高中数学 第一章 常用逻辑用语 3 全称量词与存在量词(第2课时)课件1高二选修11数学课件

3.明确全称命题、特称命题、含有一个量词的命题的否定形式的真
假的判断方法,通过生活和数学中的丰富实例,了解数学知识的全面性和
对称性.
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创设(chuàngshè)情境：
美国作家马克·吐温除了以伟大的作家而闻名,更以他的直言不讳出名.
一次,马克·吐温在记者面前说:“有些国会议员是傻瓜!”记者把他说的话,只
(2)p:有的三角形的三条边相等;
(3)p:菱形的对角线互相垂直;
(4)p:存在x∈N,x2-2x+1≤0.
解：(1)存在一个实数m,使方程x2+mx-1=0没有实数根.因为该方程的判别式Δ=m2+4>0恒成立,
假命题.
(2)所有的三角形的三条边不全相等.假命题.
(3)有的菱形对角线不垂直.假命题.
第一章 常用逻辑(luó jí)用语
§3 全称
(quán chēnɡ)
量词与存在量词
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学习(xuéxí)目标
1.理解全称量词、存在量词,能够用符号表示全称命题、特称命题,并会判断
其真假.
2.对含有量词的命题进行否定,应首先判断此命题是全称命题还是特称命题
,也就是要找出语句(yǔjù)中的全称量词或存在量词.
结论
.
,而否命题是既否定
结论
条件
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预习(yùxí)检测
1
下列命题中,不是全称命题的是(
)
A.任何一个实数乘以0都等于(děngyú)0
B.自然数都是正整数
C.每一个向量都有大小
D.一定存在没有最大值的二次函数
【解析】D选项是特称命题.
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D
2
以下四个命题中既是特称命题又是真命题的是(
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2.命题“存在x∈Z,x2-2x=0”的否定是(
) C
A.任意x∈Z,x2-2x=0
B.存在x∈Z,x2-2x≠0
C.任意x∈Z,x2-2x≠0
D.存在x∈Z,x2-2x>0
【解析】特称命题的否定是全称(quán chēnɡ)命题,所以命题“存在x∈Z,x2-2x=0”的
否定是“任意x∈Z,x2-2x≠0”,选C.
(3)存在x∈R,使2x+4<0成立,真命题;
(4)对任意的x∈R,有x2+x≠x+2成立,假命题.
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思维(sīwéi)导图
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内容(nèiróng)总结
第一章 常用逻辑用语。(3)有的菱形对角线不垂直.假命题.。(2)p:存在
(4)任意x∈N,x2-2x+1>0.
显然当x=1时,x2-2x+1>0不成立,假命题.
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三、全称命题与特称命题的应用
是否存在整数m,使得命题“对任意(rènyì)x∈R,m2-m<x2+x+1”是真命题?若存
在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
解：假设存在整数 m,使得命题是真命题.
(1)命题p:所有的菱形都是正方形.
(2)命题q:对任何实数x,总有x2-2x+1≥0成立.
(3)命题r:至少有一个实数x,使x2-2=0成立.
(4)命题s:存在x∈R,使x2+2x+2≤0成立.
解：(1)存在一个菱形,它不是正方形.
∵由两个全等的等边三角形拼成的菱形就不是正方形,
∴是真命题.
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3
命题“所有实数的平方都是正数(zhèngshù)”的否定为
至少有一个实数(shìshù)的平方不是正数
.
【解析】全称命题的否定是特称命题,所以“所有实数的平方都是正数”的否定是
“至少有一个实数的平方不是正数”.
4
判断下列命题的真假.
2
(1)任意 x∈R,都有 x
1
-x+1>2.
由于对任意 x∈R,x
2
3
2
1 2 3 3
+x+1=(x+ ) + ≥ ,
2
4 4
1
3
因此只需 m -m< ,即- <m< .
4
2
2
故存在整数 m=0 或 m=1,使得命题是真命题.
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变式训练(xùnliàn)：
1.下列命题哪些是全称命题?哪些是特称命题?
(1)p:所有能被3整除(zhěngchú)的整数都是奇数;
Hale Waihona Puke 综上可得-3≤a≤0.第十七页，共二十四页。
课堂(kètáng)巩固
1.下列语句不是全称命题(mìng tí)的是(
C)
A.模相等的向量是相等向量
B.共线向量所在直线共线
C.在平面向量中,有些向量是共线向量
D.每一个向量都有大小
【解析】根据全称命题的定义以及所含的量词可知,A、B、D为
全称命题,C为特称命题.
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数 x,使 x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
B
)
1

D.存在一个负数 x,使 >2
【解析】A 中锐角三角形的内角都是锐角,所以是假命题;B 中 x=0
时,x2=0,所以 B 既是特称命题又是真命题;C 中因为 3+(- 3)=0,所以
1
C 是假命题;D 中对于任一个负数 x,都有 <0,所以 D 是假命题.
(2)p:存在x∈R,x2+2x+3≤0;
(3)p:每一个四边形的四个顶点共圆;
(4)p:有的三角形是等边三角形;
(5)p:对任意x∈Z,x2的个位数字不等于3;
(6)p:有一个素数含有三个正因子.
【答案】(1)(3)(5)是全称命题,(2)(4)(6)是特称命题.
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2.试写出下列命题的否定,并判断(pànduàn)其真假:
∴是真命题.
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3.命题(mìng tí)“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是
[-3,0]
.
【解析】依题意 ax2-2ax-3≤0 对任意实数 x 恒成立,
当 a=0 时,-3≤0 成立;
< 0,
当 a≠0 时,由
得-3≤a<0.
Δ = 42 + 12 ≤ 0,
(cúnzài)x∈R,x2+2x+3≤0。(4)p:有的三角形是等边三角形。(4)命题s:存在(cúnzài)x∈R,使
x2+2x+2≤0成立.。B.共线向量所在直线共线。2.命题“存在(cúnzài)x∈Z,x2-2x=0”的否定
是(
)。(3)存在(cúnzài)x∈R,使2x+4<0成立,真命题。思维导图
字未改地登在报纸上.这令国会议员们气愤不已,威胁马克·吐温收回那
些话,否则要给他好看.这股威胁的力量太强,马克·吐温也不得不让步.几
天之后,报纸刊登了马克·吐温的道歉文:“本人在几天前曾说:‘有些国会
议员是傻瓜!’此言经报道后,受到国会议员的强烈抗议.本人经过仔细
思考,发现本人的言论的确有误.于是,本人今天(jīntiān)在此声明,修正日前所
说的话为:‘有些国会议员不是傻瓜!’”
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知识梳理
1.命题中加入了不同的量词,所表达的意思完全(wánquán)不同,前面马克·吐温所说
的这句话“有些国会议员是傻瓜”与“所有国会议员是傻瓜”表达的内容不尽相同,
而马克·吐温道歉说的 “有些国会议员不是傻瓜” 并不是对“有些国会议员是
傻瓜”的否定,那么“有些国会议员是傻瓜”的否定是 “
”;“有些国会议员不是傻瓜
” 的否定是 “ (bùshi)傻瓜
所有国会议员都不是
所有(suǒyǒu)国会议员都是傻瓜
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”.
2、全称量词与存在量词
(1)短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词.常见的全称量词
还有“对一切(yīqiè)”“对每一个”“任给”等.
3.命题(mìng tí)“任意x∈R,存在m∈Z,m2-m<x2+x+1”是
真 命题.
(填“真”或“假”)
1
3 3
3
【解析】由于任意 x∈R,x2+x+1=(x+2)2+4≥4,因此只需 m2-m<4,
1
3
即-2<m<2,所以当 m=0 或 m=1 时,任意 x∈R,m2-m<x2+x+1 成立,
π
π
(2)真命题.例如 α= ,β= ,符合题意.
4
2
(3)假命题.例如 x=1,y=5,x-y=-4∉N.
(4)真命题.例如 x=0,y=3,符合题意.
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典例剖析(pōuxī)
一、判断命题是全称命题还是特称命题
下列命题哪些是全称命题?哪些是特称命题?
(1)对任意的n∈Z,2n是偶数;
常将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、r(x)表示,变量x的取值范围用M表示.特
称命题“
存在(cúnzài)x∈M,p(x)
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存在(cúnzài)M中的一个x,使p(x)成立”,记为 存在(cúnzài)x∈M,p. (x)
3、 (1)如何对含有一个量词的全称命题(mìng tí)进行否定?
(2)如何对含有一个量词的特称命题进行否定?
(1)全称命题p:对任意的x∈M,p(x)成立的否定是
.
存在x∈M,使p(x)不成立
(2)特称命题p:存在x∈M,使p(x)成立的否定是
对任意的x∈M,p(x)不成立
4、全称命题的否定是
.
命题;特称命题的否定是
特称
命题.
全称
全称命题、特称命题的否定是否定
又否定
(2)存在 α,β,使 cos(α-β)=cos α-cos β.
(3)任意 x,y∈N,都有 x-y∈N.
(4)存在 x,y∈Z,使得 2x+y=3.
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解：(1)真命题.
∵x2-x+1-
1
2
1
=x2-x+2
1 2 1 1
=(x- ) + ≥ >0,
2
4 4
1
2
∴x -x+1>2恒成立.
因此命题是真命题.
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4.写出下列命题的否定,并判断真假:
(1)一切分数都是有理数;
(2)有些三角形是锐角三角形;
(3)对任意的x∈R,有2x+4≥0成立(chénglì);
(4)存在x∈R,使x2+x=x+2成立.
解：(1)存在一个分数不是有理数,假命题;
(2)所有的三角形都不是锐角三角形,假命题;
(2)如果两个数的和为负数,那么这两个数中至少有一个是负数;
(3)矩形是平行四边形;
(4)存在(cúnzài)一个实数x,使x2+x+1=0.
【答案】(1)(3)是全称命题,(2)(4)是特称命题.
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二、含有一个量词的命题的否定及其真假判断
写出下列命题的否定并判断其真假:
(1)p:不论m取何实数(shìshù),方程x2+mx-1=0必有实数根;
(2)存在 x∈R,使得 x2-2x+1<0.
∵x2-2x+1=(x-1)2≥0 对任意 x∈R 都成立,
∴是假命题.
(3)任意 x∈R,x2-2≠0.
∵存在 x=± 2,使 x2-2=0,∴是假命题.
(4)任意 x∈R,x2+2x+2>0.
∵x2+2x+2=(x+1)2+1,(x+1)2≥0,∴对任意 x∈R,都有 x2+2x+2≥1>0.
含有全称量词的命题叫作全称命题.通常将含有变量x的语句用p(x)、q(x)
、r(x)表示,变量x的取值范围用M表示.全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成
立”,记为
.
任意(rènyì)x∈M,p(x)
(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词.常见的存在量
词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.含有存在量词的命题叫作特称命题.通
No
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