2016海淀区高二(下)期中(数学)理含答案

2016海淀区高二（下）期中
数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（4分）复数z=1﹣2i的虚部是（）
A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i
2．（4分）下列导数运算错误的是（）
A．（x﹣2）′=﹣2x﹣1 B．（cosx）′=﹣sinx C．（xlnx）′=1+lnx D．（2x）′=2x ln2
3．（4分）函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的极大值点的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（4分）若函数f（x）的导函数f′（x）=x（2﹣x）e﹣x，则下列关系一定成立的是（）A．f（2）＞0 B．f（0）＞f（1）C．f（2）＜f（1）D．f（2）＞f（3）
5．（4分）已知两个命题：
p：“若复数z1，z2满足z1﹣z2＞0，则z1＞z2．”；
q：“存在唯一的一个实数对（a，b）使得a﹣bi=i（2+i）．”
其真假情况是（）
A．p真q假B．p假q假C．p假q真D．p真q真
6．（4分）若小球自由落体的运动方程为s（t）=（g为常数），该小球在t=1到t=3的平均速度为，在t=2的瞬时速度为v2，则和v2关系为（）
A．＞v2B．＜v2C．=v2 D．不能确定
7．（4分）如图，过原点斜率为k的直线与曲线y=lnx交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）
①k的取值范围是（0，）．
②＜k＜．
③当x∈（x1，x2）时，f（x）=kx﹣lnx先减后增且恒为负．
以上结论中所有正确结论的序号是（）
A．① B．①② C．①③ D．②③
8．（4分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其导函数的图象如图所示，则函数f（x）的图
象只可能是（）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
9．（4分）计算= ．
10．（4分）（x﹣3）dx= ．
11．（4分）已知f（x）=，则f′（x）= ．
12．（4分）方程（x﹣1）e x=1的解的个数为．
三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 13．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx，其导函数为f′（x）的部分值如表所示：
x ﹣3 ﹣2 0 1 3 4 8 f'（x）﹣24 ﹣10 6 8 0 ﹣10 ﹣90 根据表中数据，回答下列问题：
（Ⅰ）实数c的值为；当x= 时，f（x）取得极大值（将答案填写在横线上）．
（Ⅱ）求实数a，b的值．
（Ⅲ）若f（x）在（m，m+2）上单调递减，求m的取值范围．
14．（10分）如图，四棱锥B﹣ACDE的底面ACDE满足 DE∥AC，AC=2DE．
（Ⅰ）若DC⊥平面ABC，AB⊥BC，求证：平面ABE⊥平面BCD；
（Ⅱ）求证：在平面ABE内不存在直线与DC平行；
某同学用分析法证明第（1）问，用反证法证明第（2）问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容．（Ⅰ）证明：欲证平面ABE⊥平面BCD，
只需证，
由已知AB⊥BC，只需证，
由已知DC⊥平面ABC可得DC⊥AB成立，
所以平面ABE⊥平面BCD．
（Ⅱ）证明：假设，
又因为DC⊄平面ABE，所以DC∥平面ABE．
又因为平面ACDE∩平面ABE=AE，
所以，
又因为DE∥AC，所以ACDE是平行四边形，
所以AC=DE，这与矛盾，
所以假设错误，原结论正确．
15．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x平行，求实数a的值及该切线方程；
（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1成立，求实数a的取值范围．
16．（8分）请阅读问题1的解答过程，然后借鉴问题1的解题思路完成问题2的解答：
问题1：已知数集A={a1，a2，…a n}（1≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j 与两数中至少有一个属于A．若数集{a1，2，3，a4}具有性质P，求a1，a4的值．
解：对于集合中最大的数a4，因为a4×a4＞a4，3×a4＞a4，2×a4＞a4．
所以，，都属于该集合．
又因为1≤a1＜2＜3＜a4，所以．
所以，，故a1=1，a4=6．
问题2：已知数集A={a1，a2，…a n}（0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：
对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于A．若数集{a1，1，3，a4}具有性质P，求a1，a4的值．
17．（10分）已知函数f（x）=（x＞0），对于正数x1，x2，…，x n（n∈N+），记S n=x1+x2+…+x n，如图，由点（0，0），（x i，0），（x i，f（x i）），（0，f（x i））构成的矩形的周长为C i（i=1，2，…，n），都满足C i=4S i（i=1，2，…，n）．
（Ⅰ）求x1；
（Ⅱ）猜想x n的表达式（用n表示），并用数学归纳法证明．
2016海淀区高二（下）期中数学（理科）
参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【解答】复数z=1﹣2i的虚部是﹣2．
故选：A．
2．【解答】对于A：（x﹣2）′=﹣2x﹣3，故错误，
对于B，（cosx）′=﹣sinx，故正确，
对于C（xlnx）′=1+lnx，故正确，
对于D，（2x）′=2x ln2，故正确，
故选：A．
3．【解答】由图象可知，从左到右，图象先增，再减，再增，
故f（x）的极大值点的个数为1个，
故选：B．
4．【解答】当f′（x）=x（2﹣x）e﹣x＞0，解得0＜x＜2，故f（x）单调递增，
当f′（x）=x（2﹣x）e﹣x＜0，解得x＜或x＞2，故f（x）单调递减，
∴f（2）＞f（3）
故选：D．
5．【解答】p：取z1=2+i，z2=1+i，虽然满足：z1﹣z2＞0，但是z1＞z2不成立，由于复数若不完全是实数，不能比较大小，因此是假命题；
q：“存在唯一的一个实数对（a，b）使得a﹣bi=i（2+i）．”，利用复数相等的定义可知：是真命题．
其真假情况是p假q真．
故选；C．
6．【解答】平均速度为===2g，
∵s（t）=，
∴s′（t）=gt，
t=2的瞬时速度为v2，
∴v2=s′（2）=g×2=2g，
∴=v2
故选：C．
7．【解答】令f（x）=kx﹣lnx，则f′（x）=k﹣，
由已知f（x）有两个不同的零点，则k＞0，
∴f（x）在（0，）上单调递减，在（）上单调递增，
∴f（）=1﹣＜0，则0，故①正确；
且有，∴，故②错误；
当x∈（x1，x2）时，f（x）=kx﹣lnx先减后增且恒为负，故③正确．
∴所有正确结论的序号是①③．
故选：C．
8．【解答】由题意，导函数图象为无零点的开口向上的二次函数图象，并且最低点为（1，1），所以原函数在x=1出的导数为1，由此排除选项A，B；
再由导函数的定义域为R，而排除选项C；
故选D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
9．【解答】原式==﹣i+2，
故答案为：2﹣i．
10．【解答】（x﹣3）dx=（x2﹣3x）=﹣4．
故答案为：﹣4．
11．【解答】解：f（x）==1+
∴f′（x）=（1+）′=﹣
故答案为：．
12．【解答】∵（x﹣1）e x=1，
∴x﹣1=e﹣x，
作函数y=x﹣1与y=e﹣x的图象如下，
，
∵函数的图象的交点有一个，
∴方程（x﹣1）e x=1的解的个数为1，
故答案为：1．
三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
13．【解答】（Ⅰ）6，3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（Ⅱ）解：f'（x）=3ax2+2bx+c，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
由已知表格可得解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可得f'（x）=﹣2x2+4x+6=﹣2（x﹣3）（x+1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
由f'（x）＜0可得x∈（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
因为f（x）在（m，m+2）上单调递减，
所以仅需m+2≤﹣1或者m≥3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
所以m的取值范为m≥3或m≤﹣3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
14．【解答】（Ⅰ）证明：欲证平面ABE⊥平面BCD，
只需证AB⊥平面BCD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
由已知AB⊥BC，只需证AB⊥DC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
由已知DC⊥平面ABC可得DC⊥AB成立，
所以平面ABE⊥平面BCD．
（Ⅱ）证明：假设在平面ABE内存在直线与DC平行，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
又因为DC⊄平面ABE，所以DC∥平面ABE．
又因为平面ACDE∩平面ABE=AE，
所以DC∥AE，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又因为DE∥AC，所以ACDE是平行四边形，
所以AC=DE，这与AC=2DE矛盾，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
所以假设错误，原结论正确．
故答案为AB⊥平面BCD；AB⊥DC；在平面ABE内存在直线与DC平行；DC∥AE；AC=2DE．
15．【解答】（本小题12分）
（Ⅰ）解：，x＞0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
由已知可得f'（1）=1+a=2，解得a=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
因为f（1）=1，所以在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（Ⅱ）解1：若对任意x∈（0，+∞），都有f（x）≤1成立，即成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
设，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分），令g'（x）=0，解得x=e2，
则g'（x），g（x）的情况如下：
x （0，e2）e2（e2+∞）
g'（x）﹣0 +
g（x）↘极大值↗
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
所以g（x）的最小值为g（e2）=﹣e﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
所以，依题意只需实数a满足a≤﹣e﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
故所求a的取值范围是（﹣∞，﹣e﹣2]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
解2：当a≥0时，f'（x）＞0恒成立，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）
又因为，所以不符题意，舍．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）当a＜0时，令f'（x）=0，得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
所以f'（x），f（x）随x的变化如下表所示：
x
f'（x）+ 0 ﹣
f（x）↗↘
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
所以f（x）的最大值为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
所以，依题意只需即可，解得a≤﹣e﹣2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣e﹣2]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
16．【解答】对于集合中最大的数a4，因为a4+a4＞a4，3+a4＞a4，1+a4＞a4；
所以a4﹣a4，a4﹣3，a4﹣1都属于该集合；
又因为0≤a1＜1＜3＜a4，所以a4﹣a4＜a4﹣3＜a4﹣1＜a4；
所以a1=a4﹣a4=0，a4﹣3=1，a4﹣1=3，故a1=0，a4=4．
17．【解答】（Ⅰ）解：由题意知，（i=1，2，…，n），
又因为C i=4S i（i=1，2，…，n），
所以（i=1，2，…，n）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）
令i=1，得，
又S1=x1，且x1＞0，故x1=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
（Ⅱ）解：令i=2，得，
又S 2=x1+x2，x1=1，且x2＞0，故；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
令i=3，得，
又S 3=x1+x2+x3，x1=1，，且x3＞0，故；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
由此猜想，（n∈N +）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，x1=1，命题成立；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
②假设n=k时命题成立，即（k∈N +），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
则当n=k+1时，，又S k+1=S k+x k+1，，
故，
由，得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
所以（舍去）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
即当n=k+1时命题成立．
综上所述，对任意自然数n ，都有成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
11/ 11。