安徽省阜阳市第三中学高二下学期第二次调研考试数学(理)试题

安徽省阜阳市第三中学高二下学期第二次调研考试数学（理）试题
B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
5．共享单车已经越来越多地引起人们的注意，由于其符合低碳出行理念，政府对这一新鲜事物也处于善意的观察期.如图是某小区20~45岁的居民使用共享单车的年龄情况的频率分布直方图，现已知区间[30,35)，[35,40)，[40,45]上的使用共享单车的居民人数为递减的等差数列，且区间[40,45]上的使用共享单车的居民人数的频率为0.1，则下列关于该小区在20~45岁的使用共享单车的居民年龄说法正确的是( )
A.平均数为32.5
B. 众数为32.25
C. 中位
D. 在[35,40)的频率为0.15
数为95
3
6．某车间共有6名工人，他们某日加工零件个
数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶
为个位数，日加工零件个数大于样本均值的
工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为( )
A. 15
B. 49
C. 35
D. 1
9
7.1a ＜1
b
＜0，则下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④b a ＋a
b ＞2中，正确的不等式有( )
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④ 8．函数f (x )=(12)x
，x ∈(0,+∞)的值域为D ，在区
间(−1,2)上随机取一个数x ，则
x ∈D 的概率（ ）A. 13 B.12 C. 1
4 D. 1
9.设21
1
(,)X N μσ，22
2
(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ） B ．2
1
()()P X P X σσ≤≤≤
C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤
D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥
10．①线性回归方程对应直线ˆˆˆy
bx a =+至少经过其样本数据点()()()1122,,,,n n
x y x y x y 中一个点；
②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；
③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()2
1,N σ(0)σ>，若ξ位于区域()0,1内的概率为0.4，则ξ位于区域()0,2内的概率为0.8； ④对分类变量X 与Y 的随机变量K 2
的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大．其中真命题的序号为( )
A. ①④
B. ②④
C. ①③
D. ②③
11．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故
事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E 、F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ）
A. 240种
B. 188种
C. 156种
D. 120种
12.设复数z=(x-1)+yi(x,y ∈R),若|z|≤1,则y ≥x 的概率为 ( )
A.3
4+1
2π B.1
4-1
2πC.12-1
π D.12+1
π
二、填空题（本题共4小题，共20分）
13.设随机变量23,3
X B ⎛⎫
~ ⎪⎝
⎭
，随机变量21Y X =+，则Y 的方差()D Y =
__________．
14．()5
2
3y x x -+的展开式中，2
5
y x 的系数为
15．某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩(单位:分) X 服从正态分布()2
110,10N ，从中抽取一个同学的数学成绩ξ，记该同学的成绩90110ξ<≤为事件A ，记该同学的成绩80100ξ<≤为事件B ,则在A 事件发生的条件下B 事件发生的概率(|)P B A =______.（结果用分数表示）附：X 满足
()0.68P X μσμσ-<≤+=(22)0.95P X μσμσ-<≤+=(33)0.99P X μσμσ-<≤+=. 16．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周
髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有种
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17（10分）从E 地到F 地要经过3条河需借助于轮渡渡河,设各渡口工作相互独立,且在各渡口需要等
待的概率分别为43322
1，，
(1)若一人从E 地到F 地,求不需要等待轮渡的概率. (2)设X 表示一人从E 地到F 地在各渡口不需要等待轮渡的次数,求随机变量X 的分布列和数学期望. 18.（12分）.已知函数f (x )＝|x ＋1|，g (x )＝2|x |＋a .
(1)当a ＝0时，解不等式f (x )≥g (x );
(2)若存在x ∈R ，使得f (x )≥g (x )成立，求实数a 的取值范围
19.（12分）．如图，四边形PCBM 是直角梯形，0
90=∠PCB ，
2
,1,//==BC PM BC PM ，又PC AB ACB AC ⊥=∠=,120,10
，直线AM 与直
线PC 所成的角为0
60. （1）求证：AC PC ⊥；
（2）求二面角B AC M --的余弦值.
20（12分）着科学技术的飞速发展，手机的功能逐渐强大，很大程度上代替了电脑、电视．为了了解某高校学生平均每天使用手机的时间是否与性别有关，某调查小组随机抽取了名男生、名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如表所示：
平均每天使用手机超过小时
平均每天使用手机不超过小时
合计
男生
30203325
5
30
女生
合计
（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关？（结果全部精确到0.001）
（2）在这名女生中，调查小组发现共有人使用国产手机，而在这人中，平均每天使用手机不超过小时的共有人．从平均每天使用手机超过小时的女生中任意选取人，求这人中使用非国产手机的人数的分布列和数学期望．
参考公式：
21 （12分）随着我国医疗卫生和各种服务条件的改善，老龄人口在逐年攀升，下表是我国从2019年至2019年的老龄人口数据（注：结果全部精确到0.1）
年份
代码x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9
11
20
34
16
50
0.0120151539333X ()
20
P K k ≥0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100k 0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635()
()()()()
2
2
n ad bc K
a c
b d a b
c
d -=
++++()n a b c d =+++
人口
y （百万）
104 106 110 113 119 123 127 132 138 14
4
(Ⅰ)利用表中数据求人口y 与年份代码x 之间的回归
直线方程ˆˆy
bx a =+； (Ⅱ)利用(1)中方程预测2030年我国老龄人口数. （参考数据：10
17058i i i y =⋅=∑，10
11216i
i y ==∑，10
2
1
385i i ==∑
参考公式：1
12
2
2
1
1
()(y ),()
n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y x y nx y
b a y bx
x x x
nx ====---⋅=
=
=---∑∑∑∑)
22（12分）.“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2019年春节前夕,A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示.
(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数示x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值
Z
服从正态分布()2
,N μσ,利用该正态分布,求Z 落在
(14.55,38.45)内的概率;
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种
品牌的速冻水饺,记这4 包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X ,求X 的分布列和数学期望及方差。

附:①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为142.7511.95
σ=≈，
②若2(,)
Z
N μσ，则()0.6826,(22)0.9544P Z P Z μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=
阜阳三中2019-2019学年第二学期高二年级第二次调考
理科数学
18.解：(1)∵|x ＋1|≥2|x |⇒x 2
＋2x ＋1≥4x 2
⇒－1
3
≤x ≤
1，∴不等式f (x )≥g (x )的解集为⎣
⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤－13，1.
(2)若存在x ∈R ，使得|x ＋1|≥2|x |＋a 成立，即存在x ∈R ，使得|x ＋1|－2|x |≥a 成立．
令φ(x )＝|x ＋1|－2|x |，则a ≤φ(x )max ，又φ(x )＝
⎩⎪
⎨⎪
⎧1－x ，x ≥0，3x ＋1，－1≤x ＜0，x －1，x ＜－1.
当x ≥0时，φ(x )≤1；
当－1≤x ＜0时，－2≤φ(x )＜1；当x ＜－1时，
φ(x )＜－2.综上可得：φ(x )≤1，∴a ≤1，
即实数a 的取值范围为(－∞，1]．
19.（1）∵B BC AB PC AB PC BC =⊥⊥ ,,， ∴⊥PC 平面ABC ，∵⊂AC 平面ABC ，
（2）在平面ABC 内，过点C 作BC 的垂线，建立空间直角坐标系，如图所示设),0,0(z P ∵|
|3||
||||
|,cos |60
cos 2
20
z z z CP AM CP AM ⋅+=
=><=，且0>z ，
设平面MAC 的一个法向量为)1,,(y x n =， 则由
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=++-⇒⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅0212
30123230
0y x y x CA n AM n ，∴
⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=133
y x ∴)1,1,3
3
(--
=n
又平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(=CP ，7
21|
|||,cos =⋅>=
<CP n CP n CP n
显然，二面角B AC M --为锐二面角所以二面角B AC M --的余弦值为
7
21.
（1）．
所以能在犯错误概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关．
()2502511598104663530201634
K ⨯⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯．．
（2）可取0，1，2，3．，，，，所以的分布列为
1
2
3
P 21.
22.（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为
（2）①∵服从正态分布，且，，
∴落在内的概率是．
②根据题意得，
；
；
；
；．∴的分布列为
1
2
3
4
X 3639(502)1C P X C ===12363915)128(C C P X C ===21363
93
()214C C P X C ===3
339(1
38)4
C P X C ===X X 521
1528
314
184
x Z ()2
,N μσ
26.5μ=11.95σ≈Z ()14.55,38.450.68261~4,2X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
()4
04
110216
P X C ⎛⎫
===
⎪⎝⎭()4
1411
124
P X C ⎛⎫===
⎪⎝⎭()4
24
13
228
P X C ⎛⎫===
⎪⎝⎭()4
3411324P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()4
44114216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭
X X P 1
16
14
38
14
116。