高考数学 大题狂练系列(第01期)综合模拟练03 理

综合模拟练03
1．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足： 21n n S a =-. （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设1111n n n n n a a b a a ++=
-+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证： 1
3
n T <. 【答案】（1）*13n
n a n N ⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
，（2）见解析
试题解析：（Ⅰ）解：当1n =时， 1121a a =-，所以11
3
a =
， 当2n ≥时， 1n n n a S S -=-，即12n n n a a a -=-+， 13n n a a -=， 11
3
n n a a -=， 所以数列{}n a 是首项为
13，公比也为1
3
的等比数列， 所以1
*111·333n n
n a n N -⎛⎫
⎛⎫==∈ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，. （Ⅱ）证明： 11
11
111113311
1131311133
n n n n n n n n n n n a a
b a a +++++=
-=-=-+-+-+-． 由
11
1111
313313n n n n +++-，，
所以11
1111
313133n n n n n b ++=
-<-
+-， 所以122231111111
11133333333
n n n n n T b b b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++
+<-+-+
+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭．
因为1103n +-
<，所以1
111333n +-<，即1
3
n T <． 点睛：给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用关系式
11,1{
,2
n n n S n a S S n -==-≥时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合
在一起.
2．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A ⊥底面ABC ， 160A AC ∠=︒， 124AC AA ==，点D ， E 分别是1AA ， BC 的中点
.
（1）证明： //DE 平面11A B C ；
（2）若2AB =， 60BAC ∠=︒，求直线DE 与平面11ABB A 所成角的正弦值.
【答案】（1）详见解析；（2
）
55
.
试题解析：
（1）证明：取AC 的中点F ，连接DF ， EF ， E 是BC 的中点， ∴ //EF AB ， 111ABC A B C -是三棱柱， ∴ 11//AB A B ，
∴ 11//EF A B ， ∴ //EF 平面11A B C ，
D 是1AA 的中点， ∴ 1//DF A C ， ∴ //DF 平面11A B C ，
∴平面//DEF 平面11A B C ， ∴ //DE 平面11A B C ；
分别以OB ， OC ， 1OA 为x 轴， y 轴， z 轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -， 由题设可得()0,1,0A -， ()0,3,0C ，
)
B
，
(1A ，
10,2D ⎛- ⎝⎭，
3,02E ⎫⎪⎪⎝⎭
， 设()111,,m x y z =是平面11ABB A 的一个法向量， 则10,{
0,
m AB n AA ⋅=⋅= ∴
11110,0,
y y +==令11z =， ∴ ()
1,3,1m =
-，
32,DE ⎛= ⎝⎭， ∴ cos
,m DE = 55m DE m DE ⋅-
=， ∴直线DE 与平面11ABB A 所成角的正弦值为
55
.
点睛：(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；
②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．
运用空间向量，将线面角转化为直线的方向向量与平面法向量夹角，考查化归思想与方程思想．利用空间向量求线面角有两种途径：一是求斜线和它在平面内射影的方向向量的夹角(或其补角)；二是借助平面的法向量．
3．某班为了提高学生学习英语的兴趣，在班内举行英语写、说、唱综合能力比赛，比赛分为预赛和决赛2个阶段，预赛为笔试，决赛为说英语、唱英语歌曲，将所有参加笔试的同学（成绩得分为整数，满分100分）进行统计，得到频率分布直方图，其中后三个矩形高度之比依次为4:2:1，落在的人数为12人．
（Ⅰ）求此班级人数；
（Ⅱ）按规定预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，已知甲乙两位选手已经取得决赛资格，参加决赛的选手按抽签方式决定出场顺序．
（i）甲不排在第一位乙不排在最后一位的概率；
（ii）记甲乙二人排在前三位的人数为，求的分布列和数学期望．
【答案】（I）；（II）（i）；（ii）分布列见解析，期望为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，参加决赛的选手共6人，
（i ）设“甲不在第一位，乙不在最后一位”为事件，
则，
所以甲不在第一位、乙不在最后一位的概率为．
（ii ）随机变量的可能取值为0,1,2，
，
，，
随机变量的分布列为：
因为
，
所以随机变量的数学期望为1．
4．如图，设椭圆1C ： 22221(0)x y a b a b
+=>>，长轴的右端点与抛物线2C ： 2
8y x =的焦点F 重合，且
椭圆1C ．
（Ⅰ）求椭圆1C 的标准方程；
（Ⅱ）过F 作直线l 交抛物线2C 于A ， B 两点，过F 且与直线l 垂直的直线交椭圆1C 于另一点C ，求
ABC ∆面积的最小值，以及取到最小值时直线l 的方程．
【答案】（Ⅰ）
2214
x y +=; （Ⅱ）ABC ∆面积的最小值为9， 2x y =+.
试题解析：
（Ⅰ）∵椭圆1C ： 22221(0)x y a b a b
+=>>，长轴的右端点与抛物线2C ： 2
8y x =的焦点F 重合，
∴2a =，
又∵椭圆1C c =， 1b =，
∴椭圆1C 的标准方程为2
214
x y +=．
ABC ∆面积(
)
22
1611241
m S AB CF m +=⋅=+
t =，则()321643t S f t t ==-， ()()
(
)
422
21649'43
t t f t t -=-， 令()'0f t =，则294t =
，即29
14
m +=时， ABC ∆面积最小，
即当2
m =±
时， ABC ∆面积的最小值为9， 此时直线l
的方程为2x y =+．
5．已知函数()()()ln ,x
f x e x a x a x a R =-+++∈.
（1）当1a =时，求函数()f x 的图象在0x =处的切线方程； （2）若函数()f x 在定义域上为单调增函数. ①求a 最大整数值；
②证明： 23
341ln2ln ln ln 231n
n e n e +⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
+++
+< ⎪ ⎪ ⎪
-⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭. 【答案】（1）10x y -+=；（2）①2；②见解析．
试题解析：（1）当1a =时， ()()()1ln 1x
f x e x x x =-+++，∴()01f =，
又()()ln 1x
f x e x =-+'，∴()01f '=，
则所求切线方程为1y x -=，即10x y -+=. （2）由题意知， ()()ln x
f x e x a =-+'，
若函数()f x 在定义域上为单调增函数，则()0f x '≥恒成立. ①先证明1x e x ≥+.设()1x
g x e x =--，则()1x
g x e '=-，
则函数()g x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，
∴()()00g x g ≥=，即1x
e x ≥+.
同理可证ln 1x x ≤-，∴()21ln x x +≤+,∴()1ln 2x
e x x ≥+≥+.
当2a ≤时， ()0f x '>恒成立.
当3a ≥时， ()01ln 0f a =-<'，即()()ln 0x
f x e x a '=-+≥不恒成立.
综上所述， a 的最大整数值为
2.
6．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线2
2:sin 4cos C ρθθ=.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建
立直角坐标系xOy ，曲线C
的参数方程为122
{2
x t
y =+=（t 为参数）.
（1）求12,C C 的直角坐标方程；
（2）C 与12,C C 交于不同四点，这四点在C 上的排列顺次为,,,P Q R S ，求PQ RS -的值. 【答案】（1）()2
211x y -+=， 2
4y x =（2）
11
3
【解析】（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==， 由2cos ρθ=得2
2cos ρρθ=，
所以曲线1C 的直角坐标方程为()2
211x y -+=， 由2
sin 4cos ρθθ=得2
2
sin 4cos ρθρθ=， 所以曲线2C 的直角坐标方程为： 2
4y x =. （2）
不妨设四个交点自下而上依次为,,,P Q R S ，它们对应的参数分别为1234,,,t t t t .
则210∆=>， 231t t +=-， 所以()()()21432314811133
PQ RS t t t t t t t t -=---=+-+=+=. 点睛：考察极坐标参数方程化普通方程，对于直线要特别注意直线参数方程中t 的几何意义，借助t 的意义来表示线段长会很方便.
7．选修4－5：不等式选讲
已知函数()243f x x a x =-++．
（Ⅰ）若a ＝2时，解不等式： ()22f x >；
（Ⅱ）对任意实数x ，不等式()34f x a ≥+恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）7{|5}3
x x x -或; （Ⅱ）(],2-∞.
【解析】试题分析：（Ⅰ）当2a =时，原不等式即224322x x -++>，分类讨论去掉绝对值号，即可求解不等式的解集； （Ⅱ）利用绝对值不等式得到2334a a +≥+，去掉绝对值号，即可求解实数a 的取值范围.
（Ⅱ）()f x 2x a 4x 32x a 2x 32x 323a =-++=-++++≥+
当x 3=-时， ()min f x 23a =+，依题意23a 3a 4+≥+，
所以()3
{2334a a a ≥-+≥+或()3
{2334a a a <--+≥+，解得3a 2-≤≤或a 3<-，
所以实数a 的取值范围为(],2∞-。