人教版九年级上册数学期末考试试卷含答案解析

人教版九年级上册数学期末考试试题
一、选择题。

（每小题只有一个正确答案）
1．以下五个图形中，是中心对称图形的共有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．方程x=x(x-1)的根是（）
A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=1 D．x1=0，x2=2
3．抛物线y=2（x+3）2+5的顶点坐标是（）
A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（3，﹣5）D．（﹣3，﹣5）4．下列说法正确的是( )．
A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次．其中，抛掷出5点的次数最多，则第2001次一定抛掷出5点.
B．某种彩票中奖的概率是1％，因此买100张该种彩票一定会中奖
C．天气预报说：明天下雨的概率是50％，所以明天将有一半时间在下雨
D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等
5．已知AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD的距离是（）
A．1 B．7 C．1或7 D．无法确定
6．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（）
A．200（1+x）2＝1000 B．200+200×2x＝1000
C．200+200×3x＝1000 D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000
7．用配方法解方程2
237
x x
+=时，方程可变形为（）
A．
2
737
24
x
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
B．
2
743
24
x
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
C．
2
71
416
x
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
D．
2
725
416
x
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
8．如图，已知二次函数y=（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（）
A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5
9．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C与F重合，边CA与边FE重合，顶点B、C、D 在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按逆时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果BA∥DE，那么n的值是（）
A．105 B．95 C．90 D．75
10．如图，点E、F是边长为4的正方形ABCD边AD、AB上的动点，且AF＝DE，BE交CF于点P，在点E、F运动的过程中，PA的最小值为（）
A．2 B．C． 2 D． 2
二、填空题
11．抛物线y＝﹣1
2
x2向上平移1个单位长度得到抛物线的解析式为_____．
12．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠DCB＝32°．则∠ABD＝_____
13．如果关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，那么k的取值范围是______．14．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=20°，点O是AB的中点，将OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，当△ACP为等腰三角形时，α的值为_____．
15．二次函数2
y=的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C
在二次函数2
y的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为______．
16．如图，A、B、C、D均在⊙O上，E为BC延长线上一点，若∠A=102°，则∠DCE=___________．
三、解答题
17．解方程：（x﹣2）（x﹣1）＝3x﹣6
18．已知抛物线y＝x2+mx﹣10与x0），求m的值及另一个交点坐标．
19．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A、B与y轴交于点C，顶点坐标为（1，﹣4）
（1）求二次函数解析式；
（2）该二次函数图象上是否存在点M，使S△MAB＝S△CAB，若存在，求出点M的坐标．
20．如图在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，过D作DE⊥BD交AB于点E，经过B，D，E三点作⊙O．
（1）求证：AC与⊙O相切于D点；
（2）若AD=15，AE=9，求⊙O的半径．
21．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）画出△A1OB1；
（2）在旋转过程中点B所经过的路径长为______；
（3）求在旋转过程中线段AB 、BO 扫过的图形的面积之和．
22．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x （1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表：
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y 元[
（1）求出y 与x 的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果.
23．已知关于x 的方程()22110x k x k -+++=．
（1）k 取什么值时，方程有两个实数根；
（2）如果方程有两个实数根1x 、2x ，且12x x =，求k 的值．
24．如图所示，正方形网格中，△ABC 为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． （1）把△ABC 沿BA 方向平移后，点A 移到点A 1，在网格中画出平移后得到的△A 1B 1C 1； （2）把△A 1B 1C 1绕点A 1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A 1B 2C 2；
（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过（1）、（2）变换的路径总长．
25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C(0，3)，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3，0)，点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP＇C，那么是否存在点P，使四边形POP＇C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，使△BPC的面积最大，求出点P的坐标和△BPC的面积最大值．
26．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系；
（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；
（3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．
参考答案
1．B
【解析】
根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进行判断．
【详解】
解：从左起第2、4、5个图形是中心对称图形.
故选：B．
【点睛】
本题考查了中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
2．D
【详解】
解：先移项，再把方程左边分解得到x（x﹣1﹣1）=0，
原方程化为x=0或x﹣1﹣1=0，
解得：x1=0；x2=2
故选D．
【点睛】
本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧进行计算是解题关键．
3．B
【详解】
解：抛物线y=2（x+3）2+5的顶点坐标是（﹣3，5），故选B．
4．D
【分析】
概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．【详解】
A. 是随机事件，错误；
B. 中奖的概率是1%，买100张该种彩票不一定会中奖，错误；
C. 明天下雨的概率是50%，是说明天下雨的可能性是50%，而不是明天将有一半时间在下雨，错误；
D. 正确．
故选D.
【点睛】
本题考查概率的意义，解题的关键是掌握概率的意义.
5．C
【分析】
由于弦AB、CD的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可. 【详解】
解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，
过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∵AB＝8，CD＝6，
∴AE＝4，CF＝3，
∵OA＝OC＝5，
∴由勾股定理得：EO3，OF4，
∴EF＝OF﹣OE＝1；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，
过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，
EF＝OF+OE＝7，
所以AB与CD之间的距离是1或7．
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧. 也考查了勾股定理及分类讨论的思想的应用.
6．D
【分析】
根据增长率问题公式即可解决此题，二月为200（1+x），三月为200（1+x）2，三个月相加即得第一季度的营业额.
【详解】
解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为200×（1+x），
∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，
∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000，
即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000．
故选D．
【点睛】
此题考察增长率问题类一元二次方程的应用，注意：第一季度指一、二、三月的总和. 7．D
【详解】
解：∵2x2+3=7x，
∴2x2-7x=-3，
∴x2-7
2
x=-
3
2
，
∴x2-7
2
x+
49
16
=-
3
2
+
49
16
，
∴（x-7
4
）2=
25
16
．
故选D．
【点睛】
本题考查解一元二次方程-配方法，掌握配方法的步骤进行计算是解题关键．
8．B
【分析】
先求出二次函数的对称轴为直线x=-1，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可．
【详解】
∵二次函数y=（x+1）2-4，
对称轴是：x=-1
∵a=-1＞0，
∴x＞-1时，y随x的增大而增大，x＜-1时，y随x的增大而减小，
由图象可知：在-2≤x≤2内，x=2时，y有最大值，y=（2+1）2-4=5，
x=-1时y有最小值，是-4，
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象可得函数的最值是解题的关键．
9．A
【分析】
画出图形求解即可．
【详解】
解：
∵三角尺DEF绕着点F按逆时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），BA∥DE，
∴旋转角＝90°+45°﹣30°＝105°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转变换，平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.
10．D
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取BC的中点O，连接OP、OA，然后求出OP＝CB＝2，利用勾股定理列式求出OA，然后根据三角形的三边关系可知当O、P、A 三点共线时，AP的长度最小．
【详解】
解：在正方形ABCD中，
∴AB＝BC，∠BAE＝∠ABC＝90°，
在△ABE和△BCF中，
∵AB BC BAE ABC AE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△BCF （SAS ），
∴∠ABE ＝∠BCF ，
∵∠ABE+∠CBP ＝90°
∴∠BCF+∠CBP ＝90°
∴∠BPC ＝90°
如图，取BC 的中点O ，连接OP 、OA ，
则OP ＝1
2BC ＝2，
在Rt △AOB 中，OA
根据三角形的三边关系，OP+AP≥OA ，
∴当O 、P 、A 三点共线时，AP 的长度最小，
AP 的最小值＝OA ﹣OP
＝2．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系. 确定出AP 最小值时点P 的位置是解题关键，也是本题的难点.
11．y ＝﹣212
x +1 【分析】
直接根据平移规律作答即可．
【详解】
解：抛物线y ＝﹣12x 2向上平移1个单位长度得到抛物线的解析式为y ＝﹣12
x 2+1， 故答案为：y ＝﹣12
x 2+1． 【点睛】
本题考查了函数图像的平移. 要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求解析式.
12．58°
【解析】
【分析】
根据圆周角定理得到∠BAD=∠BCD=32°，∠ADB=90°，根据互余的概念计算即可．
【详解】
由圆周角定理得,∠BAD=∠BCD=32°，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴90,ADB ∠=
∴903258.ABD ∠=-=
故答案为58.
【点睛】
考查圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
13．k≤14
且k≠﹣2 【解析】
【分析】
因为一元二次方程有实数根，所以△≥0且k+2≠0，得关于k 的不等式，求解即可．
【详解】
∵关于x 的一元二次方程（k+2）x 2﹣3x+1=0有实数根，∴△≥0且k+2≠0，即（﹣3）2﹣4（k+2）×1≥0且k+2≠0，整理得：﹣4k ≥﹣1且k+2≠0，∴k 14≤
且k≠﹣2． 故答案为k 14
≤
且k≠﹣2． 【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式．解决本题的关键是能正确计算根的判别式．本题易忽略二次项系数不为0．
14．40°或70°或100°．
【分析】
根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．先连结AP，如图，由旋转的性质得OP=OB，则可判断点P、
C在以AB为直径的圆上，利用圆周角定理得∠BAP=1
2∠BOP=1
2
α，∠ACP=∠ABP=90°﹣
1 2α，∠APC=∠ABC=70°，然后分类讨论：当AP=AC时，∠APC=∠ACP，即90°﹣1
2
α=70°；
当PA=PC时，∠PAC=∠ACP，即1
2α+20°=90°﹣1
2
α，；当CP=CA时，∠CAP=∠CAP，即1
2
α+20°=70°，再分别解关于α的方程即可．
【详解】
连结AP，如图，
∵点O是AB的中点，∴OA=OB，∵OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到
OP，∴OP=OB，∴点P在以AB为直径的圆上，∴∠BAP=1
2∠BOP=1
2
α，∠APC=∠ABC=70°，
∵∠ACB=90°，∴点P、C在以AB为直径的圆上，∴∠ACP=∠ABP=90°﹣1
2
α，∠APC=∠ABC=70°，
当AP=AC时，∠APC=∠ACP，即90°﹣1
2
α=70°，解得α=40°；
当PA=PC时，∠PAC=∠ACP，即1
2α+20°=90°﹣1
2
α，解得α=70°；
当CP=CA时，∠CAP=∠CPA，即1
2
α+20°=70°，解得α=100°，
综上所述，α的值为40°或70°或100°．故答案为40°或70°或100°．
考点：旋转的性质.
15．
【详解】
试题分析：连接BC与AO交于点D，根据菱形的性质可得AO⊥BC，根据∠OBA=120°可
得：∠AOB=30°，根据二次函数图象上的点的性质可得点B 的坐标为(1，则OA=2OD=2
BC=2BD=2，则菱形的面积=12×AO×BC=1
2×考点：二次函数的性质
16．102°
【分析】
根据圆内接四边形的性质可直接得出结论
【详解】
∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∠A=102°
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠DCE=∠A=102°
故答案为102°
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，得出相应角的关系是解决问题的关键
17．x ＝2或x ＝4
【分析】
将等式右边进行提取公因数3，然后移项利用因式分解法求解可得.
【详解】
解：∵（x ﹣2）（x ﹣1）﹣3（x ﹣2）＝0，
∴（x ﹣2）（x ﹣4）＝0，
则x ﹣2＝0或x ﹣4＝0，
解得x ＝2或x ＝4．
故答案为：x ＝2或x ＝4.
【点睛】
本题考查了因式分解法. 主要有提公因式法，运用公式法，分组分解法和十字相乘法.
18．m 0）
【分析】
首先将点
）的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得m 的值，再令抛物线中y ＝0，可得出关于x 的一元二次方程，即可求得抛物线与x 轴的另一交点的坐标．
【详解】
解：根据题意得，5
﹣10＝0，
所以m
得抛物线的解析式为y ＝x 2
﹣10，
∵x 2
﹣10＝0，
解得x 1
x 2＝
∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标（
）．
故答案为：m
）.
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点：从二次函数的交点式12()()y a x x x x =--（a ，
b ，
c 是常数，a≠0）中可直接得出抛物线与x 轴的交点坐标1(,0)x ，2(,0)x .
19．（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2存在，点M 的坐标为（
3），（1
3）或（2，﹣3）
【分析】
（1）二次函数y ＝ax 2+bx ﹣3的顶点坐标为(1，﹣4)，可以求得a 、b 的值，从而可以得到该函数的解析式；
（2）根据(1)中求得的函数解析式可以得到点C 的坐标，再根据S △MAB ＝S △CAB ，即可得到点M 的纵坐标的绝对值等于点C 的纵坐标的绝对值，从而可以求得点M 的坐标．
【详解】
解：（1）∵二次函数y ＝ax 2+bx ﹣3的顶点坐标为(1，﹣4)， ∴1234
b a a b ⎧-=⎪⎨⎪+-=-⎩，得12a b =⎧⎨=-⎩， ∴该函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；
（2）该二次函数图象上存在点M ，使S △MAB ＝S △CAB ，
∵y ＝x 2﹣2x ﹣3＝(x ﹣3)(x+1)，
∴当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x＝3或x＝﹣1，
∵二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A、B与y轴交于点C，
∴点A的坐标为(﹣1,0)，点B的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,﹣3)，
∵S△MAB＝S△CAB，点M在抛物线上，
∴点M的纵坐标是3或﹣3，
当y＝3时，3＝x2﹣2x﹣3，得x1＝x2＝1
当y＝﹣3时，﹣3＝x2﹣2x﹣3，得x3＝0或x4＝2；
∴点M的坐标为，(1或(2,﹣3)．
故答案为：（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，点M的坐标为，(1或(2,﹣3). 【点睛】
本题考查了二次函数与方程，几何知识的综合运用. 将函数知识与方程，几何知识有机地结合起来，这类试题难度较大. 解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质，定理和二次函数的知识.
20．（1）见解析；（2）8．
【解析】
试题分析：（1）连接OD，则有∠1=∠2，而∠2=∠3，得到∠1=∠3，因此OD∥BC，又由于∠C=90°，所以OD⊥AD，即可得出结论．
（2）根据OD⊥AD，则在RT△OAD中，OA2=OD2+AD2，设半径为r，AD=15，AE=9，得到（r+9）2=152+r2，解方程即可．
（1）证明：连接OD，如图所示：
∵OD=OB，
∴∠1=∠2，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OD∥BC，
而∠C=90°，
∴OD⊥AD，
∴AC与⊙O相切于D点；
（2）解：∵OD⊥AD，
∴在RT△OAD中，OA2=OD2+AD2，又∵AD=15，AE=9，设半径为r，
∴（r+9）2=152+r2，
解方程得，r=8，
即⊙O的半径为8．
考点：切线的判定．
21．（1）画图见解析；（2；（3）41
4π.
【解析】
试题分析：（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用勾股定理列式求OB，再利用弧长公式计算即可得解；
（3）利用勾股定理列式求出OA，再根据AB所扫过的面积=S扇形A1OA+S△A1B1O-S扇形
B1OB
-S△AOB=S扇形A1OA-S扇形B1OB求解，再求出BO扫过的面积=S扇形B1OB，然后计算即可得解．试题解析：（1）△A1OB1如图所示；
（2）由勾股定理得，
所以，点B所经过的路径长=
（3）由勾股定理得，
∵AB 所扫过的面积=S 扇形A1OA +S △A1B1O -S 扇形B1OB -S △AOB =S 扇形A1OA -S 扇形B1OB
BO 扫过的面积=S 扇形B1OB ，
∴线段AB 、BO 扫过的图形的面积之和=S 扇形A1OA -S 扇形B1OB +S 扇形B1OB ，
=S 扇形A1OA ，
414
π= 考点：1.作图-旋转变换；2.勾股定理；3.弧长的计算；4.扇形面积的计算．
22．（1）()()221802000150120120005090x x x y x x ⎧-++≤⎪=⎨-+≤≤⎪⎩
＜；（2）第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）41.
【分析】
（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案.
（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案.
（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于4800，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．
【详解】
（1）当1≤x ＜50时，()()2200240302180200y x x x x =-+-=-++，
当50≤x≤90时，()()2002903012012000y x x =--=-+，
综上所述：()()221802000150120120005090x x x y x x ⎧-++≤⎪=⎨-+≤≤⎪⎩
＜. （2）当1≤x ＜50时，二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，
当x=45时，y 最大=-2×
452+180×45+2000=6050， 当50≤x≤90时，y 随x 的增大而减小，
当x=50时，y 最大=6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元.
（3）解2218020004800x x -++≥，结合函数自变量取值范围解得2050x ≤<， 解120120004800x -+≥，结合函数自变量取值范围解得5060x ≤≤
所以当20≤x≤60时，即共41天，每天销售利润不低于4800元．
【点睛】
本题主要考查了1.二次函数和一次函数的应用（销售问题）；2.由实际问题列函数关系式；
3. 二次函数和一次函数的性质；
4.分类思想的应用．
23．（1）k≥3
2
；（2）k=
3
2
．
【分析】
（1）利用一元二次方程的根的判别式就可以得到关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围；
（2）|x1|=x2，即方程的两根相等或互为相反数，当两根相等时判别式△=0；当方程的两根互为相反数时，两根的和是0，利用根与系数的关系可以得到关于k的方程，然后解方程即可求出k的值．
【详解】
解：（1）△=[-（k+1）]2-4（1
4
k2+1）=2k-3，
∵当△≥0，方程有两个实数根，∴2k-3≥0，
∴k≥3
2
，
∴当k≥3
2
时，方程有两个实数根；
（2）由|x1|=x2，
①当x1≥0时，得x1=x2，∴方程有两个相等实数根，∴△=0，即2k-3=0，
∴k=3
2
．
又当k=3
2
时，有x1=x2=
5
4
＞0
∴k=3
2
符合条件；
②当x1＜0时，得x2=-x1，∴x1+x2=0
由根与系数关系得k+1=0，∴k=-1，
由（1）知，与当k≥32
矛盾， ∴k=-1舍去，
综上可得，k=32
． 【点睛】
解答此题要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系和一元二次方程根与系数的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根；
（4）x 1+x 2= b a
-； （5）x 1•x 2= c a
．
24．（1）（2）作图见解析；（3）． 【分析】 （1）利用平移的性质画图，即对应点都移动相同的距离．
（2）利用旋转的性质画图，对应点都旋转相同的角度．
（3）利用勾股定理和弧长公式求点B 经过（1）、（2）变换的路径总长．
【详解】
解：（1）如答图，连接AA 1，然后从C 点作AA 1的平行线且A 1C 1=AC ，同理找到点B 1，分别连接三点，△A 1B 1C 1即为所求．
（2）如答图，分别将A 1B 1，A 1C 1绕点A 1按逆时针方向旋转90°，得到B 2，C 2，连接B 2C 2，△A 1B 2C 2即为所求．
（3）∵112?BB B B ===，
∴点B 所走的路径总长=． 考点：1．网格问题；2．作图（平移和旋转变换）；3．勾股定理；4．弧长的计算． 25．（1）二次函数的表达式为2y x 2x 3=-++；（2）存在，P 点的坐标为3)2
，；（3）点P 的坐标为315()24
，，BPC △的面积最大值为278． 【分析】
（1）根据待定系数法，可求得函数解析式；
（2）根据菱形的对角线互相平分，可得P 点的纵坐标，根据函数值与自变量的关系，可得答案；
（3）根据面积的和，可得二次函数，根据二次函数的性质即可求出答案．
【详解】
（1）将B 、C 两点坐标代入得9303b c c -++=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩
所以二次函数的表达式为2y x 2x 3=-++．
（2）如图，
存在点P ，使四边形POP ＇C 为菱形．
设P 点坐标为2(23)x x x -++，
，PP ＇交CO 于E ， 若四边形POP ＇C 是菱形，则有PC=PO ．
连接PP ＇则PE CO ⊥于E
∴OE=CE=32
， ∴32
y =．
∴2323=2x x -++，解得1x =，2x =（不合题意，舍去） ∴P 点的坐标为3)2
， （3）如图，
过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ，设P 2(23)x x x -++，
，易得，直线BC 的解析式为3y x =-+，则点Q 的坐标为(3)x x -+，
． 1122BPC BPQ CPQ S S S QP BF QP OF =+=⨯+⨯△△△2213327(3)3()2228
x x x =-+⨯=--+ 当32x =时，BPC △的面积最大，此时点P 的坐标为315()24
，，BPC △的面积最大值为278． 【点睛】
本题考查了二次函数综合，利用待定系数法求函数的解析式；利用菱形的性质以及利用面积的和得出二次函数是解题的关键．
26．；（2），证明详见解析；（3）结论不变，，理由详见解析.
【分析】
（1）如图①中，结论：，只要证明△AEF 是等腰直角三角形即可．（2）如图②
中，结论：，连接EF ，DF 交BC 于K ，先证明△EKF ≌△EDA 再证明△AEF 是
等腰直角三角形即可．（3）如图③中，结论不变，，连接EF ，延长FD 交AC 于K ，先证明△EDF ≌△ECA ，再证明△AEF 是等腰直角三角形即可．
【详解】
解：（1）如图①中，结论：．
理由：∵四边形ABFD 是平行四边形，
∴AB=DF ，
∵AB=AC ，
∴AC=DF ，
∵DE=EC ，
∴AE=EF ，
∵∠DEC=∠AEF=90°，
∴△AEF 是等腰直角三角形， ∴
．
（2）如图②中，结论：
． 理由：连接EF ，DF 交BC 于K ． ∵四边形ABFD 是平行四边形， ∴AB ∥DF ，
∴∠DKE=∠ABC=45°，
∴EKF=180°﹣∠DKE=135°，
∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°， ∴∠EKF=∠ADE ，
∵∠DKC=∠C ，
∴DK=DC ，
∵DF=AB=AC ，
∴KF=AD ，
在△EKF 和△EDA 中，
{EK DK
EKF ADE KF AD
=∠=∠=，
∴△EKF ≌△EDA ，
∴EF=EA ，∠KEF=∠AED ，
∴∠FEA=∠BED=90°，
∴△AEF 是等腰直角三角形，
∴
．
（3）如图③中，结论不变，
． 理由：连接EF ，延长FD 交AC 于K ． ∵∠EDF=180°﹣∠KDC ﹣∠EDC=135°﹣∠KDC ，
∠ACE=（90°﹣∠KDC ）+∠DCE=135°﹣∠KDC ， ∴∠EDF=∠ACE ，
∵DF=AB ，AB=AC ，
∴DF=AC
在△EDF 和△ECA 中，
DF AC
EDF ACE DE CE
=∠=⎪∠⎧⎪⎨⎩=，
∴△EDF ≌△ECA ，
∴EF=EA ，∠FED=∠AEC ，
∴∠FEA=∠DEC=90°，
∴△AEF 是等腰直角三角形，
∴
．
【点睛】
本题考查四边形综合题，综合性较强．。