数学归纳法PPT优秀课件

(2)1 假2 设 当2 n2 = k时3 2 ,等 式成 立,k 就2是k(k 6 1 )(2 k 1 ).
当n=k+1时, 1 2 2 2 3 2 k2 6 (k 1 )2
k(k1)(2k1)(k1)2.故当n=k+1时,等式成立.
k(k1)6(2k1)6(k1)2
综合(1),(2)知等式对于任何 n∈N*都成立.
例4 用数学归纳法证明: x2ny2n能 被 xy整 除 . 证明: 综 合 ( 1 ) ,( 2 ) 得 ,x 2 n y 2 n 能 被 x y 整 除 .
( 1 ) 当 n = 1 时 , 显 然 x 2 y 2 = ( x y ) ( x y ) 能 被 ( x y ) 整 除 .
例7、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1)
证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2， 左边=右边，∴ 等式成立。
② 假设当n=k (k ∈N ）时有： (k+1)(k+2)…(k +k)=2K• 1• 3•…• (2k-1),
当n=k+1时 左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)
=(k+1)(k+2)(k+3)…(k +k)•[(2K+1) •2] = 2K • 1• 3•…•(2k-1)[(2k+1)•2] = 2K+1 •1• 3•…• (2k-1) •[2(k+1)-1]=右边 ∴当n=k+1时等式也成立。
由 ①、②可知，对一切n ∈N* ,原等式均成立。
小结数学归纳法的概念及应用（一）：
证明n取初
始值时命题
成立，是递
推的基础。
由以上可知，用数学归纳法需注意： 1、三个步骤缺一不可:
第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为
归纳基础； 第二步是归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的
正确性能否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，
其中 “假设n=k时成立” 称为归纳假设(注意是“假设”，
而不是确认命题成立)。如果没有第一步，第二步就没有 了意义了；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论 就没有可靠性
第三步是总体结论，也不可少。
2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就 不是数学归纳法了。
3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。
归纳法
知
识
小 结
完全归纳法
不完全归纳法
可能错 误，如 何避免
若平面内有满足条件的k+1条直线,取其中任意一条设为 l
则l 与剩下的k条直线有k个交点,
故f(k1)k(k2-1)k
k[(k
1) 2

2]
(k1)[(k1)1] 2
即n= k+1时,命题正确,
综合(1),(2)得,对于任何大于1的整数命题都正确.
例6、设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，… S n=12+22+…+n2+(n-1)2+ …+22+12.用数学归纳法证明： 证( 1 ) 明所当 ：以n 等1 时 式, 成左 立边 .S= S n1 1 n2 ( 21 n,3右 2 边 1 ) 1 ( 2 3 1 2 1 ) 1 S 1 (2)假设当n=k时等式成立
1[(2k32)(6k26k)(k1)] 3
1(k1)(2k24k21) 3
1(k1)[2(k1)2 3
1]即 即 Sk S1 n 1 3(k n1()[22(nk3 21)2 11)]
∴ 当n=k+1时公式仍成立。
由(1)、( 2)可知，对一切n∈ N* ，均有:
2、3是用的不完全归纳法，问题4是用的完全归纳法。
一、概念
1、归纳法： 对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全
部可能情况 ，归纳出一般结论的推理方法 ，叫 归纳法。
｛ 归纳
完全归纳法
法
பைடு நூலகம்
不完全归纳法
特别注意： 用不完全归纳法得出的结论不一定正确
2、数学归纳法：
对于一个关于整数的命题,先证明当n取第一个
因 为 ( x 2 k y 2 k ) ,( x 2 y 2 ) 都 能 被 x y 整 除 ,
故 x 2 ( x 2 k y 2 k ) y 2 k ( x 2 y 2 ) 能 被 x y 整 除 .
就 是 当 n k 1 时 , x 2 n y 2 n 能 被 x y 整 除 .
1、用数学归纳法证明问题，三个步骤缺一不可；
2、注意证明等式时第一步中n=1时左右两边的形式， 第二步中n=k+1时应增加的式子；
3、第二步中证明n=k+1命题成立是全局的主体，主要 注意两个“凑”：一是“凑”n=k时的形式（这样才好利 归纳假设），二是“凑”目标式。
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
证明：
（1）当n=1时，左边＝1，右边＝1 等式成立
(2) 假设当n=k（k N*）时，等式成立，即 1＋3＋5＋…＋（2k1）＝k2
当n=k+1时,1＋3＋5＋…＋（2k1)+[2(k+1)-1] =k2 +(2k+1)=(k+1)2
当n=k+1时，等式也成立
根据（1）（2），可知等式对任意nN*都成立。
数学归纳法的基本形式：
设命题P(n)，其中n ∈N*且n≥n0 (1)当n=n0（如n0=1或2等）时，证明命题 P(n0)成立； (2)假设当n=k（k ∈N*且n≥n0）时命题P(k) 成立，证明当n=k+1时命题P(k+1)也成立；
根据(1)、(2)，命题P(n)对一切正整数n
（n≥n0）都成立。
[ 1 2 2 2 k 2 ( k 1 ) 2 2 2 1 2 ] ( k 1 ) 2 k 2
S k (k 1 )2 k2k(2 k 3 2 1 ) 2 k2 2 k 1
1(2k3k6k26k3) 3
1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2
当n=k+1时,
1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]
=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]
=(k+1)[k(k+1)+3(k+1)+1] 即当n=k+1时,等式成立.
=(k+1)(k2 +4k+4) =(k+1)[(k+1)+1]2
数 穷学 举归 法纳
法
递推基础不可
少，归纳假设要 用到，结论写明 莫忘掉
例2 1 用2数 学2 2 归 纳3 2 法 证明n 2n (n 1 )(2 n 1 ).
( 证1 ) 当 明n : 1 时 ,左 边 = 1 2 1 ,右 边 1 2 3 6 1 ,等 式 成 立 .
即 S k 1 k2 (2 k2 22 1) k 2 ( k 1 ) 2 2 2 1 2
当n=k+1时 3
S k 1 1 2 2 2 k 2 ( k 1 ) 2 k 2 2 2 1 2
综合(1),(2)得,当 n∈N*时,等式成立.
6(k1)[(k1)1][2(k1)1]
6
例3 用数学归纳法证明
1×4+2×7+3×10 +…+ n(3n+1) = n(n+1)2
证明: (1)当n=1时,左边=1×4=4,右边=1×22 =4,等式成立.
(2)假设当n=k( k∈N*)时,等式成立,就是
综合(1),(2)得两个连续整数为n,(n+1)能被2整除.
另证： 因n∈ N*,当n为奇数时 (n+1)被2整除,故n( n+1) 被2整除;当n为偶数时 n被2整除,故n(n+1)被2整除,总之， 对于n∈ N*, n(n+1)都能被2整除.
例5 平面内有n(n≥2)条直线,其中任何两条不平行,任
角和为2•180°，五边形的内 角和为3•180°，于是
有：凸n边形的内角和为(n-2) • 180°。

问题4：数列为{1,2,4,8}，则它的通项公式为
an=2n-1(n≤4，n ∈N* ) 请问:以上四个结论正确吗？为什么?
得出以上结论所用的方法有什么共同点和不同点?
答:1、不一定； 2、错，a5=25≠1； 3、对； 4、对。 共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、
( 2 ) 假 设 当 n k ( k N * ) 时 , x 2 k y 2 k 能 被 x y 整 除 .
当n =k+1时,
x 2 (k 1 ) y 2 (k 1 ) x 2 x 2 k y 2 y 2 k x 2 x 2 k x 2 y 2 k x 2 y 2 k y 2 y 2 k x2(x2 ky2 k)y2 k(x2 y2)
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
何证三明条: (不1)过当同n=一2时点,,两证条明直交线点的的交个点数只f有(n1)等 个于 , n(n2-1).
又 f(2 ) 2 ( 2 2 - 1 ) 1 ,因 此 当 n 2 时 命 题 成 立 .
(2)假设当n=k( k≥2)时命题成立,即平面内满足条件的k条
直线的交点个数为
k(k-1) f (k) 2 .
值n0(如n0 =1)时命题成立;然后假设当n=k( k∈N*, k≥n0 )命题成立,再证明当n=k+1时,命题也成立. 这种证明方法叫做数学归纳法.
例1：由下表1
＝1＝12 ①
1＋3
＝4＝22 ②
1＋3＋5 ＝9＝32 ③
1＋3＋5＋7＝16＝42 ④
……
⑤
结论：1＋3＋5＋…＋（2n1）＝n2，(n N*) ⑥
练习: 求证两个连续整数的积能被2整除. 证明: 设两个连续整数为n,(n+1). (1)当n=1时,n(n+1)=1(1+1)=2能被2整除. (2)假设n=k( k∈N*)时,k(k+1)能被2整除.
当n=k+1时,(k+1)[(k+1)+1]=(k+1)(k+2).
(k+1)(k+2) = k(k+1)+2(k+1).由假设知k(k+1) 被2整除,又2( k+1)被2整除,故n=k+1时命题正确.
数学归纳法
问题1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，
第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男
同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。
计算得问题a1＝2：1,数a2＝列1{a, na}3的＝通1,项于公是式猜为出a数n＝列(n{a2-n5}n的+通5)2项, 公式为问：题a3n＝：1三。角形的内角和为180°，四边形的内