高考数学(理)二轮专题复习知能提升演练：选修4-1几何证明选讲 Word版含解析[ 高考]

选修4－1 几何证明选讲
一、填空题
1．如图所示，过⊙O 外一点P 作一条直线与⊙O 交于A ，B 两点．已知P A ＝2， 过点P 的⊙O 的切线长PT ＝4，则弦AB 的长为________．
解析 由切割线定理知PT 2＝P A ·PB ， ∴PB ＝42
2＝8.
∴弦AB 的长为PB －P A ＝8－2＝6.
答案 6
2．如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3 cm,4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD
DA ＝________.
解析 AB ＝32＋42＝5，由BC 2＝BD ·BA 知BD ＝16
5，
∴DA ＝5－165＝95.∴BD DA ＝169.
答案 16
9
3．如图，△ABC ∽△AFE ，EF ＝8，且△ABC 与△AFE 的相似比是3∶2，则BC 等于________．
解析 ∵△ABC ∽△AFE ，∴BC EF ＝3
2.又EF ＝8，∴BC ＝12.
答案 12
4．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，且AD ∶BD ＝9∶4，则AC ∶BC 的值为________．
解析 因为∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，所以由射影定理，得AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫AC BC 2＝AD ·AB BD ·
AB ＝AD BD . 因为AD ∶BD ＝9∶4，所以AC ∶BC ＝3∶2.
答案 3∶2
5．如图所示，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝________.
解析 利用相交弦定理及射影定理求解．
由题意知，AB ＝6，AE ＝1，∴BE ＝5.
∴CE ·DE ＝DE 2＝AE ·BE ＝5.
在Rt △DEB 中，∵EF ⊥DB ，
∴由射影定理得DF ·DB ＝DE 2＝5.
答案 5
6．如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若P A＝1，AB＝2，PO ＝3，则⊙O的半径r＝________.
解设⊙O的半径为r(r＞0)，
∵P A＝1，AB＝2，∴PB＝P A＋AB＝3.
延长PO交⊙O于点C，
则PC＝PO＋r＝3＋r.
设PO交⊙O于点D，
则PD＝3－r.
由圆的割线定理知，P A·PB＝PD·PC，
∴1×3＝(3－r)(3＋r)，则r＝ 6.
答案 6
7．(2013·广东高考)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝________.
解析因为AB为圆O的直径，所以AC⊥BC.又BC＝CD，所以△ABD是等腰三角形，所以AD＝AB＝6，
∠DAC ＝∠BAC .因为CE 切圆O 于点C .
∴∠ECA ＝∠ABC .
又∠BAC ＋∠ABC ＝90°，
∴∠DAC ＋∠ECA ＝90°，故CE ⊥AD ， 故CD 2＝DE ·DA ＝2×6＝12，所以BC ＝CD ＝2 3
答案 2 3
8．(2013·湖北高考)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ，若AB ＝3AD ，则CE
EO 的值为________．
解析 设圆O 的直径AB ＝2R ，则AD ＝2R 3，DO ＝R 3，DB ＝4R
3. 由相交弦定理，得CD 2＝AD ·DB ，所以CD ＝22
3R .
在Rt △CDO 中，CO ＝R ，由射影定理可得EO ＝DO 2CO ＝R 9，于是CE ＝R －R 9＝8R 9，故CE EO ＝8.
答案 8
二、解答题
9．如图，已知圆上的弧
，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，
证明：(1)∠ACE＝∠BCD；
(2)BC2＝BE·CD.
证明(1)因为，所以∠ABC＝∠BCD. 又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.
(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，
所以△BDC∽△ECB，故BC
BE＝
CD
BC，即BC
2＝BE·CD.
10．(2013·辽宁高考)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.
证明：(1)∠FEB＝∠CEB；
(2)EF2＝AD·BC.
证明(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.
由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝π
2；又EF⊥AB，得
∠FEB＋∠EBF＝π2.
从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.
(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，
得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.
同理可证Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.
又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，
所以EF2＝AD·BC.
11．(2013·课标全国Ⅰ)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.
(1)证明：DB ＝DC ；
(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．
(1)证明 如图，连接DE ，交BC 于点G . 由弦切角定理，得∠ABE ＝∠BCE ，
而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，所以BE ＝CE . 又因为DB ⊥BE ，所以DE 为圆的直径，∠DCE ＝90°.
由勾股定理可得DB ＝DC .
(2)解 由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ， 故DG 是BC 边的中垂线，所以BG ＝32.
设DE 的中点为O ，连接BO ，则∠BOG ＝60°，从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°， 所以CF ⊥BF ，故Rt △BCF 外接圆的半径为32.。