2021-2022年高考数学一轮复习专题3.2导数的运算讲

2021年高考数学一轮复习专题3.2导数的运算讲
【考纲解读】
【知识清单】
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1. 基本初等函数的导数公式
2．导数的运算法则
（1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
（2） [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； （3）2
()'()()'()()
'()()f x f x g x g x f x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=⎢
⎥⎣⎦
(g (x )≠0)． (4) 复合函数的导数
复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 对点练习：
分别求下列函数的导数： (1)y ＝e x
·cos x ；
(2)y ＝x ⎝
⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；
(3)y ＝x －sin x
2cos x
2；
(4)y ＝ln 1＋x 2
.
【答案】 (1) e x cos x －e x sin x .(2) 3x 2
－2x 3.(3) 1－12cos x .(4) x 1＋x
2.
【考点深度剖析】
高考对导数的运算的考查，主要通过考查导数的几何意义、导数的应用来体现，近5年来，没有独立考查导数的运算的题目.
【重点难点突破】
考点1 运用导数公式进行计算 【1-1】求下列函数的导数.
()()()()()()(
)
222
x x x 25
1y 2x 1(3x 1)
x x 1
2y x x 1
3y 3e 2e
lnx 4y x 1
5y 32x =-+-+=++=-+=
+=-
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）
()()()()()()222221312213143132112463y x x x x x x x x x x '=-'++-+'=++-=++-
=.
(2)根据题意把函数的解析式整理变形可得：
()()()()
2222
22222
22x x 1x x 12x 2x y 1,x x 1x x 1x x 1
2x x 12x 2x 12x 2
y x x 1x x 1-+++-===-++++++++-+-∴'=-=++++ (3)根据求导法则进行求导可得：
()))(3(2(23(22)3322)·x x x x x x x x x x x x x y e e e e ln e e ln '='-'+'='+'-'=+-=.
(4)根据题意利用除法的求导法则进行求导可得：
()()()
()()
()()222
2
2
222
22
(lnx)x 1lnx x 1y x
11x 1lnx 2x x 12lnx 1x .x 1x x 1'+-+'
'=
++--+==++
(5)设μ=3-2x ，则y=(3-2x)5是由y=μ5与μ=3-2x 复合而成，所以y′=f′μ·μ′x =(μ5)′·(3-2x)′=5μ4·(-2)=-10μ4=
【领悟技法】
1.求函数导数的一般原则如下：
(1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导；
(2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导；
(3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导.
2.复合函数的求导方法,
求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决.
①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；
②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；
③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；
④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程.
【触类旁通】
【变式一】求下列函数的导数：
(1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(2)y＝3x e x－2x＋e；
【答案】(1) 3x2＋12x＋11.(2) (ln3＋1)(3e)x－2x ln2.
【解析】
＝3x2＋12x＋11.
(2) y′＝(3x e x)′－(2x)′＋e′
＝(3x)′e x＋3x(e x)′－(2x)′
＝3x e x ln3＋3x e x－2x ln2
＝(ln3＋1)(3e)x－2x ln2.
考点2 导数运算的灵活应用
【2-1】已知函数的导函数为，且满足，则（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵，∴．令,得,解得，-1．故选B ．
【2-2】数列为等比数列，其中，)())(()(821c x c x c x x x f -⋅⋅⋅--=，为函数的导函数，则＝
A 、
B 、
C 、
D 、 【答案】D
【领悟技法】
(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．
(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元. 【触类旁通】
【变式一】已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *
，则f 2 017(x )等于( ) A.－sin x －cos x B.sin x －cos x C.－sin x ＋cos x D.sin x ＋cos x
【答案】D 【解析】
∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，
∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， ∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f n (x )是以4为周期的函数，
∴f 2 017(x )＝f 1(x )＝sin x ＋cos x ，故选D.
【变式二】已知函数3
()sin 4(,),()f x a x bx a b R f x '=++∈为的导函数，则
(2014)(2014)(2015)(2015)f f f f ''+-+--= （ ）
A ．0
B ．xx
C ．xx
D ．8 【答案】D 【解析】
【易错试题常警惕】
易错典例1：
(1)若函数f (x )＝2x 3
＋a 2
，则f ′(x )＝________． (2)函数y ＝ln x
e
x 的导函数为________．
易错分析：f ′(x )＝6x 2＋2a .没弄清函数中的变量是x ，而a 只是一个字母常量，其导数为0.
正确解析： (1)6x 2
； (2)y ′＝1x ·e x －e x
·ln x （e x ）2
＝1－x ln x x e x
. 温馨提醒：对函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.
【学科素养提升之思想方法篇】
————近似与精确、有限与无限——无限逼近的极限思想
1.由0
()()
'()lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-=∆可以知道，函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬
时变化率是平均变化率的极限，充分说明极限是人们从近似中认识精确的数学方法.极限的实质就是无限近似的量，向着有限的目标无限逼近而产生量变导致质变的结果，这是极限的实质与精髓，也是导数的思想及其内涵.
2.曲线的切线定义，充分体现了运动变化及无限逼近的思想：“两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合(切点)”“割线→切线”.
(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．
【典例】设函数f (x )＝ax －b
x
，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.
(1)求f (x )的解析式；
(2)曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求
此定值.
【答案】(1)f (x )＝x －3
x
.(2)6.
【解析】
(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝7
4
x －3，
当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b
x 2
，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝7
4，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3
x .
所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪
－6x 0|2x 0|＝
6.
故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.。