八年级上册数学 轴对称填空选择检测题(WORD版含答案)

八年级上册数学轴对称填空选择检测题（WORD版含答案）
一、八年级数学全等三角形填空题（难）
1．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点O是AC的中点，点D在射线BO上，连结OE，EC，则∠ACE＝_____°；若AB＝1，则OE的最小值＝_____．
【答案】301 4
【解析】【分析】
根据等边三角形的性质可得OC＝1
2
AC，∠ABD＝30°，根据"SAS"可证△ABD≌△ACE，可
得∠ACE＝30°＝∠ABD，当OE⊥EC时，OE的长度最小，根据直角三角形的性质可求OE 的最小值.
【详解】
解：∵△ABC的等边三角形，点O是AC的中点，
∴OC＝1
2
AC，∠ABD＝30°
∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠ACE＝30°＝∠ABD
当OE⊥EC时，OE的长度最小，
∵∠OEC＝90°，∠ACE＝30°
∴OE最小值＝1
2
OC＝
1
4
AB＝
1
4
故答案为：30，1 4
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.
2．已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，
动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．
【答案】1或7
【解析】
【分析】
分点P在线段BC上和点P在线段AD上两种情况解答即可．
【详解】
设点P的运动时间为t秒，则BP=2t，
当点P在线段BC上时，
∵四边形ABCD为长方形，
∴AB=CD，∠B=∠DCE=90°，
此时有△ABP≌△DCE，
∴BP=CE，即2t=2，解得t=1；
当点P在线段AD上时，
∵AB=4，AD=6，
∴BC=6，CD=4，
∴AP=BC+CD+DA=6+4+6=16，
∴AP=16-2t，
此时有△ABP≌△CDE，
∴AP=CE，即16-2t=2，解得t=7；
综上可知当t为1秒或7秒时，△ABP和△CDE全等．
故答案为1或7．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，判定三角形全等方法有：ASA、SAS、AAS、SSS、HL．解决本题时注意分情况讨论，不要漏解.
3．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD，CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②AP＝BM；③∠APM＝60°；④△CMN是等边三角形；⑤连接CP，则CP平分∠BPD，其中，正确的是_____．（填写序号）
【答案】①③④⑤．
【解析】
【分析】
①根据△ACD ≌△BCE (SAS )即可证明AD ＝BE ；②根据△ACN ≌△BCM (ASA )即可证明AN ＝BM ，从而判断AP ≠BM ；③根据∠CBE +∠CDA ＝60°即可求出∠APM =60°；④根据
△ACN ≌△BCM 及∠MCN ＝60°可知△CMN 为等边三角形；⑤根据角平分线的性质可知.
【详解】
①∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形
∴CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝60°，∠DCE ＝60°
∴∠ACE ＝60°
∴∠ACD ＝∠BCE ＝120°
在△ACD 和△BCE 中
CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ACD ≌△BCE (SAS )
∴AD ＝BE ；
②∵△ACD ≌△BCE
∴∠CAD ＝∠CBE
在△ACN 和△BCM 中
ACN BCM CA CB
CAN CBM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ACN ≌△BCM (ASA )
∴AN ＝BM ；
③∵∠CAD +∠CDA ＝60°
而∠CAD ＝∠CBE
∴∠CBE +∠CDA ＝60°
∴∠BPD ＝120°
∴∠APM ＝60°；
④∵△ACN ≌△BCM
∴CN ＝BM
而∠MCN＝60°
∴△CMN为等边三角形；
⑤过C点作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图
∵△ACD≌△BCE
∴CQ＝CH
∴CP平分∠BPD.
故答案为：①③④⑤．
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的判定和性质的灵活运用，角的计算及角平分线的判定，熟练掌握三角形全等的证明方法，角平分线的判定及相关辅助线的作法是解决本题的关键.
4．在ABC中给定下面几组条件：
①BC=4cm，AC=5cm，∠ACB=30°；
②BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°；
③BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=90°；
④BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=120°．
若根据每组条件画图，则ABC能够唯一确定的是___________（填序号）.
【答案】①③④
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【详解】
解：①符合全等三角形的判定定理SAS，即能画出唯一三角形，正确；
②根据BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°不能画出唯一三角形，如图所示△ABC和
△BCD，
错误；
③符合全等三角形的判定定理HL，即能画出唯一三角形，正确；
④∵∠ABC为钝角，结合②可知，只能画出唯一三角形，正确.
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定方法；解答此题的关键是要掌握三角形全等判定的几种方法即可，结合已知逐个验证，要找准对应关系．
5．如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=1，则AB与CD 之间的距离等于____．
【答案】2
【解析】
过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，∵O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，
OE⊥AC，∴OE=OF，OE=OG，∴OE=OF=OG=1，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠EOF+∠EOG=（180°﹣∠BAC）+（180°﹣∠ACD）=180°，∴E、O、G三点共线，∴AB与CD之间的距离=OF+OG=1+1=2．故答案为：2．
点睛：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，平行线的性质，熟记性质是解题的关键，难点在于作出辅助线并证明E、O、G三点共线．
6．已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=10,AC=4,则AD的取值范围是_____.【答案】3＜AD＜7
【解析】
【分析】
连接AD并延长到点E，使DE=DA，连接BE，利用SAS证得△BDE≌△CDA，进而得到BE=CA=4，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求得AE的取值范围，进而求出AD的取值范围.
【详解】
如图，连接AD 并延长到点E ，使DE=DA ，连接BE ，
∵在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线
∴BD=CD
在△BDE 和△CDA 中
BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BDE ≌△CDA （SAS ）
∴BE=CA=4
在△ABE 中，AB+BE>AE ，且AB ﹣BE ＜AE
∵AB=10,AC=4,
∴6＜AE ＜14
∴3＜AD ＜7
故答案为3＜AD ＜7
【点睛】
本题考点涉及三角形全等的判定及性质、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
7．AD ，BE 是△ABC 的高，这两条高所在的直线相交于点O ，若BO=AC ，BC=a ，CD=b ，则AD 的长为______.
【答案】AD 的长为a-b 或b-a 或a+b 或
12
a 或b. 【解析】
【分析】
分别讨论△ABC 为锐角三角形时、∠A 、∠B 、∠C 分别为钝角时和∠A 为直角时五种情况，利用AAS 证明△BOD ≌△ACD ，可得BD=AD ，根据线段的和差关系即可得答案.
【详解】
①如图，当△ABC 为锐角三角形时，
∵AD 、BE 为△ABC 的两条高，
∴∠CAD+∠AOE=90°，∠CBE+∠BOD=90°，
∵∠BOD=∠AOE，
∴∠CAD=∠OBD，
又∵∠ODB=∠ADC=90°，OB=AC，
∴△BOD≌△ACD，
∴AD=BD，
∵BC=a，CD=b，
∴AD=BD=BC-CD=a-b.
②如图，当∠B为钝角时，
∵∠C+∠CAD=90°，∠O+∠CAD=90°，∴∠C=∠O，
又∵∠ADC=∠ODB=90°，OB=AC，
∴△BOD≌△ACD，
∴BD=AD，
∴AD=CD-BC=b-a.
③如图，当∠A为钝角时，
同理可证：△BOD≌△ACD，
∴AD=BC-CD=a-b.
④如图，当∠C为钝角时，
同理可证：△BOD≌△ACD，
∴AD=BD=BC+CD=a+b.
⑤当∠B为直角时，点O、D、B重合，OB=0，不符合题意，当∠C为直角时，点O、C、D、E重合，CD=0，不符合题意，如图，当∠A为直角时，点A、E、O重合，
∵OB=AC，∠CAB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AD⊥BC，
∴AD是Rt△ABC斜边中线，
∴AD=AD=1
2
BC=
1
2
a=b.
综上所述：AD的长为a-b或b-a或a+b或1
2
a或b.
故答案为：a-b或b-a或a+b或1
2
a或b
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：SSS、AAS、ASA、SAS、HL等，注意：SAS时，角必须是两边的夹角，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.灵活运用分类讨论的思想是解题关键.
8．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，2，点D，E均在边BC上，且
∠DAE=45°，若BD=1，则DE=__________．
【答案】
5
3
【解析】
分析：根据等腰直角三角形的性质得45
B ACB
∠=∠=，把△ABD绕点A逆时针旋转90
得到△ACF,连接,
EF如图，根据旋转的性质得
,,
AD AF BAD CAF
=∠=∠45,
ABD ACF
∠=∠=接着证明45,
EAF
∠=然后根据“SAS”可判断△ADE≌△AFE，得到DE=FE，由于90
ECF ACB ACF
∠=∠+∠=，根据勾股定理得222
CE CF EF
+=，设,
DE EF x
==则3
CE x
=-，则()222
31,
x x
-+=由此即可解决问题．
详解：90
BAC AB AC
∠==
，，
∴45
B ACB
∠=∠=，
把△ABD绕点A逆时针旋转90得到△ACF,连接,
EF如图,则
△ABD≌△ACF,
,,45,
AD AF BAD CAF ABD ACF
=∠=∠∠=∠=
∵45
DAE
∠=，
∴45
BAD CAE
∠+∠=，
∴45,
CAF CAE
∠+∠=
即45,
EAF
∠=
∴∠EAD=∠EAF，
在△ADE和△AFE中
AE AE
EAD EAF
AD AF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩，
∴△ADE≌△AFE，
∴DE=FE，
∵90
ECF ACB ACF
∠=∠+∠=，
∴222
CE CF EF
+=，
Rt △ABC 中，∵22AB AC ==，
∴224BC AB AC =+=，
∵1BD =，
设,DE EF x == 则3CE x =-，
则有()22231,x x -+=
解得：5.3x =
∴5.3
DE = 故答案为5
.3
点睛：本题属于全等三角形的综合题，涉及三角形旋转，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，综合性较强，难度较大.
9．如图,已知BD ，CD 分别是 ∠ABC 和∠ACE 的平分线，连接AD ，∠DAC=46°, ∠BDC _________
【答案】44°
【解析】
如图，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F ，过点D 作DH ⊥AC 于点H ，过点D 作DG ⊥BA ，交BC 的延长线于点G ，
∵BD ，CD 分别是 ∠ABC 和∠ACE 的平分线，
∴DF=DG=DH ，
∵DH ⊥AC ，DF ⊥BA ，
∴AD 平分∠CAF ，
∴∠DAC=∠FAD=46°,
∴∠BAC=180°-46°-46°=88°；
∵BD，CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，
∴∠DCE=1
2
ACE
∠，∠DBC=
1
2
ABC
∠，
∵∠DCE=∠BDC+∠DBC，∠ACE=
∴∠BDC+∠DBC=1
2
（∠BAC+∠ABC），
∴∠BDC=1
2
∠BAC=00
1
8844
2
⨯= .
10．如图，△ABC与△DEF为等边三角形，其边长分别为a，b，则△AEF的周长为___________．
【答案】a+b
【解析】
先根据全等三角形的判定AAS判定△AEF≌△BFD，得出AE=BF，从而得出△AEF的周长=AF+AE+EF=AF+BF+EF=a+b．
故答案为：a+b
二、八年级数学全等三角形选择题（难）
11．如图，点P是AB上任意一点，∠ABC=∠ABD，还应补充一个条件，才能推出
△APC≌△APD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是( )
A．BC=BD；B．AC=AD；C．∠ACB=∠ADB；D．∠CAB=∠DAB 【答案】B
【解析】
根据题意，∠ABC=∠ABD，AB是公共边，结合选项，逐个验证得出：
A、补充BC=BD，先证出△BPC≌△BPD，后能推出△APC≌△APD，故正确；
B、补充AC=AD，不能推出△APC≌△APD，故错误；
C、补充∠ACB=∠ADB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故正确；
D、补充∠CAB=∠DAB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故正确．
故选B．
点睛：本题考查了三角形全等判定，三角形全等的判定定理：有AAS，SSS，ASA，SAS．注意SSA是不能证明三角形全等的，做题时要逐个验证，排除错误的选项．
12．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( )
A．两条直角边对应相等B．有两条边对应相等
C．斜边和一锐角对应相等D．一条直角边和斜边对应相等
【答案】B
【解析】
根据全等三角形的判定SAS，可知两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，故A不正确；
根据一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理HL，能判定全等；若两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理SAS，也能判全等，但是有两边对应相等，没说明是什么边对应，故不能判定，故B正确．
根据全等三角形的判定AAS，可知斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等，故C不正确；
根据直角三角形的判定HL，可知一条直角边和斜边对应相等两直角三角形全等，故D不正确.
故选B.
点睛：此题主要考查了直角三角形全等的判定，解题时利用三角形全等的判定SSS，SAS，ASA，AAS，HL，直接判断即可.
13．在△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，ED⊥AB,∠DAE=∠CAE，则∠CAB＝（）
A．30°B．60°C．80 °D．50°
【答案】B
【解析】
试题解析：∵D为AB的中点，ED⊥AB，
∴DE为线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠DAE=∠DBE，
∴∠DAE=∠DBE=∠CAE，
在Rt△ABC中，
∵∠CAB+∠DBE=90°，
∴∠CAE+∠DAE+∠DBE=90°，
∴3∠DBE=90°，
∴∠DBE=30°，
∴∠CAB=90°-∠DBE=90°-30°=60°．
故选B．
14．如图，已知，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，
BE=BA．下面结论：①△ABD≌△EBC；②AC=2CD；③AD=AE=EC；
④∠BCE+∠BCD=180°．其中正确的是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】C
【解析】
已知BD为△ABC的角平分线，根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，在△AB D和△EB C 中，BD＝BC，∠ABD＝∠CBD，BE＝BA，由SAS可判定△ABD≌△EBC，即可得①正确；根据已知条件，无法证明AC=2CD，②错误；已知BD为△ABC的角平分线，
BD=BC，BE=BA，可得∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，再由
∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，可得
∠DCE=∠DAE，所以AE=EC；再由△ABD≌△EBC，可得AD=EC，所以AD=AE=EC，即③正确；由△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA，所以∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，④正确.故选C.
点睛：本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的的性质、三角形外角的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．
15．如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥AB，AD=3，BC=5，则△BCD的面积为（）
A．7.5 B．8 C．10D．15
【答案】A
【解析】
作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质，由BD是∠ABC的角平分线，AD⊥AB，DE⊥BC，求出
DE=DA=3，根据三角形面积公式计算S△BCD=1
2
×BC×DE=7.5，
故选：A ．
16．如图，点P 、Q 分别是边长为6cm 的等边ABC △边AB 、BC 上的动点，点P 从顶点 A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s ，下面四个结论：
①BQ AM =②ABQ △≌CAP △③CMQ ∠的度数不变，始终等于60︒④当第 2秒或第4秒时，
PBQ △为直角三角形，正确的有（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】 ∵点P 、Q 速度相同，
∴AP BQ =．
在ACP △和ABQ △中，
60AP BQ CAP ABQ AC BA =⎧⎪∠==︒⎨⎪=⎩
， ∴ACP △≌BAQ △，故②正确．
则AQC CPB ∠=∠．
即B BAQ BAQ AMP ∠+∠=∠+∠．
∴60AMP B ∠=∠=︒．
则60CMQ AMP ∠=∠=︒，故③正确．
∵APM ∠不一定等于60︒．
∴AP AM ≠．
∴BQ AM ≠．故①错误．
设时间为t ，则AP=BQ=t ，PB=4-t
①当∠PQB =90°时，
∵∠B =60°，
∴PB =2BQ ，得6-t =2t ，t =2 ；
②当∠BPQ =90°时，
∵∠B =60°，
∴BQ =2BP ，得t =2（6-t ），t =4；
∴当第2秒或第4秒时，△PBQ 为直角三角形．
∴④正确.
故选C.
点睛：本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，综合性强，难度较大．
17．如图，在▱ABCD 中，AD =2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论中①∠DCF =123,1x x ==-∠BCD ；②EF =CF ；
③S △BEC =2S △CEF ；④∠DFE =3∠AEF ．一定成立的是（ ）
A ．①②
B ．①③④
C ．①②③
D ．①②④
【答案】D
【解析】
①∵F 是AD 的中点，
∴AF=FD ， ∵在?ABCD 中，AD=2AB ，
∴AF=FD=CD ，
∴∠DFC=∠DCF ，
∵AD ∥BC ，
∴∠DFC=∠FCB ，
∴∠DCF=∠BCF ，
∴∠DCF=12∠BCD ，故此选项正确；
延长EF ，交CD 延长线于M ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
∠A＝∠FDMAF＝DF∠AFE＝∠DFM，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x，
∴∠EFC=180°-2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，
∵∠AEF=90°-x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
故正确的有：①②④．
故选D.
18．在△ABC与△DEF中，下列各组条件，不能判定这两个三角形全等的是（）A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AC＝DE，∠B＝∠E，∠A＝∠F
C．AC＝DF，BC＝DE，∠C＝∠D D．AB＝EF，∠A＝∠E，∠B＝∠F
【答案】B
【解析】利用全等三角形的判定定理，分析可得：
A、AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F可利用AAS证明△ABC与△DEF全等；
B、∠A=∠F，∠B=∠E，AC=DE，对应边不对应，不能证明△ABC与△DEF全等；
C、AC=DF，BC=DE，∠C=∠D可利用ASA证明△ABC与△DEF全等；
D、AB=EF，∠A=∠E∠B=∠F可利用SAS证明△ABC与△DEF全等；
故选：D．
点睛：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，
必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
19．如图，A ABC CB =∠∠，AD 、BD 、CD 分别平分ABC 的EAC ∠、ABC ∠、ACF ∠，以下结论：①AD BC ∥；②2ACB ADB ∠=∠；③90ADC ABD ∠=︒-∠；④BD 分ADC ∠；⑤3BDC BAC ∠=∠。

其中误的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B
【解析】
【分析】 根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC ，∠EAC=2∠EAD ，∠ACF=2∠DCF ，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形外角性质得出
∠ACF=∠ABC+∠BAC ，∠EAC=∠ABC+∠ACB ，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【详解】
解：∵AD 平分∠EAC ，
∴∠EAC=2∠EAD ，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB ，∠ABC=∠ACB ，
∴∠EAD=∠ABC ，
∴AD ∥BC ，∴①正确；
∵AD ∥BC ，
∴∠ADB=∠DBC ，
∵BD 平分∠ABC ，∠ABC=∠ACB ，
∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC ，
∴∠ACB=2∠ADB ，∴②正确；
在△ADC 中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD 平分△ABC 的外角∠ACF ，
∴∠ACD=∠DCF ，
∵AD ∥BC ，
∴∠ADC=∠DCF ，∠ADB=∠DBC ，∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC ，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD ，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°
∴∠ADC=90°-∠ABD，∴③正确；∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ADB=∠DBC，
1
90
2
ADC ABC ∠=︒-∠，
∴∠ADB不等于∠CDB，∴④错误；
∵∠ACF=2∠DCF，∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠ABC=2∠DBC，∠DCF=∠DBC+∠BDC，
∴∠BAC=2∠BDC，∴⑤错误；
综上所述，错误的是④⑤
即错误的有2个，
故选：B．
【点睛】
考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考察学生的推理能力．
20．如图，与都是等边三角形，，下列结论中，正确的个数是
( )①；②；③；④若，且，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
利用全等三角形的判定和性质一一判断即可.
【详解】
解：∵与都是等边三角形
∴AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC +∠BAC
即∠DAC=∠EAB
∴
∴，①正确；
∵
∴∠ADO=∠ABO
∴∠BOD=∠DAB=60°，②正确
∵∠BDA=∠CEA=60°，∠ADC≠∠AEB
∴∠BDA-∠ADC≠∠CEA-∠AEB
∴,③错误
∵
∴∠DAC+∠BCA=180°
∵∠DAB=60°，
∴∠BCA=180°-∠DAB-∠BAC=30°
∵∠ACE=60°
∴∠BCE=∠ACE+∠BCA=60°+30°=90°
∴④正确
故由①②④三个正确，
故选：C
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G．下列结论：
①BD=CD；②AD+CF=BD；③CE=1
2
BF；④AE=BG．其中正确的是
A．①②B．①③C．①②③D．①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据∠ABC=45°，CD⊥AB可得出BD=CD，利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF=AD，BF=AC．则CD=CF+AD，即AD+CF=BD；再利用AAS判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出
CE=AE=1
2
AC，又因为BF=AC所以CE=
1
2
AC=
1
2
BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角
形，即BD=CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG=CG．在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE<CG．即AE<BG．
【详解】
解：∵CD⊥AB,∠ABC=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形.
∴BD=CD.故①正确；
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF=90°−∠BFD,∠DCA=90°−∠EFC，且∠BFD=∠EFC，∴∠DBF=∠DCA.
又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，
∴△DFB≌△DAC.
∴BF=AC；DF=AD.
∵CD=CF+DF，
∴AD+CF=BD；故②正确；
在Rt△BEA和Rt△BEC中.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE.
又∵BE=BE,∠BEA=∠BEC=90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC.
∴CE=AE=1
2 AC.
又由(1)，知BF=AC，
∴CE=1
2
AC=
1
2
BF；故③正确；
连接CG.
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD.
又DH⊥BC，
∴DH垂直平分BC.∴BG=CG.
在Rt△CEG中，
∵CG是斜边，CE是直角边，
∴CE<CG.
∵CE=AE，
∴AE<BG.故④错误.
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质.此类问题涉及知识点较多，需要对相关知识点有很高的熟悉度.
22．如图，已知 AD 为△ABC 的高线，AD=BC，以 AB 为底边作等腰 Rt△ABE，连接 ED，EC，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①△ADE≌△BCE；②CE⊥DE；③BD=AF；
④S △BDE =S △ACE ，其中正确的有（ ）
A ．①③
B ．①②④
C ．①②③④
D ．②③④
【答案】C
【解析】
【分析】 ①易证∠CBE=∠DAE ，即可求证：△ADE ≌△BCE ；②根据①结论可得∠AEC=∠DEB ，即可求得∠AED=∠BEG ，即可解题；③证明△AEF ≌△BED 即可；④易证△FDC 是等腰直角三角形，则CE=EF ，S △AEF =S △ACE ，由△AEF ≌△BED ，可知S △BDE =S △ACE ，所以S △BDE =S △ACE ．
【详解】
∵AD 为△ABC 的高线，
∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，
∵Rt △ABE 是等腰直角三角形，
∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE ，
∴∠CBE+∠BAD=45°，
∴∠DAE=∠CBE ，
在△DAE 和△CBE 中，
AE BE DAE CBE AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADE ≌△BCE （SAS ）；
故①正确；
②∵△ADE ≌△BCE ，
∴∠EDA=∠ECB ，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠ECB=90°，
∴∠DEC=90°，
∴CE ⊥DE ；
故②正确；
③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE ，∠AFE=∠ADC+∠ECD ，
∴∠BDE=∠AFE ，
∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，
∴∠BED=∠AEF ，
在△AEF 和△BED 中，
BDE AFE
BED AEF
AE BE
∠∠
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
∴△AEF≌△BED（AAS），
∴BD=AF；
故③正确；
④∵AD=BC，BD=AF，
∴CD=DF，
∵AD⊥BC，
∴△FDC是等腰直角三角形，
∵DE⊥CE，
∴EF=CE，
∴S△AEF=S△ACE，
∵△AEF≌△BED，
∴S△AEF=S△BED，
∴S△BDE=S△ACE．
故④正确；
综上①②③④都正确，故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证
△BFE≌△CDE是解题的关键．
23．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③PQ∥AE；④DE＝DP；⑤∠AOE＝120°；其中正确结论的个数为（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【解析】
【分析】
①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE，故①正确；
②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ （ASA），所以AP=BQ；故②正确；
③根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由
∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知③正确；
④根据∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，可知PD≠CD，可知④错误；
⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是
∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，由平角的性质可得∠AOE=120°，可知⑤正确；
【详解】
①∵△ABC和△CDE为等边三角形
∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCB＝60°
∴∠ACD＝∠BCE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD＝BE，故①正确；
由（1）中的全等得∠CBE＝∠DAC，且BC＝AC，∠ACB＝∠BCQ＝60°
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴AP＝BQ，故②正确；
∵△CQB≌△CPA，
∴PC＝PQ，且∠PCQ＝60°
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC＝∠DCE＝60°，
∴PQ∥AE，故③正确，
∵∠QCP＝60°，∠DPC＝∠BCA+∠PAC＞60°，
∴PD≠CD，
∴DE≠DP，故④DE＝DP错误；
∵BC∥DE，
∴∠CBE＝∠BED，
∵∠CBE＝∠DAE，
∴∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，
∴∠AOE＝120°，故⑤正确，
故选C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，综合性较强，题目难度较大．
24．在和中，，高，则和的关系是( ) A．相等B．互补
C．相等或互补D．以上都不对
【答案】C
【解析】
试题解析：当∠C′为锐角时，如图1所示，
∵AC=A′C′，AD=A′D′，AD ⊥BC ，A′D′⊥B′C′，
∴Rt △ADC ≌Rt △A′D′C′，
∴∠C=∠C′；
当∠C 为钝角时，如图3所示，
∵AC=A′C′，AD=A′D′，AD ⊥BC ，A′D′⊥B′C′，
∴Rt △ACD ≌Rt △A′C′D′，
∴∠C=∠A′C′D′，
∴∠C+∠A′C′B′=180°．
故选C.
25．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD .不能判定ABD CDB ∆≅∆的条件是（ ）
A ．A
B CD =
B ．AD B
C = C ．//A
D BC D ．A C ∠=∠
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件，分别添加选项进行排查，即可完成解答；注意BD 是公用边这个条件.
【详解】
解：A.若添加AB=CD,根据AB ∥CD ，则∠ABD=∠CDB ，依据SAS 可得
△ABD ≌△CDB ，故A 选项正确；
B.若添加AD=BC,根据AB ∥CD ，则∠ADB=∠CBD ，不能判定△ABD ≌△CDB ，故B 选项错误；
C.若添加//AD BC ，则四边形ABCD 是平行四边形，能判定△ABD ≌△CDB ，故C 选项正确；
D.若添加∠A=∠C ，根据AB ∥CD ，则∠ABD=∠CDB ，且BD 公用，能判定
△ABD ≌△CDB ，故D 选项正确；
故选：B.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边.
26．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，∠EAF＝
1
2
∠BAD，若DF＝1，BE＝5，则线段EF的长为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
在BE上截取BG＝DF，先证△ADF≌△ABG，再证△AEG≌△AEF即可解答．
【详解】
在BE上截取BG＝DF，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
在△ADF与△ABG中
AB AD
B ADF
BG DF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AG＝AF，∠FAD＝∠GAB，
∵∠EAF＝
1
2
∠BAD，
∴∠FAE＝∠GAE，
在△AEG与△AEF中
AG AF
FAE GAE
AE AE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△AEG≌△AEF（SAS）
∴EF＝EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF＝4．
【点睛】
考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
27．如图，AO⊥OM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 ( )
A．3.6 B．4 C．4.8 D．PB的长度随B点的运动而变化
【答案】B
【解析】
【分析】
作辅助线，首先证明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；进而证明△BPF≌△MPE，即可解决问题．
【详解】
如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，
∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，
∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，
∴∠BAO=∠NBE，
∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，
∴AB=BE，BF=BO；
在△ABO与△BEN中，
BAO NBE
AOB BNE
AB BE
∠∠
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴BO=NE，BN=AO；
∴
BF=NE ，
在△BPF 与△NPE 中，
FBP ENP FPB EPN BF NE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ∴△BPF ≌△NPE （AAS ），
∴BP=NP=
12BN ；而BN=AO ， ∴BP=12AO=12
×8=4， 故选B ．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答．
28．在ABC ∆中，已知AB BC =，90ABC ∠=︒，点E 是BC 边延长线上一点，如图所示，将线段AE 绕点A 逆时针旋转90︒得到AF ，连接CF 交直线AB 于点G ，若53BC CE =，则AG BG
=（ ）
A ．73
B ．83
C ．113
D ．133
【答案】D
【解析】
【分析】
过点F 作FD ⊥AG ，交AG 的延长线于点D, 设BC=5x ，利用AAS 证出△FAD ≌△AEB ，从而用x 表示出AD ，BD ，然后利用AAS 证出△FDG ≌△CBG ，即可用x 表示出BG,AG 从而求出结论．
【详解】
解：过点F 作FD ⊥AG ，交AG 的延长线于点D
∵53
BC CE = 设BC=5x ，则CE=3x
∴BE=BC ＋CE=8x
∵5AB BC x ==，90ABC ∠=︒，
∴∠BAC=∠BCA=45°
∴∠BCA=∠CAE ＋∠E=45°
由旋转可知∠EAF=90°，AF=EA
∴∠CAE ＋∠FAD=∠EAF －∠BAC=45°
∴∠FAD=∠E
在△FAD 和△AEB 中
90FAD E D ABE AF EA ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴△FAD ≌△AEB
∴AD=EB=8x ，FD=AB
∴BD=AD －AB=3x ，FD=CB
在△FDG 和△CBG 中
90FDG CBG FGD CGB
FD CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△FDG ≌△CBG ∴DG=BG=12BD=32
x ∴AG=AB ＋BG=132
x ∴1313233
2
x
AG x BG == 故选D ．
【点睛】
此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握构造全等三角形的方法和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．
29．如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（）
①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．
A．①②③B．①②④C．①②D．①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意结合图形证明△AFB≌△AEC；利用四点共圆及全等三角形的性质问题即可解决．【详解】
如图，
∵∠EAF=∠BAC，
∴∠BAF=∠CAE；
在△AFB与△AEC中，
AF AE
BAF CAE
AB AC
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△AFB≌△AEC（SAS），
∴BF=CE；∠ABF=∠ACE，
∴A、F、B、C四点共圆，
∴∠BFC=∠BAC=∠EAF；
故①、②、③正确，④错误．
故选A.．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是准确找出图形中隐
含的全等三角形，灵活运用四点共圆等几何知识来分析、判断、推理或证明．
30．如图，在等腰△ABC 中，90ACB ︒∠=，8AC =，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =,连接DE 、DF 、EF 在此运动变化的过程中，下列结论：(1)DEF 是等腰直角三角形；(2)四边形CDFE 不可能为正方形，（3）DE 长度的最小值为4；（4）连接CF ，CF 恰好把四边形CDFE 的面积分成1：2两部分，则CE =13或143
其中正确的结论个数是
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】A
【解析】
【分析】 连接CF ，证明△ADF ≌△CEF ，根据全等三角形的性质判断①，根据正方形的判定定理判断②，根据勾股定理判断③，根据面积判断④．
【详解】
连接CF ，
∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45 ，CF=AF=FB ；
∵AD=CE ，
∴△ADF ≌△CEF(SAS)；
∴EF=DF ，∠CFE=∠AFD ；
∵∠AFD+∠CFD=90∘，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90∘，
又∵EF=DF
∴△EDF 是等腰直角三角形(故(1)正确).
当D. E 分别为AC 、BC 中点时,四边形CDFE 是正方形(故(2)错误).
由于△DEF 是等腰直角三角形，因此当DE 最小时，DF 也最小；
即当DF ⊥AC 时,DE 最小,此时142
DF BC == .
∴DE=故(3)错误).
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF=S△ADF
∴S四边形CDFE=S△AFC,
∵CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分∴S△CEF：S△CDF=1:2 或S△CEF：S△CDF=2:1
即S△ADF：S△CDF=1:2 或S△ADF：S△CDF=2:1
当S△ADF：S△CDF=1:2时，S△ADF=1
3
S△ACF=
1116
84
323
⨯⨯⨯=
又∵S△ADF=1
42
2
AD AD ⨯⨯=
∴2AD=16 3
∴AD=8
3
(故(4)错误).
故选：A.
【点睛】
本题考查了全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理，掌握全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理是解题的关键.。