2024届浙江省杭州北干中考押题数学预测卷含解析

2024学年浙江省杭州北干中考押题数学预测卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．在如图的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象大致是（）
A．B．C．D．
2．已知一次函数y=ax﹣x﹣a+1（a为常数），则其函数图象一定过象限（）
A．一、二B．二、三C．三、四D．一、四
3．下列命题是真命题的是（）
A．如实数a，b满足a2＝b2，则a＝b
B．若实数a，b满足a＜0，b＜0，则ab＜0
C．“购买1张彩票就中奖”是不可能事件
D．三角形的三个内角中最多有一个钝角
4．如图，反比例函数
k
y
x
（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四
边形ODBE的面积为9，则k的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．要整齐地栽一行树，只要确定两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是（）A．两点之间的所有连线中，线段最短
B．经过两点有一条直线，并且只有一条直线
C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
6．下列图形中，周长不是32 m的图形是( )
A．B．C．D．
7．y=（m﹣1）x|m|+3m表示一次函数，则m等于（）
A．1 B．﹣1 C．0或﹣1 D．1或﹣1
8．如图，直线AB∥CD，AE平分∠CAB，AE与CD相交于点E，∠ACD=40°，则∠DEA=（）
A．40°B．110°C．70°D．140°
9．为了增强学生体质，学校发起评选“健步达人”活动，小明用计步器记录自己一个月（30天）每天走的步数，并绘制成如下统计表：
步数（万步） 1.0 1.2 1.1 1.4 1.3
天数 3 3 5 7 12
在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（）
A．1.3，1.1 B．1.3，1.3 C．1.4，1.4 D．1.3，1.4
10．如图，将矩形ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )
A．68°B．20°C．28°D．22°
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．已知a＋b＝1，那么a2－b2＋2b＝________．
12．如图，二次函数y=a （x ﹣2）2+k （a ＞0）的图象过原点，与x 轴正半轴交于点A ，矩形OABC 的顶点C 的坐标为（0，﹣2），点P 为x 轴上任意一点，连结PB 、PC ．则△PBC 的面积为_____．
13．某市居民用电价格如表所示： 用电量
不超过a 千瓦时 超过a 千瓦时的部分 单价（元/千瓦时）
0.5
0.6
小芳家二月份用电200千瓦时，交电费105元，则a =______． 14．抛物线y=（x ﹣2）2﹣3的顶点坐标是____．
15．已知一个正六边形的边心距为3，则它的半径为______ ． 16．已知a ，b 为两个连续的整数，且a ＜5＜b ，则b a ＝_____．
17．月球的半径约为1738000米，1738000这个数用科学记数法表示为___________． 三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）如图，已知AB AD =，AC AE =，BAD CAE ∠=∠．求证：BC DE =．
19．（5分）如图，二次函数y ＝﹣
2
12
x +mx+4﹣m 的图象与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与），轴交于点C ．抛物线的对称轴是直线x ＝﹣2，D 是抛物线的顶点． （1）求二次函数的表达式； （2）当﹣
1
2
＜x ＜1时，请求出y 的取值范围； （3）连接AD ，线段OC 上有一点E ，点E 关于直线x ＝﹣2的对称点E'恰好在线段AD 上，求点E 的坐标．
20．（8分）如图，在一笔直的海岸线l 上有A 、B 两个码头，A 在B 的正东方向，一艘小船从A 码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P 处，此时从B 码头测得小船在它的北偏东45°的方向．求此时小船到B 码头的距离（即BP 的长）和A 、B 两个码头间的距离（结果都保留根号）．
21．（10分）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面．若这个输水管道有水部分的水面宽16cm AB =，水面最深地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径．
22．（10分）如图，已知在Rt ABC 中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线．
（1）作一个
O 使它经过A D 、两点，且圆心O 在AB 边上；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）判断直线BC 与
O 的位置关系，并说明理由．
23．（12分）（定义）如图1，A ，B 为直线l 同侧的两点，过点A 作直线1的对称点A′，连接A′B 交直线l 于点P ，连接AP ，则称点P 为点A ，B 关于直线l 的“等角点”．
（运用）如图2，在平面直坐标系xOy中，已知A（2，），B（﹣2，﹣）两点．
（1）C（4，），D（4，），E（4，）三点中，点是点A，B关于直线x=4的等角点；
（2）若直线l垂直于x轴，点P（m，n）是点A，B关于直线l的等角点，其中m＞2，∠APB=α，求证：tan=；（3）若点P是点A，B关于直线y=ax+b（a≠0）的等角点，且点P位于直线AB的右下方，当∠APB=60°时，求b的取值范围（直接写出结果）．
24．（14分）解不等式：23
3
x
-
﹣
1
2
x-
≤1
参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、A
【解题分析】
函数→一次函数的图像及性质
2、D
【解题分析】
分析：根据一次函数的图形与性质，由一次函数y=kx+b的系数k和b的符号，判断所过的象限即可. 详解：∵y=ax﹣x﹣a+1（a为常数），
∴y=（a-1）x-（a-1）
当a-1＞0时，即a＞1，此时函数的图像过一三四象限；
当a-1＜0时，即a＜1，此时函数的图像过一二四象限.
故其函数的图像一定过一四象限.
故选D.
点睛：此题主要考查了一次函数的图像与性质，利用一次函数的图像与性质的关系判断即可.
一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的图像与性质：当k＞0，b＞0时，图像过一二三象限，y随x增大而增大；当k＞0，b＜0时，图像过一三四象限，y随x增大而增大；当k＜0，b＞0时，图像过一二四象限，y随x增大而减小；当k＜0，b＜0，图像过二三四象限，y随x增大而减小.
3、D
【解题分析】
A. 两个数的平方相等，这两个数不一定相等，有正负之分即可判断
B. 同号相乘为正，异号相乘为负，即可判断
C. “购买1张彩票就中奖”是随机事件即可判断
D. 根据三角形内角和为180度，三个角中不可能有两个以上钝角即可判断
【题目详解】
如实数a，b满足a2＝b2，则a＝±b，A是假命题；
数a，b满足a＜0，b＜0，则ab＞0，B是假命题；
若实“购买1张彩票就中奖”是随机事件，C是假命题；
三角形的三个内角中最多有一个钝角，D是真命题；
故选：D
【题目点拨】
本题考查了命题与定理，根据实际判断是解题的关键
4、C
【解题分析】
本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、矩形OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出k值．
【题目详解】
由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，
则OCE OAD k k S S 2
2
∆∆=
=
，，
过点M 作MG ⊥y 轴于点G ，作MN ⊥x 轴于点N ，则S □ONMG =|k|． 又∵M 为矩形ABCO 对角线的交点， ∴S 矩形ABCO =4S □ONMG =4|k|， ∵函数图象在第一象限，k ＞0， ∴
k k
94k 22
++=． 解得：k=1． 故选C ． 【题目点拨】
本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 5、B 【解题分析】
本题要根据过平面上的两点有且只有一条直线的性质解答． 【题目详解】
根据两点确定一条直线． 故选：B ． 【题目点拨】
本题考查了“两点确定一条直线”的公理，难度适中． 6、B 【解题分析】
根据所给图形，分别计算出它们的周长，然后判断各选项即可． 【题目详解】
A. L=(6+10)×2=32，其周长为32.
B. 该平行四边形的一边长为10，另一边长大于6，故其周长大于32.
C. L=(6+10)×2=32，其周长为32.
D. L=(6+10)×2=32，其周长为32. 采用排除法即可选出B 故选B. 【题目点拨】
此题考查多边形的周长，解题在于掌握计算公式.
7、B
【解题分析】
由一次函数的定义知，|m|=1且m-1≠0，所以m=-1，故选B.
8、B
【解题分析】
先由平行线性质得出∠ACD与∠BAC互补，并根据已知∠ACD=40°计算出∠BAC的度数，再根据角平分线性质求出∠BAE的度数，进而得到∠DEA的度数．
【题目详解】
∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠BAC=180°，
∵∠ACD=40°，
∴∠BAC=180°﹣40°=140°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE=1
2
∠BAC=
1
2
×140°=70°，
∴∠DEA=180°﹣∠BAE=110°，
故选B．
【题目点拨】
本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．
9、B
【解题分析】
在这组数据中出现次数最多的是1.1，得到这组数据的众数；把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个数的平均数是中位数．
【题目详解】
在这组数据中出现次数最多的是1.1，即众数是1.1．
要求一组数据的中位数，把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个两个数都是1.1，所以中位数是1.1．
故选B．
【题目点拨】
本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．
10、D
【解题分析】
试题解析：∵四边形ABCD 为矩形， ∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∵矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，
∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°， ∵∠2=∠1=112°， 而∠ABD=∠D′=90°， ∴∠3=180°-∠2=68°， ∴∠BAB′=90°-68°=22°， 即∠α=22°． 故选D ．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分） 11、1 【解题分析】 解：∵a+b=1，
∴原式=()()()2122 1.a b a b b a b b a b b a b +-+=⨯-+=-+=+= 故答案为1. 【题目点拨】
本题考查的是平方差公式的灵活运用. 12、4 【解题分析】
根据二次函数的对称性求出点A 的坐标，从而得出BC 的长度，根据点C 的坐标得出三角形的高线，从而得出答案． 【题目详解】
∵二次函数的对称轴为直线x=2， ∴点A 的坐标为(4，0)，∵点C 的坐标为(0，－2)， ∴点B 的坐标为(4，－2)， ∴BC=4，则BCP
4224S =⨯÷=．
【题目点拨】
本题主要考查的是二次函数的对称性，属于基础题型．理解二次函数的轴对称性是解决这个问题的关键．
13、150
【解题分析】
根据题意可得等量关系：不超过a千瓦时的电费+超过a千瓦时的电费=105元；根据等量关系列出方程，解出a的值即可.
【题目详解】
∵0.5×200=100<105，
∴a<200.
由题意得：0.5a+0.6(200-a)=105，
解得：a=150.
故答案为：150
【题目点拨】
此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确找出题目中的等量关系，列出方程.
14、（2，﹣3）
【解题分析】
根据：对于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是(h,k).
【题目详解】
抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（2，﹣3）.
故答案为（2，﹣3）
【题目点拨】
本题考核知识点：抛物线的顶点. 解题关键点：熟记求抛物线顶点坐标的公式.
15、2
【解题分析】
试题分析：设正六边形的中心是O，一边是AB，过O作OG⊥AB与G，在直角△OAG中，根据三角函数即可求得OA．
解：如图所示,
在Rt△AOG中,OG3,∠AOG=30°，
∴OA =OG ÷cos 30°； 故答案为2. 点睛：本题主要考查正多边形和圆的关系. 解题的关键在于利用正多边形的半径、边心距构造直角三角形并利用解直角三角形的知识求解.
16、1
【解题分析】
根据已知a b ,结合a 、b 是两个连续的整数可得a 、b 的值,即可求解.
【题目详解】
解：∵a ，b 为两个连续的整数，且a b ，
∴a ＝2，b ＝3，
∴b a ＝32＝1．
故答案为1．
【题目点拨】
此题考查的是如何根据无理数的范围确定两个有理数的值,的取值范围,可以很容易得到其相邻两个整数,再结合已知条件即可确定a 、b 的值,
17、1.738×
1 【解题分析】
解：将1738000用科学记数法表示为1.738×
1．故答案为1.738×1． 【题目点拨】
本题考查科学记数法—表示较大的数，掌握科学计数法的计数形式，难度不大．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18、证明见解析．
【解题分析】
根据等式的基本性质可得BAC DAE ∠=∠，然后利用SAS 即可证出ABC ADE ∆≅∆，从而证出结论．
【题目详解】
证明：BAD CAE ∠=∠，
BAD DAC CAE DAC ∴∠+∠=∠+∠，
即BAC DAE ∠=∠，
在ABC ∆和ADE ∆中，
AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABC ADE SAS ∴∆≅∆，
BC DE ∴=．
【题目点拨】
此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握利用SAS 判定两个三角形全等和全等三角形的对应边相等是解决此题的关键．
19、（1）y=﹣
12x 1﹣1x+6；（1）72＜y ＜558
；（3）（0，4）． 【解题分析】
（1）利用对称轴公式求出m 的值，即可确定出解析式；
（1）根据x 的范围，利用二次函数的增减性确定出y 的范围即可；
（3）根据题意确定出D 与A 坐标，进而求出直线AD 解析式，设出E 坐标，利用对称性确定出E 坐标即可．
【题目详解】 （1）∵抛物线对称轴为直线x =﹣1，∴﹣
122
m
⨯-（）=﹣1，即m =﹣1，则二次函数解析式为y =﹣12x 1﹣1x +6； （1）当x =﹣12时，y =558；当x =1时，y =72
． ∵﹣12＜x ＜1位于对称轴右侧，y 随x 的增大而减小，∴72＜y ＜558
； （3）当x =﹣1时，y =8，∴顶点D 的坐标是（﹣1，8），令y =0，得到：﹣12x 1﹣1x +6=0，解得：x =﹣6或x =1． ∵点A 在点B 的左侧，∴点A 坐标为（﹣6，0）． 设直线AD 解析式为y =kx +b ，可得：2860k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：212k b =⎧⎨=⎩
，即直线AD 解析式为y =1x +11． 设E （0，n ），则有E ′（﹣4，n ），代入y =1x +11中得：n =4，则点E 坐标为（0，4）．
【题目点拨】
本题考查了抛物线与x 轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
20、小船到B 码头的距离是
海里，A 、B 两个码头间的距离是（
【解题分析】
试题分析：过P 作PM ⊥AB 于M ，求出∠PBM=45°，∠PAM=30°，求出PM ，即可求出BM 、AM 、BP ．
试题解析：如图：过P 作PM ⊥AB 于M ，则∠PMB=∠PMA=90°，∵∠PBM=90°﹣45°=45°，∠PAM=90°﹣60°=30°，
AP=20，∴PM=12AP=10，AM=3PM=103，∴∠BPM=∠PBM=45°，∴PM=BM=10，AB=AM+MB=10103+，∴BP=sin 45
PM =102，即小船到B 码头的距离是102海里，A 、B 两个码头间的距离是（10103+）海里．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
21、这个圆形截面的半径为10cm.
【解题分析】
分析：先作辅助线，利用垂径定理求出半径，再根据勾股定理计算．
解答：解：如图，OE ⊥AB 交AB 于点D ，
则DE=4，AB=16，AD=8，
设半径为R ，
∴OD=OE-DE=R-4，
由勾股定理得，OA 2=AD 2+OD 2，
即R 2=82+（R-4）2，
解得，R=10cm ．
22、（1）见解析；（2）BC 与
O 相切，理由见解析． 【解题分析】
（1）作出AD 的垂直平分线，交AB 于点O ，进而利用AO 为半径求出即可；
（2）利用半径相等结合角平分线的性质得出OD ∥AC ，进而求出OD ⊥BC ，进而得出答案．
【题目详解】
（1）①分别以A D 、为圆心，大于12
AD 的长为半径作弧，两弧相交于点E 和F ， ②作直线EF ，与AB 相交于点O ，
③以O 为圆心，OA 为半径作圆，如图即为所作；
（2）BC与O相切，理由如下：
连接OD，
OA OD为O半径，
,
∴=，
OA OD
AOD
∴是等腰三角形，
∴，
∠=∠
OAD ODA
AD平分BAC
∠，
∴∠=∠，
CAD OAD
∴∠=∠，
CAD ODA
∴，
AC OD
∠=︒，
90
C
ODB
∴∠=︒，
90
∴⊥，
OD BC
OD为O半径，
∴与O相切．
BC
【题目点拨】
本题主要考查了切线的判定以及线段垂直平分线的作法与性质等知识，掌握切线的判定方法是解题关键．
23、（1）C（2）（3）b＜﹣且b≠﹣2或b＞
【解题分析】
（1）先求出B关于直线x=4的对称点B′的坐标，根据A、B′的坐标可得直线AB′的解析式，把x=4代入求出P点的纵坐标即可得答案；（2）如图：过点A作直线l的对称点A′，连A′B′，交直线l于点P，作BH⊥l于点H，根据对称性可知∠APG=A′PG，由∠AGP=∠BHP=90°可证明△AGP∽△BHP，根据相似三角形对应边成比例可得m=
根据外角性质可知∠A=∠A′=，在Rt△AGP中，根据正切定义即可得结论；（3）当点P位于直线AB的右下方，
∠APB=60°时，点P在以AB为弦，所对圆周为60°，且圆心在AB下方，若直线y=ax+b（a≠0）与圆相交，设圆与直
线y=ax+b（a≠0）的另一个交点为Q
根据对称性质可证明△ABQ是等边三角形，即点Q为定点，若直线y=ax+b（a≠0）与圆相切，易得P、Q重合，所以直线y=ax+b（a≠0）过定点Q，连OQ，过点A、Q分别作AM⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为M、N，可证明
△AMO∽△ONQ，根据相似三角形对应边成比例可得ON、NQ的长，即可得Q点坐标，根据A、B、Q的坐标可求出直线AQ、BQ的解析式，根据P与A、B重合时b的值求出b的取值范围即可.
【题目详解】
（1）点B关于直线x=4的对称点为B′（10，﹣），
∴直线AB′解析式为：y=﹣，
当x=4时，y=，
故答案为：C
（2）如图，过点A作直线l的对称点A′，连A′B′，交直线l于点P
作BH⊥l于点H
∵点A和A′关于直线l对称
∴∠APG=∠A′PG
∵∠BPH=∠A′PG
∴∠APG=∠BPH
∵∠AGP=∠BHP=90°
∴△AGP∽△BHP
∴，即，
∴mn=2，即m=，
∵∠APB=α，AP=AP′，
∴∠A=∠A′=，
在Rt△AGP中，tan
（3）如图，当点P位于直线AB的右下方，∠APB=60°时，
点P在以AB为弦，所对圆周为60°，且圆心在AB下方
若直线y=ax+b（a≠0）与圆相交，设圆与直线y=ax+b（a≠0）的另一个交点为Q 由对称性可知：∠APQ=∠A′PQ，
又∠APB=60°
∴∠APQ=∠A′PQ=60°
∴∠ABQ=∠APQ=60°，∠AQB=∠APB=60°
∴∠BAQ=60°=∠AQB=∠ABQ
∴△ABQ是等边三角形
∵线段AB为定线段
∴点Q为定点
若直线y=ax+b（a≠0）与圆相切，易得P、Q重合
∴直线y=ax+b（a≠0）过定点Q
连OQ，过点A、Q分别作AM⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为M、N
∵A（2，），B（﹣2，﹣）
∴OA=OB=
∵△ABQ是等边三角形
∴∠AOQ=∠BOQ=90°，OQ=，
∴∠AOM+∠NOD=90°
又∵∠AOM+∠MAO=90°，∠NOQ=∠MAO
∵∠AMO=∠ONQ=90°
∴△AMO∽△ONQ
∴,
∴，
∴ON=2，NQ=3，∴Q点坐标为（3，﹣2）
设直线BQ解析式为y=kx+b
将B、Q坐标代入得
，
解得
，
∴直线BQ 的解析式为：y=﹣
， 设直线AQ 的解析式为：y=mx+n ，
将A 、Q 两点代入
， 解得 ， ∴直线AQ 的解析式为：y=﹣3，
若点P 与B 点重合，则直线PQ 与直线BQ 重合，此时，b=﹣，
若点P 与点A 重合，则直线PQ 与直线AQ 重合，此时，b=
， 又∵y=ax+b （a≠0），且点P 位于AB 右下方，
∴b ＜﹣ 且b≠﹣2或b ＞.
【题目点拨】
本题考查对称性质、相似三角形的判定与性质、根据待定系数法求一次函数解析式及锐角三角函数正切的定义，熟练掌握相关知识是解题关键.
24、x≥19
． 【解题分析】
根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【题目详解】
231132
x x ---≤ 2（2﹣3x ）﹣3（x ﹣1）≤6，
4﹣6x ﹣3x+3≤6，
﹣6x ﹣3x≤6﹣4﹣3，
﹣9x≤﹣1， x≥19
． 【题目点拨】
考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．。