恒山区第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

恒山区第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．棱长为2的正方体的8个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）
10
A．π4B．π6C．π8D．π
2．设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x2﹣4=0}，则A∩B=（）
A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．∅
3．圆C1：（x+2）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2=16的位置关系是（）
A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
4．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）
A．B．y=x2C．y=﹣x|x| D．y=x﹣2
5．设集合M={x|x≥﹣1}，N={x|x≤k}，若M∩N≠￠，则k的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）
6．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出两个判断：
①（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≠0；②a≠b，b≠c，c≠a不能同时成立，
下列说法正确的是（）
A．①对②错B．①错②对C．①对②对D．①错②错
7．已知向量=（1，2），=（m，1），如果向量与平行，则m的值为（）
A．B． C．2 D．﹣2
8．已知函数f（x）=x2﹣，则函数y=f（x）的大致图象是（）
A．B．C．D．
9．边长为2的正方形ABCD的定点都在同一球面上，球心到平面ABCD的距离为1，则此球的表面积为（）A．3πB．5πC．12πD．20π
10．已知函数f（x）=3cos（2x﹣），则下列结论正确的是（）
A．导函数为
B．函数f（x）的图象关于直线对称
C ．函数f （x ）在区间（﹣，）上是增函数
D ．函数f （x ）的图象可由函数y=3co s2x 的图象向右平移个单位长度得到
11．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前项和，公差为d ，若201717
100201717
S S -=，则d 的值为（ ） A ．
120 B ．110
C ．10
D ．20
12．已知||=||=1，与夹角是90°，=2+3， =k ﹣4，与垂直，k 的值为（ ）
A ．﹣6
B ．6
C ．3
D ．﹣3
二、填空题
13．若实数,,,a b c d 满足24ln 220b a a c d +-+-+=，则()()2
2
a c
b d -+-的最小值为 ▲ ．
14．设椭圆E ：
+
=1（a ＞b ＞0）的右顶点为A 、右焦点为F ，B 为椭圆E 在第二象限上的点，直线BO
交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC ，则椭圆E 的离心率是 ．
15．某城市近10年居民的年收入x 与支出y 之间的关系大致符合=0.9x+0.2（单位：亿元），预计今年该城市居民年收入为20亿元，则年支出估计是 亿元．
16．设数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *），则数列{
}的前10项的和为 ．
17．抛物线y 2=8x 上一点P 到焦点的距离为10，则P 点的横坐标为 ．
18．已知等差数列{a n }中，a 3=
，则cos （a 1+a 2+a 6）= ．
三、解答题
19．已知椭圆E ：
=1（a ＞b ＞0）的焦距为2
，且该椭圆经过点
．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）经过点P （﹣2，0）分别作斜率为k 1，k 2的两条直线，两直线分别与椭圆E 交于M ，N 两点，当直线
MN 与y 轴垂直时，求k 1k 2的值．
20．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114
n n n n
a a a a ++-=+.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列11n n a a +⎧
⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和n S ．
21．设函数f （x ）=e mx +x 2﹣mx ．
（1）证明：f （x ）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增； （2）若对于任意x 1，x 2∈，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤e ﹣1，求m 的取值范围．
22．已知椭圆E 的中心在坐标原点，左、右焦点F 1、F 2分别在x
轴上，离心率为，在其上有一动点A ，A 到点F 1距离的最小值是1，过A 、F 1作一个平行四边形，顶点A 、B 、C 、D 都在椭圆E 上，如图所示． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）判断▱ABCD 能否为菱形，并说明理由．
（Ⅲ）当▱ABCD 的面积取到最大值时，判断▱ABCD 的形状，并求出其最大值．
23．（本题满分15分）
若数列{}n x 满足：
111
n n
d x x +-=（d 为常数， *n N ∈），则称{}n x 为调和数列，已知数列{}n a 为调和数列，且11a =，12345
11111
15a a a a a ++++=.
（1）求数列{}n a 的通项n a ；
（2）数列2{}n
n
a 的前n 项和为n S ，是否存在正整数n ，使得2015n S ≥？若存在，求出n 的取值集合；若不存
在，请说明理由.
【命题意图】本题考查数列的通项公式以及数列求和基础知识，意在考查运算求解能力.
24．衡阳市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中 随机抽取100名后按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第
5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.
恒山区第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】
考点：球与几何体
2．【答案】A
【解析】解：由A中的方程x+2=0，解得x=﹣2，即A={﹣2}；
由B中的方程x2﹣4=0，解得x=2或﹣2，即B={﹣2，2}，
则A∩B={﹣2}．
故选A
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3．【答案】D
【解析】解：由圆C1：（x+2）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2=16得：
圆C1：圆心坐标为（﹣2，2），半径r=1；圆C2：圆心坐标为（2，5），半径R=4．
两个圆心之间的距离d==5，而d=R+r，所以两圆的位置关系是外切．
故选D
4．【答案】D
【解析】解：函数为非奇非偶函数，不满足条件；
函数y=x2为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，不满足条件；
函数y=﹣x|x|为奇函数，不满足条件；
函数y=x﹣2为偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足条件；
故选：D
【点评】本题考查的知识点是函数的单调性与函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．
5．【答案】B
【解析】解：∵M={x|x≥﹣1}，N={x|x≤k}，
若M∩N≠￠，
则k≥﹣1．
∴k的取值范围是[﹣1，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合间的关系，是基础题．
6．【答案】A
【解析】解：由：“a，b，c是不全相等的正数”得：
①（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2中至少有一个不为0，其它两个式子大于0，
故①正确；
但是：若a=1，b=2，c=3，则②中a≠b，b≠c，c≠a能同时成立，
故②错．
故选A．
【点评】本小题主要考查不等关系与不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑思维能力．属于基础题．7．【答案】B
【解析】解：向量，向量与平行，
可得2m=﹣1．
解得m=﹣．
故选：B．
8．【答案】A
【解析】解：由题意可得，函数的定义域x≠0，并且可得函数为非奇非偶函数，满足f（﹣1）=f（1）=1，可排除B、C两个选项．
∵当x＞0时，t==在x=e时，t有最小值为
∴函数y=f（x）=x2﹣，当x＞0时满足y=f（x）≥e2﹣＞0，
因此，当x＞0时，函数图象恒在x轴上方，排除D选项
故选A
9．【答案】C
【解析】解：∵正方形的边长为2， ∴
正方形的对角线长为
=2， ∵球心到平面ABCD 的距离为1，
∴球的半径
R=
=
，
则此球的表面积为S=4πR 2
=12π．
故选：C ．
【点评】此题考查了球的体积和表面积，求出球的半径是解本题的关键．
10．【答案】B
【解析】解：对于A ，函数f ′（x ）=﹣3sin （2x ﹣）•2=﹣6sin （2x ﹣
），A 错误；
对于B ，当x=
时，f （
）=3cos （2×
﹣
）=﹣3取得最小值，
所以函数f （x ）的图象关于直线对称，B 正确；
对于C ，当x ∈（﹣
，
）时，2x ﹣
∈（﹣
，
），
函数f （x ）=3cos （2x ﹣）不是单调函数，C 错误；
对于D ，函数y=3co s2x 的图象向右平移个单位长度，
得到函数y=3co s2（x ﹣
）=3co s （2x ﹣
）的图象，
这不是函数f （x ）的图象，D 错误． 故选：B ．
【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
11．【答案】B 【解析】
试题分析：若{}n a 为等差数列，
()
()111212n
n n na S d a n n
n -+
==+-⨯，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为等差数列公差为2d ,
2017171
100,2000100,201717210
S S d d ∴
-=⨯==,故选B. 考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前项和公式. 12．【答案】B
【解析】解：
∵
=（
2
+3）（
k ﹣
4）
=2k +（3k ﹣8）
﹣12=0，
又∵=0．∴2k ﹣12=0，k=6．
故选B
【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的
二、填空题
13．【答案】5 【解析】
考
点：利用导数求最值
【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f ′（x ）＞0或f ′（x ）＜0求单调区间；第二步：解f ′（x ）＝0得两个根x 1、x 2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．
14．【答案】 ．
【解析】解：如图，设AC 中点为M ，连接OM ， 则OM 为△ABC 的中位线，
于是△OFM ∽△AFB ，且=
=，
即
=可得e==．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的求法，运用中位线定理和三角形相似的性质是解题的关键．
15．【答案】18.2
【解析】解：∵某城市近10年居民的年收入x和支出y之间的关系大致是=0.9x+0.2，
∵x=20，
∴y=0.9×20+0.2=18.2（亿元）．
故答案为：18.2．
【点评】本题考查线性回归方程的应用，考查学生的计算能力，考查利用数学知识解决实际问题的能力，属于基础题．
16．【答案】．
【解析】解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），
∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．
当n=1时，上式也成立，
∴a n=．
∴=2．
∴数列{}的前n项的和S n=
=
=．
∴数列{}的前10项的和为．
故答案为：．
17．【答案】8．
【解析】解：∵抛物线y2=8x=2px，
∴p=4，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，
∴|MF|=x+=x+2=10，
∴x=8，
故答案为：8．
【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．
18．【答案】．
【解析】解：∵数列{a n}为等差数列，且a3=，
∴a1+a2+a6=3a1+6d=3（a1+2d）=3a3=3×=，
∴cos（a1+a2+a6）=cos=．
故答案是：．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意得，2c=2，=1；
解得，a2=4，b2=1；
故椭圆E的方程为+y2=1；
（Ⅱ）由题意知，当k1=0时，M点的纵坐标为0，
直线MN与y轴垂直，
则点N 的纵坐标为0， 故k 2=k 1=0，这与k 2≠k 1矛盾． 当k 1≠0时，直线PM ：y=k 1（x+2）；
由
得，
（+4）y 2
﹣=0；
解得，y M
=
；
∴M
（
，），
同理N
（
，），
由直线MN 与y
轴垂直，则
=
；
∴（k 2﹣k 1）（4k 2k 1﹣1）=0，
∴k 2k 1
=．
【点评】本题考查了椭圆方程的求法及椭圆与直线的位置关系的判断与应用，属于中档题．
20．【答案】（本小题满分12分） 解： （Ⅰ）由114n n n n
a a a a ++-=
+得22
14n n a a +-=，∴{}2n a 是等差数列，公差为4，首项为4， （3分）
∴244(1)4n a n n =+-=，由0n a >
得n a =． （6分）
（Ⅱ）∵
111
2
n n a a +==+， （9分）
∴数列11n n a a +⎧
⎫
⎨
⎬+⎩⎭
的前n 项和为
1111
1)(1)2222
n +++=． （12分） 21．【答案】
【解析】解：（1）证明：f ′（x ）=m （e mx
﹣1）+2x ．
若m ≥0，则当x ∈（﹣∞，0）时，e mx ﹣1≤0，f ′（x ）＜0；当x ∈（0，+∞）时，e mx
﹣1≥0，f ′（x ）＞0．
若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在单调递减，在单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．
所以对于任意x1，x2∈，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是
即
设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．
当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈时，g（t）≤0．
当m∈时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；
当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．
当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．
综上，m的取值范围是
22．【答案】
【解析】解：（I）由题意可得：，解得c=1，a=2，b2=3．
∴椭圆E的方程为=1．
（II）假设▱ABCD能为菱形，则OA⊥OB，k OA•k OB=﹣1．
①当AB⊥x轴时，把x=﹣1代入椭圆方程可得：=1，解得y=，
取A，则|AD|=2，|AB|=3，此时▱ABCD不能为菱形．
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立，化为：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，
∴x1+x2=﹣，x1x2=．
∴
k OA•k OB=====
，
假设=﹣1，化为k2=﹣，因此平行四边形ABCD不可能是菱形．
综上可得：平行四边形ABCD不可能是菱形．
（III）①当AB⊥x轴时，由（II）可得：|AD|=2，|AB|=3，此时▱ABCD为矩形，S矩形ABCD=6．
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立，化为：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，
∴x1+x2=﹣，x1x2=．
|AB|==．
点O到直线AB的距离d=．
∴S平行四边形ABCD=4×S△OAB=
=2××=．
则S2==＜36，
∴S＜6．
因此当平行四边形ABCD为矩形面积取得最大值6．
23．【答案】（1）
1
n
a
n
，（2）详见解析.
当
8n =时911872222015S =⨯+>>，…………13分
∴存在正整数n ，使得2015n S ≥的取值集合为{}
*
|8,n n n N ≥∈，…………15分
24．【答案】（1）3,2,1；（2）710
. 【解析】111]
试题分析：（1）根据分层抽样方法按比例抽取即可；（2）列举出从名志愿者中抽取名志愿者有10种情况，其中第组的名志愿者12,B B 至少有一名志愿者被抽中的有种，进而根据古典概型概率公式可得结果. 1
（2）记第3组的3名志愿者为123,,A A A ，第4组的2名志愿者为12,B B ，则从5名志愿者中抽取2名志愿者有12(,)A A ，13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，23(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B
B ，共10种，其中第4组的2名志愿者12,B B 至少有一名志愿者被抽中的有11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，
22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B ，共7种，所以第4组至少有一名志愿都被抽中的概率为
710
. 考点：1、分层抽样的应用；2、古典概型概率公式.。