2018-2019学年高中新三维一轮复习理数江苏专版：课时

课时跟踪检测（四十八） 曲线与方程
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．方程(x ＋y －1)x －1＝0表示的曲线是______________． 解析：由(x ＋y －1)x －1＝0，得{ x ＋y －1＝0，
x －1≥0或x －1＝0，即x ＋y －1
＝0(x ≥1)或x ＝1.所以方程表示的曲线是射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和直线x ＝1.
答案：射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和直线x ＝1
2．(2018·中山模拟)平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB ―→⊥BC ―→，
则动点C 的轨迹方程为________．
解析：由题意得AB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC ―→＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ，y 2，由AB ―→⊥BC ―→，得AB ―→·BC ―→
＝0，即
2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·y
2
＝0，所以动点C 的轨迹方程为y 2
＝8x .
答案：y 2
＝8x
3．(2018·江苏太湖高级中学检测)若动点P (x ，y )满足条件|
x ＋
2
＋y 2
－
x －
2
＋y 2
|＝6，则点P 的轨迹是________．
解析：|x ＋
2
＋y 2
－
x －
2
＋y 2
|＝6表示点P 到(4,0)，(－4,0)两点的距离
的差的绝对值为6，根据定义得点P 轨迹是双曲线．
答案：双曲线
4．设点A 为圆(x －1)2
＋y 2
＝1上的动点，PA 是圆的切线，且PA ＝1，则P 点的轨迹方程为________．
解析：如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连结MA ，PM ，则MA ⊥
PA ，且MA ＝1，又因为PA ＝1，
所以PM ＝MA 2
＋PA 2
＝2， 即PM 2
＝2，所以(x －1)2
＋y 2
＝2. 答案：(x －1)2
＋y 2
＝2
5．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )，满足PA ―→·PB ―→＝x 2
－6，则动点P 的轨迹方程是________．
解析：因为动点P (x ，y )满足PA ―→·PB ―→＝x 2
－6， 所以(－2－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2
－6，即y 2
＝x ， 所以动点P 的轨迹方程是y 2
＝x . 答案：y 2
＝x
6．已知定点A (4,0)和圆x 2＋y 2
＝4上的动点B ，动点P (x ，y )满足OA ―→＋OB ―→＝2OP ―→，
则点P 的轨迹方程为________．
解析：设B (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨
⎪⎧
4＋x 0＝2x ，
y 0＝2y ，
得⎩⎪⎨
⎪⎧
x 0＝2x －4，y 0＝2y ，
代入圆方程得(2x －4)2＋4y 2
＝4， 即(x －2)2
＋y 2
＝1. 答案：(x －2)2
＋y 2
＝1
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知方程ax 2
＋by 2
＝1的曲线经过点(0,2)与(1，2)，则a ＋b 为________．
解析：由题意得⎩
⎪⎨
⎪⎧
4b ＝1，
a ＋2
b ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1
2，b ＝1
4，
所以a ＋b ＝3
4.
答案：3
4
2．长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动，AC ―→＝2CB ―→
，则点C 的轨迹方程为________________．
解析：设C (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则a 2
＋b 2
＝9，① 又AC ―→＝2CB ―→
，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝3x ，
b ＝3
2
y ，②
代入①式整理可得x 2
＋y 2
4＝1.
答案：x 2
＋y 2
4
＝1
3．已知A (－1,0)，B (1,0)两点，过动点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若MN ―→2＝λAN ―→·NB ―→
，当λ＜0时，动点M 的轨迹为________．
解析：设M (x ，y )，则N (x,0)，所以MN ―→2＝y 2
，λAN ―→·NB ―→＝λ(x ＋1,0)·(1－x,0)＝λ(1－x 2
)，所以y 2
＝λ(1－x 2
)，即λx 2
＋y 2
＝λ，变形为x 2
＋y 2
λ＝1.又因为λ＜0，所
以动点M 的轨迹为双曲线．
答案：双曲线
4．设圆(x ＋1)2＋y 2
＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段
AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为________．
解析：因为M 为AQ 垂直平分线上一点， 则AM ＝MQ ，
所以MC ＋MA ＝MC ＋MQ ＝CQ ＝5，
故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝5
2，c ＝1，
则b 2
＝a 2
－c 2
＝
214
， 所以椭圆的方程为4x 2
25＋4y
2
21＝1.
答案：4x 2
25＋4y
2
21
＝1
5．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP ―→＝2PA ―→，且OQ ―→·AB ―→
＝1，则点P 的轨迹方程是________．
解析：设A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0. 由BP ―→＝2PA ―→
，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )， 即a ＝3
2x ＞0，b ＝3y ＞0.
即AB ―→＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32x ，3y ，
点Q (－x ，y )，故由OQ ―→·AB ―→
＝1， 得(－x ，y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ＝1， 即32
x 2＋3y 2
＝1. 故所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2
＝1(x ＞0，y ＞0)．
答案：32
x 2＋3y 2
＝1(x ＞0，y ＞0)
6．已知动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，则动圆圆心Q 的轨迹方程为__________________．
解析：设Q (x ，y )．因为动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4， 所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫MN 22
＋|x |2＝AQ 2
，
所以22＋|x |2＝(x －2)2＋y 2，整理得y 2
＝4x . 所以动圆圆心Q 的轨迹方程是y 2
＝4x . 答案：y 2
＝4x
7．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 和点M (－2,0)，N (2,0)满足|MN ―→|·|MP ―→
|＋MN ―→·NP ―→
＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为________．
解析：因为|MN ―→|·|MP ―→|＋MN ―→
·NP ―→＝0， 所以4
x ＋
2
＋y 2
＋4(x －2)＝0，
化简变形，得y 2
＝－8x . 答案：y 2
＝－8x
8．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC ―→＝OA ―→＋t (OB ―→－OA ―→
)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是________．
解析：设C (x ，y )，则OC ―→＝(x ，y )，OA ―→＋t (OB ―→－OA ―→
)＝(1＋t,2t )，所以
{ x ＝t ＋1，y ＝2t 消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.
答案：y ＝2x －2
9．已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP ―→＝22
PB ―→
，求点P 的轨迹方程．
解：设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )，由已知知AP ―→＝22PB ―→
，
又AP ―→＝(x －x 0，y )，PB ―→
＝(－x ，y 0－y )， 所以x －x 0＝－22x ，y ＝2
2
(y 0－y )， 得x 0＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
1＋
22x ，y 0＝(1＋2)y . 因为AB ＝1＋2， 即x 2
0＋y 2
0＝(1＋2)2
， 所以⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋
22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2
， 化简得x 2
2
＋y 2
＝1.
即点P 的轨迹方程为x 2
2
＋y 2
＝1.
10．已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；
(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．
解：(1)如图，设动圆圆心为O
1(x ，y )， 由题意O 1A ＝O 1M ，
当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ， 则H 是MN 的中点． 所以O 1M ＝x 2
＋42
， 又O 1A ＝x －2
＋y 2
，
所以
x －
2
＋y 2
＝x 2
＋42
，化简得y 2
＝8x (x ≠0)．
当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2
＝8x ， 所以动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2
＝8x .
(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x
1，
y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x ，
得k 2x 2
＋(2kb －8)x ＋b 2
＝0. 则Δ＝－32kb ＋64>0. 且x 1＋x 2＝8－2kb
k
2
，① x 1x 2＝b 2
k
，②
因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2
x 2＋1
， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，
(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③
将①②代入③得2kb 2
＋(k ＋b )(8－2kb )＋2k 2
b ＝0， 所以k ＝－b ，此时Δ>0，
所以直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校
在平面直角坐标系xOy 中，已知两点M (1，－3)，N (5,1)，若点C 的坐标满足OC ―→
＝
t OM ―→＋(1－t )ON ―→
(t ∈R)，且点C 的轨迹与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点．
(1)求证：OA ⊥OB ；
(2)在x 轴上是否存在一点P (m,0)，使得过点P 任作一条抛物线的弦，并以该弦为直径的圆都过原点．若存在，求出m 的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：由OC ―→＝t OM ―→＋(1－t )ON ―→
(t ∈R)，可知点C 的轨迹是M ，N 两点所在的直线，
所以点C 的轨迹方程为y ＋3＝1－
－
5－1
(x －1)，
即y ＝x －4.
联立⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x －4
，y 2
＝4x ，化简得x 2
－12x ＋16＝0,
设C 的轨迹方程与抛物线y 2
＝4x 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16，
y 1y 2＝(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝－16，
因为OA ―→·OB ―→
＝x 1x 2＋y 1y 2＝16－16＝0, 所以OA ⊥OB .
(2)假设存在这样的P 点，并设AB 是过抛物线的弦，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其方程为x ＝ny ＋m ，
代入y 2
＝4x 得y 2
－4ny －4m ＝0, 此时y 1＋y 2＝4n ，y 1y 2＝－4m ， 所以k OA k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 214
·y 2y 224
＝
16y 1y 2＝－4
m
＝－1，
所以m ＝4(定值)，故存在这样的点P (4,0)满足题意． 设AB 的中点为T (x ，y )，
则y ＝12(y 1＋y 2)＝2n ，x ＝12(x 1＋x 2)＝12(ny 1＋4＋ny 2＋4)＝n 2
(y 1＋y 2)＋4＝2n 2
＋4，消去
n 得y 2＝2x －8.。