导数法巧妙切入,三角单调性应用

２０２３年９月上半月㊀学习指导
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导数法巧妙切入,三角单调性应用
◉江苏省宿迁中学㊀王腾飞
㊀㊀摘要:借助导数法来解决数学问题,无中生有,巧妙转化,可以优化过程,快捷处理,提高效益．而在解决与三角函数单调性有关的数学问题时,经常借助导数法来处理,能达到更加简单快捷的目的,为数学教学与解题研究提供参考．关键词:导数;三角函数;单调性;参数值;函数值
㊀㊀导数法是解决三角函数问题的一种创新的 神技妙法 ．特别是在一些与三角函数单调性有关的问题中,借助导数的应用,结合三角函数的导函数在相应区间上函数值的非负(或非正)性质,巧妙解决问题,减少数学运算,优化解题过程,提升解题效益．
１单调性的判定
例１㊀(２０２０年高考数学全国卷Ⅱ理科第２１题)已知函数f(x)＝s i n２x s i n２x,讨论f(x)在区间(０,π)的单调性．
分析:根据题目条件,对三角函数f(x)进行求导处理,利用三角恒等变换加以恒等变形,结合导函数零点的确定以及导函数在相应区间上的正负取值情况,进而判定三角函数的单调性．
解析:由f(x)＝s i n２x s i n２x,得
fᶄ(x)＝(s i n x s i n x s i n２x)ᶄ＝c o s x(s i n x s i n２x)＋s i n x(s i n x s i n２x)ᶄ＝２s i n x c o s x s i n２x＋２s i n２x c o s２x＝２s i n x s i n３x．
因为xɪ(０,π),所以由fᶄ(x)＝０,可得s i n３x＝０,于是在区间(０,π)上可得x＝π３或x＝２π３．
当xɪ(０,π３)ɣ(２π３,π)时,fᶄ(x)＞０;当xɪ(π３,２π３)时,fᶄ(x)＜０．
所以函数f(x)在区间(０,π３),(２π３,π)上单调递增,在区间(π３,２π３)上单调递减．
点评:对于三角函数中单调性的判定,除了最为常见的利用三角函数的图象与性质,借助导数法,回归函数本质,也是一种非常不错的技巧方法．利用导数法来判定三角函数的单调性问题,也是通过求导处理,结合导函数零点的确定以及导函数的正负取值情况,来判定相应区间上的单调性．
２参数值的确定
例２㊀若三角函数f(x)＝s i n x－c o s x在区间[－a,a]上是增函数,则实数a的最大值是(㊀㊀)．
A．π４㊀㊀㊀B．π２㊀㊀㊀C．３π４㊀㊀㊀D．π
分析:根据题目条件,对三角函数f(x)进行求导
处理,结合辅助角公式的应用,利用增函数的背景构建不等式恒成立问题,利用三角函数y＝s i n(x＋π４)
的图象与性质,数形结合,快捷确定相应的参数值．
解析１:由题意,可得f(x)＝s i n x－c o s x＝２s i n(x－π４)．
由２kπ－π２ɤx－π４ɤ２kπ＋π２,kɪZ,解得２kπ－π４ɤxɤ２kπ＋３π４,kɪZ．
所以,函数f(x)的单调递增区间为２kπ－π４,
é
ë
êê
２kπ＋３π４ùûúú,kɪZ．当k＝０时,单调递增区间为－π４,３π４
é
ë
êêù
û
úú,因此,要使得f(x)在[－a,a]是增函数,只需满足０＜aɤπ４,则a的最大值是π４．故选:A．
解析２:由f(x)＝s i n x－c o s x,求导可得
fᶄ(x)＝s i n x＋c o s x＝２s i n(x＋π４)．
结合题目条件,可知fᶄ(x)＝２s i n(x＋π４)ȡ０在区间[－a,a]上恒成立,即s i n(x＋π４)ȡ０在区间[－a,a]上恒成立．
利用正弦型函数y＝s i n(x＋π４)的图象与性质,可知正数a的最大值是
π
４．故选:A．
点评:对于三角函数中参数值的确定,往往从给定的单调性入手,构建自变量的取值范围后再加以分析与处理．而借助导数法,并利用三角函数的单调性来建立相应的不等式(组),为进一步确定相应的参数值提供条件,使得问题的解决更加直接㊁快速㊁有效．３函数值的求解
例３㊀(多选题)设s i n(β＋π６)＋s i nβ＝３＋１２,则s i n(β－π３)＝(㊀㊀)．
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２０２３年９月上半月
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A．３２B ．１２C ．－１２D．－３
２分析:根据题目条件,分别确定两个满足三角函数关系式的特殊角,借助三角函数的构建,确定对应的周期,结合求导处理,利用三角函数在一个周期长度内的单调性来确定对应角的取值,从而得以求解对应的三角函数值．
解析１:由s i n (
β＋
π６)
＋s i n β＝３＋１
２
,得s i n (β－π３)
＋π２éëêêùûúú＋s i n (β－π３)
＋π３é
ë
êêùûúú＝３＋１２．将上式展开,可得c o s (β－π３)
＋１２s i n (β－π
３
)＋
３２c o s (β－π３)＝３＋１２,即s i n (β－π
３
)＋(３＋２)
c o s (β－π３)＝３＋１,亦即c o s (β－π
３)
＝３＋１－s i n (β－π
３
)３＋２
．
将上式代入s i n ２(β－π３)＋c o s ２
(β－π３
)
＝１
,化简可得４(３＋２)s i n ２
(β－π３)－２(３＋１)s i n (β－π３
)
－
(２３＋３)＝０．
上式两边同时除以３＋２,可得４s i n ２
(β－π３)
－
２(３－１)s i n (
β－
π
３
)
－３＝０,
即２s i n (
β－π３)＋１éëêêùûúú２s i n (β－π３)
－３éëêêù
û
úú＝０．解得s i n (β－
π３)＝－１２,或s i n (β－π３)
＝３
２
．
故选择答案:A C ．解析２:由于s i n (
β＋
π６
)＋s i n β＝３＋１
２
＝s i n π３＋s i n π６,因此s i n (β＋π６)＋s i n β＝３＋１
２
＝
s i n ５π６＋s i n ２π３
．
构造函数f (x )＝s i n (x ＋
π
６
)
＋s i n x ,
易知函数f (
x )的周期为２π,求导有f ᶄ(x )＝c o s (x ＋π
６
)
＋c o s x ＝２c o s π１２c o s (x ＋π
１２
)
．
不妨取一个周期长度,令x ＋π１２ɪ－π２,３π２éëêêù
û
úú．当x ＋π１２ɪ－π２,π２éëêêù
û
úú时,f
ᶄ(x )ȡ０,函数f (x )递增,此时β＝π６,可得s i n (β－π３)
＝－１
２
;
当x ＋π１２ɪπ２,３π２éëêêù
û
úú时,f ᶄ(x )ɤ０,函数f (x )递减,此时β＝２π３,可得s i n (β－π３)
＝３
２
．
故选择答案:A C ．点评:对于三角函数中函数值的求解,常见方法是根据题目条件与所求结论中角之间的关系,对角进行合理的配凑处理,综合诱导公式㊁两角和的正弦公式㊁同角三角函数基本关系式等,并通过二次方程的求解来确定三角函数值,运算量非常大,耗时费力．而借助导数法,通过三角函数相应区间上的单调性来确定对应区间上的唯一取值,更加快捷,可以减少数学运算,优化解题过程．
４大小关系的判定
例４㊀已知函数f (x )＝c o s x
x
,若A ,B 是锐角三角形的两个内角,则一定有(㊀㊀)．
A．f (s i n A )＞f (s i n B )B ．f (c o s A )＞f (c o s B )C ．f (s i n A )＞f (c o s B )D．f (c o s A )＞f (s i n B )分析:根据题目条件,对函数f (x )
进行求导处理,通过导函数在区间(０,π
２
)
上的正负取值情况确定
f (
x )为减函数,结合锐角三角形的基本性质㊁对应的三角函数值之间的关系以及函数的单调性来判定对应函数值的大小关系．
解析:依题意,可得f ᶄ(x )＝－x s i n x ＋c o s x
x
２
＜０在区间(０,π２)
上恒成立,所以函数f (x )＝
c o s x
x 在区间(０,π
２)
上为减函数．
而A ,B 是锐角三角形的两个内角,则有A ＋B ＞π２,可得π２＞A ＞π２
－B ＞０．结合三角形的基本性质,可得０＜c o s A ＜c o s (π２－B )
＝s i n B ＜１＜π
２
．
由函数f (x )的单调性,得f (c o s A )＞f (s i n B )．故选择答案:D ．点评:对于三角函数中大小关系的判定,关键是确定函数的单调性．而借助导数法,利用导函数的取值情况来分析与确定函数的单调性,最为常见．在判断一些抽象函数函数值的大小关系问题中,可以有效利用导数法来转化与应用．
利用导数法的巧妙切入,可以有效破解与三角函数单调性有关的数学问题,展示不同数学知识和技巧方法之间的本质联系,突出数学知识㊁数学思想与方法的灵活应用,彰显导数法的独创性㊁灵活性㊁多样性与综合性,拓展更为奇妙的巧技妙法与美妙的思维空间．Z
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