人教版高中数学选修2-1练习：2-4-2抛物线的简单几何性质

4 课后课时精练
一、选择题
1 2
的焦点坐标是 ()
1. 抛物线 y ＝－8x
A. (0 ，－ 4)
B. (0，－ 2)
C. (－1， 0)
D. (－ 1
，0)
2
32 分析：此题主要考察由抛物线方程求焦点坐标． 抛物线方程可化
成 x 2＝－ 8y ，所以焦点坐标为 (0，－ 2)，应选 B.
答案： B
2. 已知点 P(6，y)在抛物线 y 2
＝2px(p>0)上，若点 P 到抛物线焦 点
F
的距离等于
8，则焦点
F 到抛物线准线的距离等于
(
)
A. 2
B. 1
C. 4
D. 8
分析： 此题主要考察抛物线的焦点到准线的距离．抛物线
y 2＝
2px(p>0)的准线为
p
x ＝－2，由于
P(6，y)为抛物线上的点，所以
P 到
p
焦点 F 的距离等于它到准线的距离， 所以 6＋2＝8，所以 p ＝4，焦点
F 到抛物线准线的距离等于 4，应选 C.
答案： C
3. [2014 湖·南省长沙一中期中 ]已知抛物线 x 2＝2py(p>0)的焦点为
|AF|
F ，过 F 作倾斜角为 30°的直线，与抛物线交于 A ，B 两点，若 |BF|∈
，则 |AF|＝()
(0,1) |BF|
1
1
A. 5
B. 4
C.
1 D. 1
3 2
分析：此题主要考察直线与抛物线的地点关系．
由于抛物线的焦
p
3 p
x 2－ 2 3
点为 (0，2)，直线方程为 y ＝
3 x ＋2，与抛物线方程联立得
3 px
－p 2＝0，解方程得 x A ＝－ 3
3p ，所以 |AF| |x A | 1 3 p ，x B ＝ |BF|＝|x B |＝3.应选 C.
答案： C
4. 过抛物线 y 2
＝4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A ，B 两点，点 O
为原点，若 |AF|＝ 3，则△ AOB 的面积为 (
)
A.
2 B.
2
2
C. 3
2 D. 2
2
2
分析：此题主要考察抛物线中基本量的计算与运用基本量之间的
关系解决问题的能力． 依据题意画出简图， 设∠ AFx ＝θ(0<θ<π)及|BF|
＝m ，则点 A 到准线 l ：x ＝－ 1 的距离为 3，得： 3＝2＋3cos θ? cos θ
＝ 1，又 m ＝2＋mcos( π－ θ)? m ＝ 2 ＝ 3
，△ AOB 的面积为 S ＝ 1
3 1＋cos θ 2
2 × 1
3 2 2 3 2 × × θ＝× × ＋
2
)
× ＝ ，应选 C. |OF| |AB| sin
21(3
3
2
答案： C
5. [2012 四·川高考 ]已知抛物线对于 x 轴对称，它的极点在座标原点 O ，而且经过点 M(2，y 0)．若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3，则
|OM|＝(
)
A. 2 2
B. 2 3
C. 4
D. 2 5
分析： 由题意可设抛物线方程为 y 2
＝2px.
p
由 |MF|＝2＋2＝3得 p＝2，
∴抛物线方程为 y2＝4x.
∴点 M 为 (2，±22)，|OM|＝4＋8＝23，应选 B.答案： B
．·课标全国卷Ⅰ
]已知抛物线：2＝x 的焦点为 F，A(x ，
6 [2014C y0
5
y0)是 C 上一点， |AF|＝4x0，则 x0＝()
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
分析：此题考察抛物线的定义和考生的计算能力．由题意知抛物
线的准线为
15
x0，依据抛物线的定义可得
1 x＝－ .由于 |AF|＝x0＋＝444
5
|AF|＝4x0，解得 x0＝1，应选 A.
答案： A
二、填空题
7． [2014 ·陕西延安一模 ] 在平面直角坐标系xOy 中，有必定点A(2,1)，若线段OA 的垂直均分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是 ________．
1分析：以下图，线段OA 所在的直线方程为y＝2x，此中垂线5
方程为 2x＋y－2＝0，
55
∴令 y＝0，得 x＝4，即 F(4，0)．
∴ p＝5
2， y2＝5x，其准线方程为x＝－54.
5
答案： x＝－4
8.[2014 江·苏盐城月考 ] 已知过点 P(4,0)的直线与抛物线 y2＝4x 相交于 A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则 y21＋y22的最小值是 ________．分析：当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝4，代入 y2＝4x，得交点为 (4,4)，(4，－ 4)，∴ y21＋y22＝16＋16＝32；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－4)，与y2＝4x 联立，消去 x 得 ky2－4y－16k＝0，
4
由题意知 k≠0，则 y1＋y2＝k，y1y2＝－ 16.
∴ y12＋y22＝(y1＋y2)2
16
－2y1y2＝2＋32>32.
k
综上知， (y2＋y2)＝32，
1 2 min
9. [2014 湖·南高考 ]平面上一机器人在前进中一直保持与点F(1,0)的距离和到直线 x＝－ 1 的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为 k 的直线，则 k 的取值范围是 ________．
分析：此题以实质应用问题为载体，考察抛物线方程、直线方程
及直线与抛物线的地点关系等知识，联合方程思想、数形联合思想和转变思想求解实质问题．由题意可知机器人的轨迹为一抛物线，其轨迹方程为 y2＝4x，过点 P(－1,0)且斜率为 k 的直线方程为y＝k(x＋1)，由题意知直线与抛物线无交点，联立消去 y 得 k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，2242
则＝(2k－4)－4k <0，所以k >1，得k>1或k<－1.
三、解答题
10.
如右图，已知直线 l：y＝2x－4 交抛物线 y2＝4x 于 A、B 两点，试在抛物线 AOB 这段曲线上求一点 P，使△ PAB 的面积最大，并求出这个最大面积．
y＝ 2x－4，
解：由
y2＝4x，
解得 A(4,4)、B(1，－ 2)，∴ |AB|＝3 5，
设 P(x0，y0)为抛物线 AOB 这条曲线上一点， d 为 P 到直线 AB 的距离．
|2x 0－y 0－4| 1 y 02
1
2
d ＝ 5
＝ 5|2 －y 0－4|＝2 5|(y 0－1)
－9|，
∵－ 2<y 0 ，∴ (y 0－1)2－9<0.
<4
∴ d ＝2 1
5[9－(y 0－1)2]．
9
进而当
y
＝1 时，
d
max
＝
2 5
，
S max ＝1×
9
×3 5＝27
.
2 2 5 4
1 27
所以，当 P 为(4，1)时，△ PAB 的面积获得最大值，最大值为 4 .
11. [2014 ·江西师大附中期中考试 ] 已知抛物线 y 2
＝2px(p>0)的焦
点为 F ，点 P 是抛物线上的一点，且其纵坐标为
4，|PF|＝4.
(1)求抛物线的方程；
(2)设点 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(y i ≤0，i ＝1,2)是抛物线上的两点，∠
APB 的角均分线与 x 轴垂直，求直线 AB 的斜率；
(3)在(2)的条件下，若直线 AB 过点 (1，－ 1)，求弦 AB 的长． 解： (1)设 P(x
，由于 ＝ ，由抛物线的定义得
＋p
＝4， 0
,4) |PF| 4
x 0 2
又 4
2
＝2px 0，所以 x 0＝8p ，所以 8
p ＋
p
2＝4，解得 p ＝4，
所以抛物线的方程为 y 2
＝8x.
(2)由(1)知点 P 的坐标为 (2,4)，由于∠ APB 的角均分线与 x 轴垂
直，
所以 PA ，PB 的倾斜角互补，即 PA ，PB 的斜率互为相反数．设直线
PA 的斜率为 k ，则 PA ：y －4＝k(x －2)．由题意知 k ≠0，把 x ＝y
k ＋
2－4k 代入抛物线方程得 y 2－8k y －16＋32k ＝0，该方程的
解为 4，y1，
由根与系数之间的关系得y ＋4＝8
，即 y ＝
8
－4.
1k1k
由于 PB 的斜率为－ k，所以 y2＝8－4，
－ k
所以 k ＝y2－y18
＝－ 1.
＝
AB x2－x1y2＋y1
(3)联合 (2)可得直线 AB 的方程为 y＝－ x，
代入抛物线方程得A(0,0)，B(8，－ 8)，故 |AB|＝8 2.
12.[2014 ·福建高考 ]已知曲线Γ上的点到点 F(0,1)的距离比它到直线 y＝－ 3 的距离小 2.
(1)求曲线Γ的方程；
(2)曲线Γ在点 P 处的切线 l 与 x 轴交于点 A，直线 y＝3 分别与直线 l 及 y 轴交于点 M，N.以 MN 为直径作圆 C，过点 A 作圆 C 的切线，切点为 B.尝试究：当点 P 在曲线Γ上运动 (点 P 与原点不重合 ) 时，线段 AB 的长度能否发生变化？证明你的结论．
解：解法一： (1)设 S(x，y)为曲线Γ上随意一点，
依题意，点 S 到 F(0,1)的距离与它到直线 y＝－ 1 的距离相等．所以曲线Γ是以点 F(0,1)为焦点、直线 y＝－ 1 为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为 x2＝4y.
(2)当点 P 在曲线 Γ上运动时，线段 AB 的长度不变．证明以下：
由 (1)知抛物线 Γ的方程为 y ＝
1
4x 2
，设 P(x 0，y 0)(x 0≠ 0)，则 y 0＝
1
4x 20，
由 y ′＝
1
，得切线
l 的斜率 ＝ ′|＝ ＝1
，所以切线 l 的方程为 y
2
x
k y x x 0 2x 0 1
1 1
－y 0＝ x 0(x －x 0)，即 y ＝ x 0x － x 02
.
2
2
4 y ＝ 1 1 2
1
2 x 0x － x 0，
由
4 得 A(2x 0,0)．
y ＝0
1
1 2
得 M(1x 0＋ 6
，3)．
由 y ＝2x 0x －4x 0，
2
x 0
y ＝3
1
3
又 N(0,3)，所以圆心 C(4x 0＋x 0，3)，
半 径 r ＝
1 |MN| ＝ | 1 x 0 ＋ 3
|，|AB|＝
|AC|2－r 2
＝
2 4 x 0
[ 1x 0－
1
x 0＋ 3 2
＋32
－ 1
x 0＋ 3 2＝ 6.
2 4 x 0 4 x 0
所以点 P 在曲线 Γ上运动时，线段 AB 的长度不变．
解法二： (1)设 S(x，y)为曲线Γ上随意一点，
则 |y－(－3)|－x－2＋y－2＝2，
依题意，点 S(x，y)只好在直线 y＝－ 3 的上方，所以y>－3，所以x－2＋y－2＝y＋1，
化简得，曲线Γ的方程为x2＝4y.
(2)同解法一．。