高考集合知识点总结及典型例题.

集合
一.【课标要求】
1.集合的含义与表示
(1通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系;
(2能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用;
2.集合间的基本关系
(1理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;
(2在具体情境中,了解全集与空集的含义;
3.集合的基本运算
(1理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;
(2理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;
(3能使用Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用
二.【命题走向】
有关集合的高考试题,考查重点是集合与集合之间的关系,近年试题加强了对集合的计算化简的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力,在解决这些问题时,要注意利用几何的直观性,注意运用Venn 图解题方法的训练,注意利用特殊值法解题,加强集合表示方法的转换和化简的训练。

考试形式多以一道选择题为主。

预测高考将继续体现本章知识的工具作用,多以小题形式出现,也会渗透在解答题的表达之中,相对独立。

具体
三.【要点精讲】
1.集合:某些指定的对象集在一起成为集合
(1集合中的对象称元素,若a 是集合A 的元素,记作;若b 不是集合A 的元素,记作;
(2集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性;
确定性:设A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是A 的元素,或者不是A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立;
互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象,因此,同一集合中不应重复出现同一元素;
无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关;
(3表示一个集合可用列举法、描述法或图示法;
列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内;
描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。

具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。

(4常用数集及其记法:
非负整数集(或自然数集,记作N ;
正整数集,记作N *或N +;
整数集,记作Z ;
有理数集,记作Q ;
实数集,记作R 。

2.集合的包含关系:
(1集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,则称A 是B 的子集(或B 包含A ,记作A B (或;
A a ∈A b ∉⊆
B A ⊂
集合相等:构成两个集合的元素完全一样。

若A B 且B A ,则称A 等于B ,记作A =B ;若A B 且A ≠B ,则称A 是B 的真子集,记作AB ; (2简单性质:1A A ;2A ;3若A B ,B C ,则A C ;4若集合A 是n 个元素的集合,则集合A 有2n 个子集(其中2n -1个真子集;
3.全集与补集:
(1包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作U ;
(2若S 是一个集合,A S ,则,=称S 中子集A 的补集;
(3简单性质:1(=A ;2S=,=S
4.交集与并集:
(1一般地,由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合,叫做集合A 与B 的交集。

交集。

(2一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,称为集合A 与B 的并集。

注意:求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。

5.集合的简单性质:
(1
(2
(3
(4;
(5(A ∩B =(A ∪(B ,(A ∪B =(A ∩(B 。

四.【典例解析】
题型1:集合的概念
(2009湖南卷理某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱兵乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__
例1.已知全集,集合和
的关系的韦恩(Venn 图如图1所示,则阴影部分所示的集合的元素共有(
A. 3个
B. 2个
⊆⊇⊆⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆S C }|{A x S x x ∉∈且S C S C S C ΦΦS C }|{B x A x x B A ∈∈=⋂且}|{B x A x x B A ∈∈=⋃或并集;,,A B B A A A A A ⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂;,A B B
A A A ⋃=⋃=Φ⋃;((
B A B A ⋃⊆⋂B B A B A A B A B A =⋃⇔⊆=⋂⇔⊆;S
C S C S C S C S C S C U R ={212}M x x =-≤-≤{21,1,2,}N x x k k ==-=
C. 1个
D. 无穷多个
解析由得,则,有2个,选B. 例2.集合,,若,则的值为
(
A.0
B.1
C.2
D.4
题型2:集合的性质
例3.集合,,若,则的值为
(
A.0
B.1
C.2
D.4
1.设全集U=R ,A={x ∈N ︱1≤x ≤10},B={ x ∈R ︱x 2+ x -6=0},则下图中阴影表示的集合
为 (
A .{2}
B .{3}
C .{-3,2}
D .{-2,3}
2. 已知集合A={y|y 2-(a 2+a+1y+a(a 2+1>0},B={y|y 2
-6y+8≤0},若A ∩B ≠φ,则实数a 的取值范围为( .
例4.已知全集,A ={1,}如果,则这样的实数是否存在?若存在,求出,若不存在,说明理由
题型3:集合的运算
例5已知函数A ,函数的定义域集合是B
(1求集合A 、B
(2若A B =B ,求实数的取值范围.
例6.已知集合,则(
A. B.
C. D.
题型4:图解法解集合问题 {212}M x x =-≤-≤31
≤≤-x {
}3,1=⋂N M {}0,2,A a ={}21,B a ={}0,1,2,4,16A B = a {}0,2,A a ={}21,B a
={}0,1,2,4,16A B = a 32
{1,3,2}S x x x =--21x -}0{=A C S x x (f x =
22(lg[(21]g x x a x a a =-+++ a }{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==N A C B
=I }{1,5,7}{3,5,7}{1,3,9}{
1,2,3
例7.(2009年广西北海九中训练已知集合M =,N =,则 (
A .
B .
C .
D .
五.【思维总结】
集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言,并用集合语言表达数学问
题,运用集合观点去研究和解决数学问题。

1.学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素,熟练运用集合的各种符号,如、、、、=、A 、∪,∩等等;
2.强化对集合与集合关系题目的训练,理解集合中代表元素的真正意义,注意利用几
何直观性研究问题,注意运用Venn 图解题方法的训练,加强两种集合表示方法转换和化简训练;解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容(即读懂问题中的集合以及各个集合之间的关系,常常根据“V enn 图”来加深对集合的理解,一个集合能化简(或求解,一般应考虑先化简(或求解;
3.确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容,解决
问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。

①区别∈与、与、a 与{a }、φ与{φ}、{(1,2}与{1,2};
② A B 时,A 有两种情况:A =φ与A ≠φ
③若集合A 中有n 个元素,则集合A 的所有不同的子集个数为,所有真子
集的个数是-1, 所有非空真子集的个数是④区分集合中元素的形式:
如; ;
;
;
;
;。

⑤空集是指不含任何元素的集合。

、和的区别;0与三者间的关系。

空集是
任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。

条件为,在讨论的时候不要遗忘了的情况。

⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=+149|22y x x ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+123|y x y =N M ∅}0,2(,0,3{([]3,3-
{}2,3∈∉⊆S C ⊆⊆(N n ∈n
2n 222-n }12|{2++==x x y x A }12|{2++==x x y y B }12|,{(2++==x x y y x
C }12|{2++==x x x x
D },,12|,{(2Z y Z x x x y y x
E ∈∈++==}12|',{(2++==x x y y x
F },12|{2x
y z x x y z G =++==}0{φ}{φB A ⊆φ=A
⑥符号“”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现点与直线(面的关系 ;符号“”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现面与直线(面的关系。

逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科,是人们认识和研究问题不可缺少的工具,是为了培养学生的推理技能,发展学生的思维能力
∉∈,,⊄Ø。