2023-2024学年河南省南阳市淅川县九年级(上)期末数学试卷+答案解析

2023-2024学年河南省南阳市淅川县九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
2.下列说法错误的是( )
A. “水涨船高”是必然事件
B. “水中捞月”是不可能事件
C. “了解一批节能灯管的使用寿命”最适合用全面调查
D. “调查将发射的气象卫星的零部件质量”最适合用全面调查
3.关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是( )
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法确定
4.在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数的解析式为( )
A. B. C. D.
5.如图，点A、B、C在上，，连接BO并延长，交于点D，连
接AC、DC、若，则的大小为( )
A.
B.
C.
D.
6.班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号
座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻
的概率是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，与是位似图形，点O是位似中心.若，
，，则点D的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，四边形ABCD是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为若矩形HEFG与原矩形ABCD 相似，，则CD的长为( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，点F是
AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上.
则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的周长和面积分别
是( )
A. 16，6
B. 18，18
C. 16，12
D. 12，16
10.如图，抛物线与x轴相交于点、，
与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②
；③当时，；④其中正确的个
数为( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.若式子有意义，则x的取值范围是______.
12.如图，在正方形网格中，点A，B，C为网格交点，，垂足为D，则
的值为______.
13.如图，在中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的与AC
相切于点D，BD平分，，，CD的长是______. 14.如图，在扇形AOB中，，，以OB为直径作半圆，圆心
为点C，过点C作OA的平行线分别交两弧点D、E，则阴影部分的面积为______.
15.如图，在直角中，，，，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，
若要使是等腰三角形且是直角三角形，则______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.本小题12分
计算或解方程.
计算：；
计算：；
解方程：
17.本小题9分
学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随
机抽取10名学生的测试成绩单位：分进行统计：
七年级：86，94，79，84，71，90，76，83，90，
八年级：88，76，90，78，87，93，75，87，87，
整理如下：
年级平均数中位数众数方差
七年级84a90
八年级8487b
根据以上信息，回答下列问题：
填空：______，______；
A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生；
学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由.
18.本小题9分
为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居
民休憩.
如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高BC为4米，当太
阳光线AD与地面CE的夹角为时，求阴影CD的长结果精确到米；参考数据：，
，
19.本小题9分
抛实心球是丰都中考体有考试项目之一，如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时，起点处高度为，当水平距离为4m时，实心球行进至最高点处.
求y关于x的函数表达式；
根据中考体育考试评分标准男生版，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于
时，即可得满分10分.该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由.
20.本小题9分
如图，锐角内接于，射线BE经过圆心O并交于点D，连结AD，CD，BC与AD的延长
线交于点F，DF平分
求证：
若，的半径为，求DF的长.
21.本小题9分
某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元.经过市场调
查发现，该文具的每天销售数量件与销售单价元之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价元…121314…
每天销售数量件…363432…
直接写出y与x之间的函数关系式；
若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
设销售这种文具每天获利元，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
22.本小题9分
如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点点A在点B的左侧，与y轴交于点，
且，点M是抛物线上一点，且位于抛物线对称轴的左侧，过点M作轴交抛物线于点求抛物线的函数关系式；
若点M沿抛物线向下移动，使得，求点M的纵坐标的取值范围；
若点P是抛物线上对称轴右侧任意一点，点P与点A的纵坐标的差的绝对值不超过3，请直接写出点P
的横坐标的取值范围.
23.本小题9分
综合与实践
我们在没有量角器或三角尺的情况下，用折叠特殊矩形纸片的方法进行如下操作也可以得到几个相似的含有角的直角三角形.
实践操作：
第一步：如图①，矩形纸片ABCD的边长，将矩形纸片ABCD对折，使点D与点A重合，点C 与点B重合，折痕为EF，然后展开，EF与CA交于点
第二步：如图②，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线再次折叠，使CD落在对角线CA上，点D的对应点恰好与点H重合，折痕为CG，将矩形纸片展平，连接
在图②中，______，______；
在图②中，______；从图②中选择一条线段填在空白处，并证明你的结论；
拓展延伸：将上面的矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，点D的对应点落在矩形的内部或一边上，设，若，连接，的长度为m，则m的最小值是______.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：
先根据零指数幂，二次根式的加法法则，二次根式的性质，二次根式的乘法法则进行计算，再得出选项即可．
本题考查了二次根式的混合运算和零指数幂，能灵活运用二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．2.【答案】C
【解析】解：A，“水涨船高”是必然事件，说法正确，不符合题意；
B、“水中捞月”是不可能事件，说法正确，不符合题意；
C、了解一批节能灯管的使用寿命，应采用抽样调查的方式，说法不正确，符合题意；
D、调查将发射的气象卫星的零部件质量”最适合用全面调查，说法正确，不符合题意；
故选：
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可判断选项A、B；根据全面调查的适用范围作出选项C、D的判断即可．
本题主要考查随机事件、全面调查与抽样调查的知识，如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．如：个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行普查．其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用
于实验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．如：某一天，全国人均讲话的次数，便无法进行普查．3.【答案】C
【解析】解：，，，
，
方程没有实数根．
故选：
先确定a、b、c的值，在计算即可．
此题考查了根的判别式，一元二次方程中根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等
于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解．
4.【答案】B
【解析】解：将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得
函数的解析式为，即
故选：
直接运用平移规律“左加右减，上加下减”解答．
主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．5.【答案】C
【解析】解：，
，，
是的直径，
，
，
故选：
由平行线的性质得，由平行线的性质和圆周角定理得，由圆周角定理得，再由直角三角形的性质即可得出答案．
本题考查了圆周角定理、平行线的性质以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理和平行线的性质是解
题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：
列表为：
ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB
BACD BADC CABD CADB DABC DACB
BCAD BDAC CBAD CDAB DBAC DCAB
BCDA BDCA CBDA CDBA DBCA DCBA
4个A中每个各有6种等可能的结果数，共有24种等可能的结果数，其中A，B两位同学座位相邻的结果数为12，
故A，B两位同学座位相邻的概率是
故选：
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目
m，然后利用概率公式求事件A或B的概率.
7.【答案】A
【解析】解：，，
，
与是位似图形，
相似为AB：：：，
与是位似图形，点O是位似中心，
点D的坐标为，即
故选：
先计算出AB的长，再利用位似的性质得到相似比为1：，然后根据以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把A点的横纵坐标都乘以得到D点坐标．
本题考查了位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点；在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或
8.【答案】C
【解析】解：设，
四边形ABCD是矩形，
，，
由折叠得：，，，
四边形ADHE是矩形，
，
四边形ADHE是正方形，
，
矩形HEFG与原矩形ABCD相似，
，
，
解得：或，
经检验：或都是原方程的根，
，
，
，
故选：
设，根据矩形的性质可得，，再根据折叠的性质可得：
，，，从而可得四边形ADHE是正方形，然后利用正方形的性质可得，最后利用相似多边形的性质，进行计算即可解答．
本题考查了相似多边形的性质，解一元二次方程-公式法，矩形的性质，翻折变换折叠问题，正方形的判定与性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：由平移的性质可知，，
四边形CFDE是平行四边形，
在中，，，，
，
在中，，，点F是AB的中点，
，
，点F是AB的中点，
，，
点D是AC的中点，
，
点F是AB的中点，点D是AC的中点，
是的中位线，
，
四边形CFDE的周长为，
四边形CFDE的面积为
故选：
先论证四边形CFDE是平行四边形，再分别求出CF，CD，DF，继而用平行四边形的周长公式和面积公式求出即可．
本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理等知识，推到四边形FDE是平行四边形和DF是的中位线是解决问题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：由图象可得，
该抛物线与x轴有两个交点，则，故①正确；
抛物线与x轴相交于点、，
该抛物线的对称轴是直线，
，
，故②正确；
由图象可得，当时，或，故③错误；
当时，，故④正确；
故选：
根据二次函数的性质和图象中的数据，可以分别判断出各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11.【答案】且
【解析】解：由题意得且，
解得且，
故答案为：且
根据分式的分母不为0和二次根式的被开平方数大于等于0进行求解．
此题考查了分式和二次根式定义的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
12.【答案】
【解析】解：如图，连接AC，
在中，，
，
，
即，
解得，
在中，，
，
故答案为：
先利用等面积法求出AD，在中，再利用勾股定理求出BD，利用正切的定义求出即可．本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，解题的关键熟记三角函数的定义并灵活运用．
13.【答案】
【解析】解：与AC相切于点D，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
故答案为：
根据切线的性质可得，再根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得：，从而可
得，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得
，进而可得，再利用角平分线的定义可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，含30度角的直角三角形，解直角三角形，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：连接OE，BE，如图，
，，
，
，，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为
连接OE，如图，利用，得到，再证明是等边三角形，然后根据扇形面积公式，利用进行计算．
本题考查了扇形面积的计算：，也考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积计算；求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
15.【答案】或
【解析】解：①如图1中，当，时，设，
，
∽，
，
，
，
②当，时，设
∽，
，
，
综上所述，满足条件的AQ的值为或
分两种情形分别求解：①如图1中，当，时，②当，时；本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论
的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
16.【答案】解：
；
；
，
，
，
，
【解析】按照从左到右的顺序进行计算，即可解答；
先化简各式，然后再进行计算即可解答；
利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答．
本题考查了解一元二次方程-公式法，二次根式的混合运算，实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】85 87 七
【解析】解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为，
八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数，
A同学得了86分，大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：85，87，七；
人，
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为220人；
我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，
理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好．
根据中位数和众数的定义即可求出答案；
分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可；
两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可．
本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
18.【答案】解：过A作于T，于K，如图：
在中，
米，米，
，
四边形ATCK是矩形，
米，米，
在中，
，
米，
米，
阴影CD的长约为米．
【解析】过A作于T，于K，在中，米，
米，可得米，米，而，知米，故米．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度．
19.【答案】解：根据题意设y关于x的函数表达式为，
把代入解析式得：，
解得：，
关于x的函数表达式为；
该男生在此项考试中不能得满分，理由：
令，则，
解得：，舍去，
，
该男生在此项考试中能得满分．
【解析】根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可．
本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程为题．
20.【答案】证明：四边形ABCD为的内接四边形，
，
，
，
，，
，
平分，
，
，
；
解：是的直径，
，
，
令，，
的半径为，
，
，
，
，
，，
由可知，，
，
∽，
，
，
，
【解析】由圆内接四边形的性质推出，由对顶角的性质得到，由圆
周角定理推出，得到，由角平分线定义得到，推出，即可证明；
由圆周角定理得到，由锐角的正切定义得到，令，
，由勾股定理得到，求出，得到，，由∽
，推出，即可求出
本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，关键是由圆周角定理，圆内接四边形的性质推出，由∽，推出
21.【答案】解：设y与x之间的函数关系式为，由所给函数图象可知：
，
解得：，
故y与x的函数关系式为；
根据题意得：
，
解得：，
又，
，
答：销售单价应为18元．
，
抛物线开口向下，
对称轴为直线，
当时，w随x的增大而增大，
当时，w有最大值，
答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元．
【解析】设y与x之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式；
依据利润=单件利润销售量列出方程，解答即可；
根据利润=单件利润销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值．
本题考查二次函数的应用，关键是根据利润=单件利润销售量列出函数解析式．
22.【答案】解：，
，
又，
，
，为抛物线上的点，
将，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
由知抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
，N关于对称轴直线对称；
当时，M到直线的距离为4，
，
在中，令得；
当时，M到直线的距离为，
，
在中，令得；
时，点M的纵坐标取值范围是；
的纵坐标为0，点P与点A的纵坐标的差的绝对值不超过3，
，
，
在中，令得，
解得或，
在中，令得，
解得或，
如图：
由图可得，点P与点A的纵坐标的差的绝对值不超过3，且点P是抛物线上对称轴右侧任意一点，
则点P的横坐标的取值范围是
【解析】由，，可得，用待定系数法可得抛物线的解析式为
；
由轴，知M，N关于对称轴直线对称；当时，N到直线的距离为4，故，即可得；当时，；可得时，点N的纵
坐标取值范围是；
由A的纵坐标为0，点P与点A的纵坐标的差的绝对值不超过3，知，在
中，令得或，令得或，画出图形观察即可得到答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，一元二次方程等知识，
熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合思想是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
，
四边形ABCD是矩形，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
故答案为：，；
，理由如下：
设，
由可得：，，
，
，
，
在中，，
在中，，
在中，，
，，
，
故答案为：AE；
如图，
，
点在以C为圆心，CD为半径的圆弧上运动，
，
，
的最小值是
可得，，，从而得出结果；
设，则，，，从而得出结论；
点D在以C为圆心，CD为半径的圆弧上运动，可得出的最小值，进而得出结果．
本题考查了矩形的性质，解直角三角形，轴对称的性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练地解直角三角形．。