高二数学变化率问题(与“气球”有关文档共17张)

间段内的平均速度粗略
地描述其运动状态?
请计算
o
t
0 t 0 .5 和 1 t 2 时 的 平 均 速 度 v :
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2+6.5t+10
若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
上述问题中的变化率可用式子
表示
四、求长度、面积、体积和重心等。
如何用运动员在某些时
四、求长度、面积、体积和重心等。
h
o
t
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平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f ( x1表) 示 x2 x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
• 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2
同样Δf=Δy==f(x2)-f(x1)
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思考?
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的 平均膨胀率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
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问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面
的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：
秒）存在函数关系
2+6.5t+10.
h
如何用运动员在某些时
上述问题中的变化率可用式子
表示
研究某个变量相对于另一个变量变化
如果将半径r表示为体积V的函数,那么
三、求已知函数的最大值与最小值;
如果将半径r表示为体积V的函数,那么
求函数的平均变化率的步骤:
1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( )
• 过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当 Δx=0.1时割线的斜率.
k((1 1 xx))3 x1 33 3 x ( x)23 3 0 .1 0 .1 23 .3 1
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第17页，共17页。
物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.
这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2
当V从0增加到1时,气球半径增加了
导数研究的问题
观察函数f(x)的图象
2x0+Δx
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
当V从1增加到2时,气球半径增加了
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
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导数研究的问题 变化率问题 研究某个变量相对于另一个变量变化
的快慢程度．
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微积分主要与四类问题的 处理相关:
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求 物体在任意时刻的速度与加速度等;
• 二、求曲线的切线;
• 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函 数增减、变化快慢、最大（小）值等问题 最一般、最有效的工具。
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• 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气 球的过程,可以发现,随着气球内空气容 量的增加,气球的半径增加越来越慢.从 数学角度,如何描述这种现象呢?
• 气球的体积V(单位:L)与半径r
运动,求在4s附近的平均变化率.
253t
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小结：
f(x)f(x2)f(x1)
x
x2x1
• 2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率 f(x)f(x2)f(x1)
x
x2x1
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练习：
• 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r(1 )r(0 )0 .6 2 (d m )
气球的平均膨胀率为 r(1)r(0)0.62(dm/L) 10
• 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r(2 )r(1 )0 .1 6 (d m )
气球的平均膨胀率为 r(2)r(1)0.16(dm/L) 21
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A3
B 3Δx-(Δx)2
C 3-(Δx)2
D 3-Δx
• 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。
2x0+Δx
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练习：
1.质点运动规律s=t2+3,则在时间(3,3+t)中
相应的平均速度为(A )
A. 6+t C.3+t
B. 6+t+ 9 t
D.9+t
• 2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线
f(x)f(x2)f(x1)
x
x2x1
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思考?
• 观察函数f(x)的图象
平均变化率 表示什么?
y f(x2) f (x1)
x
x2 x1
y
f(x2)
f(x2)-f(x1)=△y
Y=f(x)
B
直线AB 的斜率
f(x1)
O
A
x2-x1=△xx
x1
x2
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做两个题吧!
• 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点 A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则 Δy/Δx=( )D
三星学科,教师助手,学生帮手,家长朋友！
四、求长度、面积、体积和重心等。
微积分主要与四类问题的处理相关:
气球的体积V(单位:L)与半径r
这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2
三、求已知函数的最大值与最小值;
这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2
三星学科,教师助手,学生帮手,家长朋友！
(单位:dm)之间的函数关系是 V (r) 4 r 3
3
• 如果将半径r表示为体积V的函数,那么
r (V ) 3 3V 4
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我们来分 • 问题1 气球膨胀率
析一下:
我们都吹过气球回忆一下吹 气球的过程,可以发现,随着气球内空
r (V ) 3 3V 4
气容量的增加,气球的半径增加越来 越慢.从数学角度,如何描述这种现象 呢?