中考数学一轮复习第八章 二元一次方程组(讲义及答案)附解析

中考数学一轮复习第八章 二元一次方程组(讲义及答案)附解析
一、选择题
1．小月去买文具，打算买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，她与售货员的对话如下,那么一支笔和一本笔记本应付（ ）
小月:您好,我要买5支签字笔和3本笔记本 售货员:好的,那你应付款52元
小月:刚才我把两种文具的单价弄反了,以为要付44元
A ．10元
B ．11元
C ．12元
D ．13元 2．三元一次方程5x y z ++=的正整数解有（ ）
A ．2组
B ．4组
C ．6组
D ．8组
3．某单位采购小李去商店买笔记本和笔，他先选定了笔记本和笔的种类，若买25本笔记本和30支笔，则他身上的钱缺30元；若买15本笔记本和40支笔，则他身上的钱多出30元．（ ）
A ．若他买55本笔记本，则会缺少120元
B ．若他买55支笔，则会缺少120元
C ．若他买55本笔记本，则会多出120元
D ．若他买55支笔，则会多出120元
4．已知关于x ，y 的方程组35,4522x y ax by -=⎧⎨+=-⎩和234,
8
x y ax by +=-⎧⎨-=⎩有相同解，则a ，b 的值
分别为（ ）
A ．2-，3
B ．2，3
C ．2-，3-
D ．2，3-
5．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作。

在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的。

《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数,x y 的系数与相应的常数项。

把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是
3219
423x y x y +=⎧⎨
+=⎩
，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中x 的值为3，则被墨水所覆盖的图形为
A ．
B ．
C ．
D ．
6．小兰：“小红，你上周买的笔和笔记本的价格是多少啊？”小红：“哦，…，我忘了！只记得先后买了两次，第一次买了 5 支笔和 10 本笔记本共花了 42 元钱，第二次买了 10 文笔和 5 本笔记本共花了 30 元钱．”请根据小红与小兰的对话，求得小红所买的笔和笔 记本的价格分别是( ) A ．0.8 元／支，2.6 元／本
B ．0.8 元／支，3.6 元／本
C ．1.2 元／支，2.6 元／本
D ．1.2 元／支，3.6 元／本
7．解方程组
时，第一次消去未知数的最佳方法是( )
A ．加减法消去x ，将①－③×3与②－③×2
B ．加减法消去y ，将①＋③与①×3＋②
C ．加减法消去z ，将①＋②与③＋②
D ．代入法消去x ，y ，z 中的任何一个 8．若关于x 、y 的方程组2{44x y a
x y a
+=-=的解是方程3x 2y 10+=的一个解，则a 的值为
（ ） A ．2
B ．-2
C ．1
D ．-1
9．下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A ．(2)(3)0x y +-=
B ．-1x y =
C ．
1
32x y
=+
D ．5xy =
10．有若干只鸡和兔关在一个笼子里，从上面数，有30个头，从下面数，有84条腿﹐问笼中各有几只鸡和兔？若设笼中有x 只鸡，y 只兔，则列出的方程组为（ ）
A ．30284x y x y +=⎧⎨+=⎩
B ．30
2484x y x y +=⎧⎨+=⎩
C ．30
4284x y x y +=⎧⎨+=⎩
D ．30
284x y x y +=⎧⎨+=⎩
二、填空题
11．小红买了80分、120分的两种邮票，共花掉16元钱（两种邮票都买），则购买方案共有 种． 12． 已知21x y =⎧⎨
=⎩，是二元一次方程组8
1
mx ny nx my +=⎧⎨-=⎩的解，则m+3n 的平方根为______． 13．在某一个学校的运动俱乐部里面有三大筐数量相同的球，甲每次从第一个大筐中取出9个球；乙每次从第二个大筐中取出7个球；丙则是每次从第三个大筐中取出5个球.到后来甲、乙、丙三人都记不清各自取过多少次球了，于是管理人员查看发现第一个大筐中还剩下7个球，第二个大筐还剩下4个球，第三个大筐还剩下2个球，那么根据上述情况可以推知甲至少取了______次.
14．为响应“双十二购物狂欢节”活动，某零食店推出了甲、乙、丙三类饼干礼包，已知甲、乙、丙三类礼包均由A 、B 、C 三种饼干搭配而成，每袋礼包的成本均为A 、B 、
C 三种饼干成本之和.每袋甲类礼包有5包A 种饼干、2包B 种饼干、8包C 种饼干；每袋
丙类礼包有7包A 种饼干、1包B 种饼干、4包C 种饼干.已知甲每袋成本是该袋中A 种饼
干成本的3倍，利润率为30%，每袋乙的成本是其售价的
56，利润是每袋甲利润的49
；每袋丙礼包利润率为25%.若该网店12月12日当天销售甲、乙、丙三种礼包袋数之比为
4:6:5，则当天该网店销售总利润率为__________.
15．某科技公司推出一款新的电子产品，该产品有三种型号.通过市场调研后，按三种型号
受消费者喜爱的程度分别对A 型、B 型、C 型产品在成本的基础上分别加价20%，30%，45%出售(三种型号的成本相同).经过一个季度的经营后，发现C 型产品的销量占总销量的
3
7
，且三种型号的总利润率为35%.第二个季度，公司决定对A 型产品进行升级，升级后A 产品的成本提高了25%，销量提高了20%；B 、C 产品的销量和成本均不变，且三种产品在二季度成本基础上分别加价20%，30%，45%出售，则第二个季度的总利润率为______. 16．已知关于x 、y 的方程组135
x y a
x y a +=-⎧⎨
-=+⎩，给出下列结论：①当1a =时，方程组的解
也是方程3x y -=的解；②当x 与y 互为相反数时，1a =③不论a 取什么实数，2x y +的值始终不变；④若1
2
z xy =，则z 的最大值为1.正确的是________（把正确答案的序号全部都填上）
17．一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是2
4x y =⎧⎨=⎩和
2
4
x y =-⎧⎨
=-⎩，试写出符合要求的方程组________（只要填写一个即可）． 18．有一水池，池底有泉水不断涌出.用10台抽水机20时可以把水抽干；用15台同样的抽水机，10时可以把水抽干.那么，用25台这样的抽水机__________小时可以把水抽干.
19．若关于x 、y 的二元一次方程组316215x my x ny +=⎧⎨+=⎩的解是7
3x y =⎧⎨=⎩，则关于x 、y 的二元一
次方程组3()()16
2()()15x y m x y x y n x y ++-=⎧⎨++-=⎩
的解是__．
20．如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23 cm ，小红所搭的“小树”的高度为22 cm ，设每块A 型积木的高为x cm ，每块B 型积木的高为y cm ，则x =__________，y =__________．
三、解答题
21．对于数轴上的点A ，给出如下定义：点A 在数轴上移动，沿负方向移动a 个单位长度（a 是正数）后所在位置点表示的数是x ，沿正方向移动2a 个单位长度（a 是正数）后所在位置点表示的数是y ，x 与y 这两个数叫做“点A 的a 关联数”，记作G （A ，a ）＝{x ，y}，其中x <y ．
例如：原点O 表示0，原点O 的1关联数是G （0，1）＝{－1，+2} （1）若点A 表示－3，a ＝3，直接写出点A 的3关联数． （2）①若点A 表示－1，G （A ，a ）＝{－5，y}，求y 的值． ②若G （A ，a ）＝{－2，7}，求a 的值和点A 表示的数．
（3）已知G（A，3）＝{x，y}，G（B，2）＝{m，n}，若点A、点B从原点同时同向出发，且点A的速度是点B速度的3倍．当|y－m|＝6时，直接写出点A表示的数．
22．阅读材料并回答下列问题：
当m，n都是实数，且满足2m=8+n，就称点P（m﹣1，
2 2
n+
）为“爱心点”．
（1）判断点A（5，3），B（4，8）哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点A（a，﹣4）是“爱心点”，请求出a的值；
（3）已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组
3
33
x y p q
x y p q
⎧+=+
⎪
⎨
-=-
⎪⎩
解为坐标的点B（x，y）是“爱心点”，求p，q的值．
23．如图①，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，直线OC上所有的点坐标(,)
x y，都是二元一次方程40
x y
-=的解，直线AC上所有的点坐标(,)
x y，都是二元一次方程26
x y
+=的解，过C作x轴的平行线，交y轴与点B．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）如图②，点M、N分别为线段BC，OA上的两个动点，点M从点C以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点N从点O以每秒1．5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒，且0＜t＜4，试比较四边形MNAC的面积与四边形MNOB的面积的大小．
24．某商贸公司有A、B两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如下表所示：
体积（立方米/件）质量（吨/件）
A型商品0．80．5
B型商品21
（1）已知一批商品有A、B两种型号，体积一共是20立方米，质量一共是10．5吨，求A、B两种型号商品各有几件？
（2）物资公司现有可供使用的货车每辆额定载重3．5吨，容积为6立方米，其收费方式有以下两种：
①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费600元；
②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费200元．
现要将（1）中商品一次或分批运输到目的地，如果两种收费方式可混合使用，商贸公司应如何选择运送、付费方式，使其所花运费最少，最少运费是多少元？
25．如图，已知∠a 和β∠的度数满足方程组223080
αββα︒
︒
⎧∠+∠=⎨∠-∠=⎩，且CD //EF,AC AE ⊥.
(1)分别求∠a 和β∠的度数；
(2)请判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由； (3)求C ∠的度数。

26．善于思考的小军在解方程组2534115x y x y +=⎧⎨+=⎩
①
②时,采用了一种“整体代换”的解法:
将方程②变形:4105x y y ++=，即()2255x y y ③++=
把方程①代入③,得2351y y ⨯+=∴=-，
把1y =-代入①,得4x =，∴原方程组的解为4
1x y =⎧⎨=-⎩
请你解决以下问题:
模仿小军的“整体代换法”解方程组325
9419
x y x y ；-=⎧⎨
-=⎩
(2)已知x y 、满足方程组2222
3212472836x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩①，②求22
4x y +与xy 的值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
设购买1支签字笔应付x 元，1本笔记本应付y 元，根据题意可得5x+3y=52和3x+5y=44，进而求出x+y 的值．
【详解】
设购买1支签字笔应付x 元，1本笔记本应付y 元，
根据题意得5352
3544x y x y +⎧⎨+⎩
＝＝，
解得8x+8y=96， 即x+y=12，
所以在单价没有弄反的情况下，购买1支签字笔和1本笔记本应付12元， 故选C ． 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
2．C
解析：C 【分析】
最小的正整数是1，当x=1时，y+z=4，y 分别取1，2,，3，此时z 分别对应3，2，1；当x=2时，y+z=3，y 分别取1，2，此时z 分别对应2，1；当x=3时，y+z=2，y 分别取1，此时z 分别对应1；依此类推，然后把个数加起来即可． 【详解】
解：当x=1时，y+z=4，y 分别取1，2,，3，此时z 分别对应3，2，1，有3组正整数解； 当x=2时，y+z=3，y 分别取1，2，此时z 分别对应2，1，有2组正整数解； 当x=3时，y+z=2，y 分别取1，此时z 分别对应1，有1组正整数解； 所以正整数解的组数共：3+2+1=6（组）． 故选：C ． 【点睛】
本题考查三元一次不定方程的解，解题关键是确定x 、y 、z 的值，分类讨论．
3．D
解析：D 【分析】
设笔记本的单价为x 元，笔的单价为y 元，根据小李身上的总额列出方程，然后变形即可求解． 【详解】
设笔记本的单价为x 元，笔的单价为y 元，根据题意得： 25x+30y-30=15x+40y+30 整理得：10x-10y=60，即x-y=6
∴()253063055210x x x +--=-，即买55个笔记本缺少210元
()256303055120y y y ++-=+，即买55支笔多出120元
故选D ． 【点睛】
本题考查了二元一次方程组，根据题意列出等量关系然后进行推导是本题的关键．
4．B
解析：B 【分析】
将两个方程组中的3x-y=5与2x+3y=-4组合成新的方程组求出x 及y ，代入另两个方程得到关于a 与b 的方程组，解方程组求解即可. 【详解】 由题意解方程组35234x y x y -=⎧⎨
+=-⎩，解得1
2x y =⎧⎨=-⎩
，
将1
2x y =⎧⎨
=-⎩
代入4522ax by +=-及ax-by=8中，得到 4102228a b a b -=-⎧⎨+=⎩，解得2
3a b =⎧⎨
=⎩， 故选：B. 【点睛】
此题考查特殊法解方程组，由两个方程组的解相同，故将含有相同字母的方程重新组合进行求解，由此解决问题.
5．C
解析：C 【分析】 根据3219
423x y x y +=⎧⎨
+=⎩
，结合图1可判断出：（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个
数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10，“||||”中的横线表示5；因此，设被墨水所覆盖的图形表示的数字为k ，列出方程组求解即可. 【详解】
由题意可知，（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10，“||||”中的横线表示5， 设被墨水所覆盖的图形表示的数字为k ，则有：
211
427
x y x ky +=⎧⎨
+=⎩ 将3x =代入可解得：5
3y k =⎧⎨=⎩
根据图形所表示的数字规律，可推出3k =代表的图形为“|||”. 故答案为：C. 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法及实际应用，根据图1和其方程组判断出图形所表示的数字是解题关键，此型题较为新颖，是近年来的常考点.
6．D
解析：D 【分析】
首先设小红所买的笔的价格是x 元/支，笔记本的价格是y 元/本，根据关键语句“第一次买了5支笔和10本笔记本共花了42元钱，”可得方程5x+10y=42，“第二次买了10支笔和5本笔记本共花了30元钱”可得方程10x+5y=30，联立两个方程，再解方程组即可. 【详解】
解：设小红所买的笔的价格是x 元/支，笔记本的价格是y 元/本，由题意得：
5104210530x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得： 1.2
3.6
x y =⎧⎨
=⎩ 故答案为D. 【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，再列出方程组即可.
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据加减消元的方法,当未知数的系数相等或互为相反数时即可进行加减消元.据此即可解题. 【详解】
解：∵三个方程中z 的系数已经相等或互为相反数,
∴第一次消去未知数的最佳方法是加减法消去z ，将①＋②与③＋② 故选C. 【点睛】
本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,熟悉加减消元法的应用条件是解题关键.
8．A
解析：A 【解析】
(1)−(2)得：6y=−3a ， ∴y=−
2
a
， 代入(1)得：x=2a ，
把y=−
2
a
，x=2a 代入方程3x+2y=10， 得：6a −a=10， 即a=2. 故选A.
9．B
解析：B
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 【详解】
解：(2)(3)0x y +-=化简得3260xy x y -+-=，最高次是2次，故A 选项错误；
-1x y =是二元一次方程，故B 选项正确；
1
32x y
=+不是整式方程，故C 选项错误； 5xy =最高次是2次，故D 选项错误．
故选：B 【点睛】
本题主要考查的是二元一次方程的概念，正确的掌握二元一次方程的概念是解题的关键．
10．B
解析：B 【分析】
设这个笼中的鸡有x 只，兔有y 只，根据“从上面数，有30个头；从下面数，有84条腿”列出方程组即可． 【详解】
解：若设笼中有x 只鸡，y 只兔， 根据题意可得：30
2484
x y x y +=⎧⎨+=⎩，
故选：B ． 【点睛】
此题考查了二元一次方程组的应用；根据题意列出方程组是解决问题的关键．
二、填空题 11．6 【分析】
设80分的邮票购买x 张，120分的邮票购买y 张，根据题意列方程
0.8x+1.2y=16，用含y 的代数式表示x 得，根据x 、y 都是整数取出x 与y 的对应值，得到购买方案. 【详解】 解：设8
解析：6 【分析】
设80分的邮票购买x 张，120分的邮票购买y 张，根据题意列方程0.8x+1.2y=16，用含y 的代数式表示x 得3
202
x y =-
，根据x 、y 都是整数取出x 与y 的对应值，得到购买方案.
解：设80分的邮票购买x张，120分的邮票购买y张，0.8x+1.2y=16，
解得
3
20
2
x y =-，
∵x、y都是正整数，
∴当y=2、4、6、8、10、12时，
x=17、14、11、8、5、2，
∴共有6种购买方案，
故答案为：6.
【点睛】
此题考查一元二次方程的实际应用，根据题意只得到一个方程时，可将方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式，然后根据未知数的要求得到对应值即可解决实际问题. 12．±3
【分析】
把x与y的值代入方程组求出m与n的值，即可求出所求．
【详解】
解：把代入方程组得：，
①×2-②得：5m=15，
解得：m=3，
把m=3代入①得：n=2，
则m+3n=3+6=9
解析：±3
【分析】
把x与y的值代入方程组求出m与n的值，即可求出所求．
【详解】
解：把
2
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
代入方程组得：
28
21
m n
n m
+=
⎧
⎨
-=
⎩
①
②
，
①×2-②得：5m=15，
解得：m=3，
把m=3代入①得：n=2，
则m+3n=3+6=9，9的平方根是±3，
故答案为：±3
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，以及平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．30
【分析】
设每框球的总数为k，甲取了a次，乙取了b次，丙取了c次．根据题意得可列方程k=9a+7=7b+4=5c+2(k，a，b，c都是正整数)，然后根据整除的性质解答即可．
【详解】
设每框
解析：30
【分析】
设每框球的总数为k，甲取了a次，乙取了b次，丙取了c次．根据题意得可列方程
k=9a+7=7b+4=5c+2(k，a，b，c都是正整数)，然后根据整除的性质解答即可．
【详解】
设每框球的总数为k，甲取了a次，乙取了b次，丙取了c次．根据题意得：
k=9a+7=7b+4=5c+2(k，a，b，c都是正整数)
∴9a+7=5c+2，
∴9a=5(c-1)，
∴a是5的倍数．
不妨设a=5m(m为正整数)，
∴k=45m+7=7b+4，
∴b=4533(1)
6
77
m m
m
++
=+，
∵b和m都是正整数，
∴m的最小值为6．
∴a=5m=30．
故答案为：30．
【点睛】
本题考查了三元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的者方程，会根据整除性进一步设未知数．
14．25%
【分析】
设每包A、B、C三种饼干的成本分别为x、y、z，从甲礼包入手，先求出
5x=y+4z，再由甲的利润率求出甲礼包的售价为19.5x，成本15x；由乙礼包所提供的条件可求出乙礼包的售价为
解析：25%
【分析】
设每包A、B、C三种饼干的成本分别为x、y、z，从甲礼包入手，先求出5x=y+4z，再由甲的利润率求出甲礼包的售价为19.5x，成本15x；由乙礼包所提供的条件可求出乙礼包的售价为12x，成本为10x；由丙礼包的条件列出丙礼包的成本为7x+y+4z=12x，进而确定丙礼包的售价为15x，成本为12x；最后再由利润率的求法求出总利润率即可．
【详解】
解：设每包A、B、C三种饼干的成本分别为x、y、z，依题意得：
5x+2y+8z=15x，
∴5x=y+4z，
由甲礼包的利润率为30%，则可求甲礼包的售价为19.5x，成本15x；
∵每袋乙的成本是其售价的5
6
，利润是每袋甲利润
4
9
，
可知每袋乙礼包的利润是：4.5x×4
9
=2x，
则乙礼包的售价为12x，成本为10x；
由丙礼包的组成可知，丙礼包的成本为：7x+y+4z=12x，∵每袋丙礼包利润率为：25%，
∴丙礼包的售价为15x，成本为12x；
∵甲、乙、丙三种礼包袋数之比为4：6：5，
∴19.54612515415610512
100%25% 415610512
x x x x x x
x x x
⨯+⨯+⨯-⨯-⨯-⨯
⨯=
⨯+⨯+⨯
，
∴总利润率是25%，
故答案为：25%．
【点睛】
本题考查三元一次方程组的应用；理解题意，能够通过已知条件逐步确定甲、乙、丙的售价与成本价是解题的关键．
15．34%
【分析】
由题意得出A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，设A 型、B型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，由题意
解析：34%
【分析】
由题意得出A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，设A型、B 型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销
量为z，由题意列出方程组，解得
1
3
x z
y z
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
；第二个季度A产品成本为(1+25%)a＝
5
4
a，
B、C的成本仍为a，A产品销量为(1+20%)x＝6
5
x，B产品销量为y，C产品销量为z，则第
二个季度的总利润率为：
56
20%30%45%
45
56
45
a x ay az
a x ay az
⨯⨯++
⨯++
＝34%.
【详解】
解：由题意得：A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，
设A型、B型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，
由题意得：
20%ax30%ay45%az35%a(x y z)
3
(x y z)z
7
++=++
⎧
⎪
⎨
++=
⎪⎩
，
解得：
1
3
x z y z
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
第二个季度A产品的成本提高了25%，成本为：(1+25%)a＝5
4
a，B、C的成本仍为a，
A产品销量为(1+20%)x＝6
5
x，B产品销量为y，C产品销量为z，
∴第二个季度的总利润率为：
56
20%30%45%
45
56
45
a x ay az
a x ay az
⨯⨯++
⨯++
＝
0.30.30.45
1.5
x y z
x y z
++
++
＝
1
0.30.30.45
3
1
1.5
3
z z z
z z z
⨯++
⨯++
＝34%，
故答案为：34%.
【点睛】
本题考查了利用二元一次方程组解实际问题，正确理解题意，设出未知数列出方程组是解题的关键.
16．①③④
【分析】
根据题目中的条件代入原来的方程组中，即可判断结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】
解：当a=1时，
，解得：，
则，
∴①错误；
当x与y互为相反数时，，得，
∴②正确；
解析：①③④
【分析】
根据题目中的条件代入原来的方程组中，即可判断结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】
解：当a=1时，
08x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：44x y =⎧⎨=-⎩
， 则()448x y -=--=，
∴①错误；
当x 与y 互为相反数时，01a =-，得1a =，
∴②正确；
∵135x y a x y a +=-⎧⎨-=+⎩，解得：322x a y a
=+⎧⎨=--⎩ ， 则()()223224x y a a +=++--=，
∴③正确； ∴()()()21132221122
z xy a a a ==+--=-++≤， 即若12z xy =
则z 的最大值为1， ∴④正确，
综上说述，正确的有：①③④，
故答案为： ①③④.
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，可以判断题目中的各个结论是否成立．
17．【分析】
从方程组的两组解入手，找到两组解之间的乘积关系为二元二次方程，倍数关系为二元一次方程，联立方程组即可.
【详解】
解：根据方程组的解可看出：xy=8，y=2x ，
∴符合要求的方程组为.
解析：28y x xy =⎧⎨=⎩
【分析】
从方程组的两组解入手，找到两组解之间的乘积关系为二元二次方程，倍数关系为二元一次方程，联立方程组即可.
【详解】
解：根据方程组的解可看出：xy =8，y =2x ，
∴符合要求的方程组为28y x xy =⎧⎨=⎩
. 【点睛】
根据未知数的解写方程组的题目通常是利用解之间的数量关系（和差关系或倍数关系等）来表示方程组的解.
18．5
【解析】
【分析】设一台抽水机1小时的抽水量为1份，泉水每小时涌进的量为x 份，原有泉水量为y 份，根据等量关系：用10台抽水机20时可以把水抽干；用15台同样的抽水机10时可以把水抽干，列出方程组
解析：5
【解析】
【分析】设一台抽水机1小时的抽水量为1份，泉水每小时涌进的量为x 份，原有泉水量为y 份，根据等量关系：用10台抽水机20时可以把水抽干；用15台同样的抽水机10时可以把水抽干，列出方程组进行求解即可得.
【详解】设一台抽水机1小时的抽水量为1份，泉水每小时涌进的量为x 份，原有泉水量为y 份，由题意得
201020101510y x y x +=⨯⎧⎨+=⨯⎩
， 解得：5100x y =⎧⎨=⎩
， 所以，用25台这样的抽水机去抽水时，泉水每小时涌出量用5台抽水机去抽，剩下的就抽原有的泉水了，
100÷（25-5）=5（小时），
故答案为：5.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找到等量关系列出方程组是解题的关键，这里要注意的是泉水是不断涌出的.
19．【解析】
分析：令x+y=a ，x-y=b ，根据已知，比较后得出a ，b 的值，从而得出结论． ．
详解：令x+y=a ，x-
y=b ，则关于x 、y 的二元一次方程组变为：．∵二元一次方程组的解是， 解析：52
x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
分析：令x +y =a ，x -y =b ，根据已知，比较后得出a ，b 的值，从而得出结论． ．
详解：令x +y =a ，x -y =b ，则关于x 、y 的二元一次方程组316215x y m x y x y n x y ++-=⎧⎨++-=⎩
（）（）（）（）变为：316215a mb a nb +=⎧⎨+=⎩．∵二元一次方程组316215x my x ny +=⎧⎨+=⎩的解是73x y =⎧⎨=⎩，∴73a b =⎧⎨=⎩
，∴73x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：52x y =⎧⎨=⎩
． 点睛：本题主要考查二元一次方程组的解法，关键是熟练掌握二元一次方程组的解法即代入消元法和加减消元法，本题要注意整体思想的运用．
20．5
【解析】
根据小强搭的积木的高度=A 的高度×
2+B 的高度×3，小红搭的积木的高度=A 的高度×
3+B 的高度×2，依两个等量关系列出方程组，再求解． 故答案为4和5．
点睛：本题考查了二元一
解析：5
【解析】
根据小强搭的积木的高度=A 的高度×2+B 的高度×3，小红搭的积木的高度=A 的高度×3+B 的高度×2，依两个等量关系列出方程组23233222x y x y +=⎧⎨
+=⎩，再求解45x y =⎧⎨=⎩
． 故答案为4和5．
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是看清图形的意思，找出等量关系列方程组求解． 三、解答题
21．（1）{－6，+3}；（2）①y=7，②a=3，点A 表示的数1；（3）-3或-21
【分析】
（1）直接根据关联数的定义解题即可；
（2）①首先根据关联数的定义求出a 的值，然后即可求解；
②通过关联数的定义建立方程组求解即可；
（3）通过关联数的定义建立关于A ，B 的方程组，然后通过A ，B 的速度的关系找到A ，B 之间的关系，最后通过解方程即可得出答案．
【详解】
（1）∵点A 表示－3，a ＝3，
336,3233x y ∴=--=-=-+⨯=+，
∴点A 的3关联数G （-3，3）＝{－6，+3}；
（2）①点A 表示－1，G （A ，a ）＝{－5，y}，
51a ∴-=--
解得4a =，
1247y ∴=-+⨯=；
②∵G （A ，a ）＝{－2，7}，
272A a A a -=-⎧∴⎨=+⎩解得13A a =⎧⎨=⎩
； （3）∵G （A ，3）＝{x ，y}，G （B ，2）＝{m ，n}，
323x A y A =-⎧∴⎨=+⨯⎩，222
m B n B =-⎧⎨=+⨯⎩． ∵点A 的速度是点B 速度的3倍，
3A B ∴=，
13
B A ∴=． 6y m -=，
()626A B ∴+--=，
即16263A A ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭
， 解得3A =-或21A =-．
【点睛】
本题主要考查定义新运算，掌握关联数的定义是解题的关键．
22．（1）A 是爱心点，B 不是，理由见解析；（2）-2；（3）20,3
p q ==-
【分析】
（1）根据“爱心点”的定义，列出方程组计算即可求解； （2）根据“爱心点”的定义，可得方程组1242
m a n -=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，先求得n ，再求得m ，进一步得到a 的值；
（3）解方程组用q 和p 表示x 和y ，代入2m =8+n ，得到关于p 和q 的等式，再根据p ，q 为有理数，求出p ，q 的值．
【详解】
（1）∵15232
m n -=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ∴64m n =⎧⎨=⎩
， ∵2×6=8+4，
∴点A 是爱心点；
∵14282
m n -=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ∴514m n =⎧⎨=⎩
， ∵2×5≠8+14，
∴点B 不是爱心点；
（2）∵1242
m a n -=⎧⎪⎨+=-⎪⎩， ∴n =﹣10，
又∵2m =8+n ，
∴2m =8+（﹣10），
解得m =﹣1，
∴﹣1﹣1=a ，即a =﹣2；
（3
）解方程组3x y q x y q ⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩
得2x q y q ⎧=-⎪⎨=⎪
⎩， 又∵点B 是“爱心点”
满足：1222m q n q ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩
，
∴142m q n q ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩
， ∵2m =8+n ，
∴22842q q -+=+-，
整理得：64q -=，
∵p ，q 是有理数，p =0，﹣6q =4，
∴ p =0， q =23-
． 【点睛】
本题主要考查了解二元一次方程组的应用、点的坐标，同时考查了阅读理解能力及迁移运用能力．
23．（1）(6,0)A ，(0,1)B ，(4,1)C ；（2）见解析．
【分析】
（1）令26x y +=中的0y = ，求出相应的x 的值，即可得到A 的坐标，将方程40x y -=和方程26x y +=联立成方程组，解方程组即可得到C 的坐标，进而可得到B 的坐标；
（2）分别利用梯形的面积公式表示出四边形MNAC 的面积与四边形MNOB 的面积，然后根据t 的范围，分情况讨论即可．
【详解】
（1）令0y =，则206x +⨯=，解得6x =，
(6,0)A ∴．
4026x y x y -=⎧⎨+=⎩ 解得41
x y =⎧⎨=⎩ (4,1)C ∴．
//BC x 轴，
∴点B 的纵坐标与点C 的纵坐标相同，
(0,1)B ∴ ；
（2）(6,0)A ，(0,1)B ，(4,1)C ，
6,4OA BC ∴==．
∵点M 从点C 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点N 从点O 以每秒1.5个单位长度的速度向右运动，
, 1.5MC t ON t ∴==，
4,6 1.5BM t NA t ∴=-=-，
11()(4 1.5)4822
MNOB S BM ON OB t t t ∴=+⋅=⨯-+⨯=+四边形， 11()(6 1.5)41222
MNAC S MC NA OB t t t =+⋅=⨯+-⨯=-+四边形． 当812t t +>-+时，即2t >时，MNOB MNAC S S >四边形四边形；
当812t t +=-+时，即2t =时，MNOB MNAC S S =四边形四边形；
当812t t +<-+时，即2t <时，MNOB MNAC S S <四边形四边形．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程及方程组的应用，数形结合并分情况讨论是解题的关键．
24．（1）A 种型号商品有5件，B 种型号商品有8件；（2）先按车收费用3辆车运送18m 3，再按吨收费运送1件B 型产品，运费最少为2000元
【分析】
（1）设A 、B 两种型号商品各x 件、y 件，根据体积与质量列方程组求解即可；
（2）①按车付费=车辆数⨯600；②按吨付费=10.5⨯200；③先按车付费，剩余的不满车的产品按吨付费，将三种付费进行比较.
【详解】
（1））设A 、B 两种型号商品各x 件、y 件，
0.82200.510.5x y x y +=⎧⎨+=⎩
，
解得58x y =⎧⎨=⎩
， 答：A 种型号商品有5件，B 种型号商品有8件；
（2）①按车收费：10.5 3.53÷=（辆），
但是车辆的容积63⨯=18<20，3辆车不够，需要4辆车，60042400⨯=（元）； ②按吨收费：200⨯10.5=2100（元）；
③先用车辆运送18m 3，剩余1件B 型产品，共付费3⨯600+1⨯200=2000（元）， ∵2400>2100>2000，
∴先按车收费用3辆车运送18m 3，再按吨收费运送1件B 型产品，运费最少为2000元.
【点睛】
此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键，（2）注意分类讨论，分别求出费用进行比较解答问题.
25．（1）50130
αβ︒
︒⎧∠=⎨∠=⎩；（2）//AB CD ，理由详见解析；（3）40° 【解析】
【分析】
（1）利用加减消元法，通过解二元一次方程组可求出∠a 和β∠的度数；
（2）利用求得的∠a 和β∠的度数可得到180αβ∠+∠=︒，于是根据平行线的判定可判断AB ∥EF ，然后利用平行的传递性可得到AB ∥CD ；
（3）先根据垂直的定义得到90CAE ∠=︒，再根据平行线的性质计算C ∠的度数.
【详解】
解（1）解方程组223080αββα︒︒⎧+=⎨∠-∠=⎩
①②， ①-②得：3150α∠=︒ ，解得：50α∠=︒
把50α∠=︒代入②得：5080β∠-︒=︒
解得：130β∠=︒；
（2）//AB CD ，
理由：∵50α∠=︒，130β∠=︒，
180αβ︒∴∠+∠=，
//AB EF ∴(同旁内角互补，两直线平行)，
又 CD//EF ，
//AB CD ∴；
（3）AC AE ⊥，
90CAE ︒∴∠=
//AB CD
180C CAB ︒∴∠+∠=
180905040
C︒
∴∠=︒-︒-︒=.
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定、解二元一次方程组，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题关键.
26．（1）方程组的解为
3
2
x
y
⎧
⎨
⎩
＝
＝
；（2）19.
【解析】
【分析】
（1）仿照小军的方法将方程②变形，把方程①代入求出y的值，即可确定出x的值；（2）方程组两方程变形后，利用加减消元法求出所求即可．
【详解】
解：（1）由②得：3（3x-2y）+2y=19③，
把①代入③得：15+2y=19，
解得：y=2，
把y=2代入①得：x=3，
则方程组的解为
3
2 x
y
⎧
⎨
⎩
＝
＝
；
（2）由①得：3（x2+4y2）-2xy=47③，
由②得：2（x2+4y2）+xy=36④，
③+④×2得：7（x2+4y2）=119，
解得：x2+4y2=17．
③×2得：6（x2+4y2）-4xy=94⑤，
④×3得：6（x2+4y2）+3xy=108⑥，
⑥-⑤得：7 xy=14
xy=2.
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．。