高考数学试卷含答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 下列各式中，不是等差数列的是（）
A. 2, 5, 8, 11, 14
B. 3, 6, 9, 12, 15
C. 1, 4, 7, 10, 13
D. 1, 3, 6, 10, 15
答案：D
2. 已知函数f(x) = 2x + 3，若f(a) = 11，则a的值为（）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
答案：B
3. 下列各式中，正确的是（）
A. sin 60° = √3/2
B. cos 45° = √2/2
C. tan 30° = √3/2
D. cot 60° = √3/2
答案：B
4. 若向量a = (2, 3)，向量b = (1, 2)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）
A. 1/2
B. √3/2
C. 1/√3
D. √3/2
答案：C
5. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(2)的值为（）
A. -1
B. 0
C. 1
D. 3
答案：A
6. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则sin C的值为（）
A. √3/2
B. √2/2
C. 1/2
D. √6/4
答案：B
7. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a3 = 5，a7 = 13，则a1的值为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：A
8. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得极小值，则a、b、c应满足的条件是（）
A. a > 0, b > 0, c > 0
B. a < 0, b < 0, c < 0
C. a > 0, b < 0, c > 0
D. a < 0, b > 0, c < 0
答案：C
9. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点Q的坐标为（）
A. (3, 2)
B. (2, 3)
C. (1, 4)
D. (4, 1)
答案：A
10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，则f'(x) = （）
A. 3x^2 - 6x + 4
B. 3x^2 - 6x - 4
C. 3x^2 - 6x + 1
D. 3x^2 - 6x - 1
答案：A
11. 在△ABC中，已知a = 5，b = 7，c = 8，则cos B的值为（）
A. 5/7
B. 7/5
C. 8/7
D. 8/5
答案：A
12. 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，若a3 = 27，a6 = 243，则a1的值为（）
A. 1
B. 3
C. 9
D. 27
答案：A
二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
13. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a3 = 7，a5 = 11，则a1 = __________。

答案：2
14. 若函数f(x) = 2x - 3在x = 2时取得极大值，则f(2) = __________。

答案：1
15. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (-2, 1)，则向量a与向量b的数量积为
__________。

答案：-5
16. 在直角坐标系中，点P(3, -2)关于原点的对称点Q的坐标为 __________。

答案：(-3, 2)
17. 若函数f(x) = x^2 - 2x + 1在x = 1时取得极值，则极值为 __________。

答案：0
18. 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，若a3 = 16，a6 = 64，则a1 = __________。

答案：2
19. 在△ABC中，已知a = 6，b = 8，c = 10，则sin A的值为 __________。

答案：3/5
三、解答题（本大题共4小题，共100分）
20. （本小题满分15分）已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的单调区间。

解答：f'(x) = 2x - 4，令f'(x) = 0，得x = 2。

当x < 2时，f'(x) < 0，函数f(x)单调递减；当x > 2时，f'(x) > 0，函数f(x)单调递增。

所以f(x)的单调递减区间为(-∞, 2)，单调递增区间为(2, +∞)。

21. （本小题满分20分）已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a3 = 7，
a7 = 13，求a1和d。

解答：由等差数列的性质得，a7 = a3 + 4d，代入已知条件得13 = 7 + 4d，解得
d = 1。

又a3 = a1 + 2d，代入已知条件得7 = a1 + 2，解得a1 = 5。

22. （本小题满分20分）在直角坐标系中，已知点P(2, 3)和点Q(-3, 4)，求线
段PQ的长度。

解答：根据两点间的距离公式，|PQ| = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2] = √[(-3 - 2)^2 + (4 - 3)^2] = √(25 + 1) = √26。

23. （本小题满分45分）已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求f(x)的极值。

解答：f'(x) = 3x^2 - 6x + 4，令f'(x) = 0，得x = 1或x = 2/3。

当x < 1/3时，f'(x) > 0，函数f(x)单调递增；当1/3 < x < 1时，f'(x) < 0，函数f(x)
单调递减；当x > 1时，f'(x) > 0，函数f(x)单调递增。

所以f(x)在x = 1/3处取得极大值，f(1/3) = (1/3)^3 - 3(1/3)^2 + 4(1/3) - 1 = 2/27；f(x)在x =
1处取得极小值，f(1) = 1^3 - 31^2 + 41 - 1 = 1。