【初高中】四川省南江四中高一数学衔接教材 几种特殊的三角形

]四川省南江四中高一数学初高中衔接教材：几种特殊的三角形
等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC 中，三角形的内心I 、重心G 、垂心H 必然在一条直线上.
例5 在ABC 中，3, 2.AB AC BC ===求
（1）ABC 的面积ABC S 及AC 边上的高BE ；
（2）ABC 的内切圆的半径r ；
（3）ABC 的外接圆的半径R .
解 （1）如图，作AD BC ⊥于D .
,AB AC D =∴ 为BC 的中点，
122
ABC AD S ∴=∴=⨯⨯= 又1,2ABC S AC BE =⋅
解得BE =. （2）如图，I 为内心，则I 到三边的距离均为r ，
连,,IA IB IC ，
ABC IAB IBC IAC S S S S =++ ，
即111222
AB r BC r CA r =⋅+⋅+⋅，
解得2
r =（3）ABC 是等腰三角形， ∴外心O 在AD 上，连BO ，
则Rt OBD 中，,OD AD R =-222,OB BD OD =+
222)1,R R ∴=+
解得8R =
在直角三角形ABC 中，A Ð为直角，垂心为直角顶点A ， 外心O 为
斜边BC 的中点，内心I 在三角形的内部，且内切圆的半径为2
b c a
+-（其中,,a b c 分别为三角形的三边BC ,CA ,AB 的长），为什么？
该直角三角形的三边长满足勾股定理：222AC AB BC +=.
例6 如图，在ABC V 中，AB =AC ，P 为BC 上任意一点.求证：
22AP AB PB PC =-?.
证明：过A 作AD BC ^于D .
在Rt ABD V 中，222AD AB BD =-
.
在Rt APD V 中，222
AP AD DP =-. 22222()().AP AB BD DP AB BD DP BD DP \=-+=-+-
,,AB AC AD BC BD DC =^\=Q .
BD DP CD DP PC \-=-=.
22AP AB PB PC \=-?.
正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.
例7 已知等边三角形ABC 和点P ，设点P 到三边AB ，AC ，BC 的距离分别为
123,,h h h ，三角形ABC 的高为h ，“若点P 在一边BC 上，此时30h =，可得结论：
123h h h h ++=.”
请直接应用以上信息解决下列问题：
当（1）点P 在ABC V 内（如图b ），（2）点在ABC V 外(如图c)，这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，123,,h h h 与h 之间有什么样的关系，请给出你的猜想（不必证明）.
解 （1）当点P 在ABC V 内时，
法一 如图，过P 作''B C 分别交,,AB AM AC 于',','B M C ，
由题设知'AM PD PE =+，
而'AM AM PF =-， 故PD PE PF AM ++=，即123h h h h ++=.
法二 如图，连结，
ABC PAB PAC PBC S S S S =++V V V V Q ，
111122
22BC AM AB PD AC PE BC PF \????， 又AB BC AC ==， AM PD PE PF \=++，即123h h h h ++=.
（2）当点P 在ABC V 外如图位置时，
图3.2-15
123h h h h ++=不成立，猜想：123h h h h +-=.
注意：当点P 在ABC V 外的其它位置时，还有可能得到其它的结论，123h h h h -+=，123h h h h --=（如图3.2-18，想一想为什么？）等. 在解决上述问题时，“法一”中运用了化归的数学思想方法，“法二”中灵活地运用了面积的方法.
练习：
1． 直角三角形的三边长为3，4，x ,则x =________.
2． 等腰三角形有两个内角的和是100°，则它的顶角的大小是_________.
3．
已知直角三角形的周长为31，求这个三角形的面积.
4． 证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.
习题
A 组
1． 三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为 。

2． 如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_________.
3． 已知：,,a b c 是ABC 的三条边，7,10a b ==，那么c 的取值范围是_________。

4． 若三角形的三边长分别为18a 、、
，且a 是整数，则a 的值是_________。

5.如图，等边ABC 的周长为12，CD 是边AB 上的中线，
E 是CB 延长线上一点，且BD =BE ，则CDE 的周长为（）
A
．6+ B
．18+C
．6+ D
．18+6.如图，在ABC 中，2C ABC A ∠=∠=∠，BD 是边AC 上的高，求DBC
∠的度数。

7．如图，,90,o Rt ABC C M ∠= 是AB 的中点，AM =AN ，MN//AC ，求证：MN=AC 。

B 组
1． 如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，AB +BD =AC .求:B C ∠∠的值。

2． 如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且14EC BC =，求证：90o EFA ?.
3.如图，把ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则A ∠与12∠+∠之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）
A ．12A ∠=∠+∠
B ．212A ∠=∠+∠
C ．312A ∠=∠+∠
D ．32(12)A ∠=∠+∠
4.如图，在等腰Rt ABC 中90o C ∠=，D 是斜边AB 上任
一点，AE CD ⊥于E ，BF CD ⊥交CD 的延长线于F ，
CH AB ⊥于H ，交AE 于G .求证：BD =CG .。