可事先获知影响价格变动的所有随机事件，则 在这种（非现实）情况下上式中的扩展项等于 零。
即主参数和扩展参数都依赖于时刻t 所掌握的信
息，且趋势变动和标准变动与 St 是成正比的。
变形
dSt St
dt dWt
首页
即说明主项与扩展项对于St 的相对变动仍是一个
不变的常数。
几何模型描述的是资产价格价格在一种指数趋势上 的随机波动。对大多数资产价格来说，这种指数趋 势似乎更符合实际。
方差
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四、随机微分方程解的证明 看一个特殊的随机微分方程：
dSt Stdt StdWt
即在对看涨期权定价之中运用的布莱克—— 休斯模型。
变形 首先计算 由于
1 St
dSt
dt
dWt
首页
t 0
1 Su
dSu
t
du
0
t
0 dWu
t
0 du t
普通积分
而
t
0 dWu (Wt W0 ) 因 W0 0
说明1
dWt与 dW~t 的区别
相同点 都是均值为0，方差等于 dt的维纳过程； 首页
密度函数的表达式相同。
从这个意义上来讲，这两个随机误差项之 间不存在什么区别。
不同点 限定二者的一系列信息集不同。
虽然基本的密度函数是相同的，但如果被不同的 信息集来衡量，那实际上这两个随机过程代表了现实 生活中根本不同的两种现象。
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随机微分方程 模型一般条件
t
P(
|
0
a(Su ,u)
|
du
)
1
P(
t
0
(Su ,u)2 du
)
1
即随着时间地推移，主参数和扩展参数不会发 生太大幅度地变动。
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第二节 随机微分方程的求解
随机微分方程所含未知数是一个随机过程 St ，
因而求其解就是要找寻一个随机过程，使其 运动轨迹及发生概率都与其它需准确测量的 轨迹相关联。
一、解的含义
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首先
观察在很短的且不连续的时间间隔上的有限差
Sk Sk1 a(Sk1, k)h (Sk1, k)Wk
k 1,2n
若此方程的解是一个随机过程 St ，则意味着
1、如何找到一系列用ｋ来标识的随机变量，以
满足上式中的增量 Sk
2、能否知道满足方程的随机过程S
和分布函数。
t
的时态函数
且最有效的预测值是条件期望：
Et [ST ] E[ST | It ]
s 则资产的现价 t 为：
St er(T t) Et [ST ]
即现值等于时刻Ｔ的预期价值用折现率ｒ来进
行折现。
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要证明结论成立，需先计算 Et [ST ]
由于
S S e(
r
1 2
2
)T
WT
T
0
故
Et [ST
]
(r1
S0e 2
3、对任一给定的 a()和 () ，能否找到一系列
的随机数对于所有的ｋ而言都满足上面的等式。
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其次 再寻求当时间间隔h趋于0时的方程的解
如果连续的时间过程 St ，对于所有的t 0
满足下列方程
t
t
t
0 dSu 0 a(Su ,u)du 0 (Su ,u)dWu
则定义 St 是随机微分方程 的解。
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dSt a(St ,t)dt (St ,t)dWt
二、解的类型 1．强解
dSt a(St ,t)dt (St ,t)dWt
已知主参数 a() ，扩展参数 () 以及随机
变动项 dWt
则随机过程 St ：
t
t
St S0 0 a(Su , u)du 0 (Su , u)dWu
随机微分方程可用于对衍 生金融资产定价的原因
对于标的资产的价格是如何随时间而发生变动， 此方程不但给出一个规范的模型，而且其推导 过程与金融市场中的交易者行为是一致的。
实际上：在一个给定的交易日中，随着时间的 推移，交易者总是不断地预测资产的价格并随 时记录新事件的发生。这些事件中总会包含一 些不可预测的部分，但过后这些不可预测部分 也会被观测，此时这些事件均已成为已知事件， 并变为交易者拥有的新信息集的一部分。
的价格 St 下波动也是随机的。
如 设资产价格 St 的随机微分方程：
dSt dt t dW1t
t 的变动遵循随机微分方程：
d t ( t )dt t dW2t
其中维纳过程 dW1t ，dW2t 是相关的
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资产波动率的长期均值为 ，但在任一时刻t，实际
的波动率可能会偏离这一长期均值，调整系数为
| It ]
S e [e e ] (r1 2 )T 2 0
Wt
1 2 (T t )
2
Ster(T t)
即 所以
Et [ST ] Ster(T t) St er(T t) Et [ST ]
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特别 S0 erT E0[ST ]
即当时间t = 0时，资产价格等于预期将来的价格用 折现率r来进行折现。
是完全随机的。过程 S可t 与长期趋势发生较小的偏离，
但最终会回复到正常趋势，这种偏离的平均度是由
参数 来控0制的，但参数变小时，偏离的时间会
变长。这时资产的价格会显示出一些可预见的周期 性，使得模型与市场的有效性假设相违背。
五、奥伦斯坦——乌伦贝克过程
形式为：
dSt Stdt dWt
其中主项与 St 负相关，系数为 ；扩展项属于常参
具有相似的统计特性。给定均值和方差，两解虽然 有所不同，但我们并不能把二者区别开来。
若误差项 dWt已知，则金融分析家会选择强解。
但是在运用解随机微分方程的办法来对衍生金融产
品进行定价时，并不能准确获悉过程Wt 的实际情况，
我们能够运用的只有其波动率和波动趋势，因而， 在这种情况下给衍生产品定价，应运用弱解。
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第三节 随机微分方程的主要形式
本节介绍几种特殊的随机微分方程，并说明它们 是代表何种资产的价格以及是如何运用的。
一、常系数线性随机微分方程
形式为： dSt dt dWt
其中Wt 是变量t的标准维纳过程
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随机微分方程中，主系数及扩展系数不随时间的 变动而变化，即与信息集是不相关的。
在短暂的时间间隔h中，价格变动的均值
数类型。属于均值调整随机微分方程的一个特例。
说明 这个模型表示资产价格在0附近波动，并且其偏离最
终会回到长期的0均值状态，参数 控制这种偏离的 时间， 越大，St 回复均值的速度越快。
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六、随机波动率
随机微分方程的主参数和扩展参数可通过随机性获 得，这对于衍生金融产品而言，更具有应用价值。 因为波动率不仅随时间的变动而变动，而且在给定
称为随机微分方程 的强解。
注 强解与一般微分方程的解是相似的
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2．弱解
已知主参数 a() ，扩展参数 ()
~s 求得过程 t
S~t f (t,W~t )
其中W~t 是一维纳过程.
使其满足下面随机微分方程
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t
t
t
0 dSu 0 a(Su ,u)du 0 (Su ,u)dWu
~s 则称 是随机微分方程的弱解。 t
增量 dW2t 对变动率有不可预测的冲击，它与对 资产价格 St 的冲击是不相关的。
0 也是一个参数
则市场参与者可以根据这些因素，更好地计算预期 的资产价格及预期的价格波动率。
运用这种渐进的随机微分方程，我们可获得愈来愈 复杂的模型以反映现实生活中的金融现象。
]
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(r 1 2 )T
1 2T
S0e 2 E[e 2 | It ]
(r 1 2 )T
1 2t 1 2 (T t )
S0e 2 E[e 2 e 2
| It ]
(r 1 2 )T 1 2t
1 2 (T t )
S0e 2 e 2 E[e 2
| It ]
(r 1 2 )T
1 2 (T t )
S0e 2 E[zt ]E[e 2