人教版九年级下册第二十七章《相似》单元测试

人教版九年级下册第二十七章《相似》单元测试
一、选择题
1、已知=，则的值是( )
A． B． C． D．
2、如图，在四边形ABCD中，E，F分别在AD和BC上，AB∥EF∥DC，且DE=3，DA=5，CF=4，则FB等于（）
A． B． C．5 D．6
3、已知x：y=2：3，则（x+y）：y的值为（）
A．2：5 B．5：2 C．5：3 D．3：5
4、如图所示的三个矩形中，是相似的是（）
A．甲与乙 B．乙与丙 C．甲与丙 D．甲乙丙都相似
5、下列各组线段中，成比例线段的组是( )
A．3cm，4cm，5cm，8cm B．1cm，3cm，4cm，8cm
C．2.1cm，3.2cm，5.4cm，6.5cm D．0.15cm，0.18cm，4cm，4.8cm．
6、如图，AB∥CD∥EF，AD＝4，BC＝DF＝3，则BE的长为( )
A. B. C．4 D．6
7、．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S
△COA=1：25，则的值为（）
A． B． C． D．
8、如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，
且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（）A．（3，2）； B．（3，1）； C．（2，2）； D．（4，2）；
9、为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
10、如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE=4，则BC的长是（）
A．8 B．10 C．11 D．12
11、如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）.
A． B． C． D．
12、如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上.若测得BE＝20m，EC＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于（）
A. 60m
B. 40m
C. 30m
D. 20m
13、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积
的，那么点B′的坐标是( )
A.(-2，3)
B.(2，-3)
C.(3，-2)或(-2，3)
D.(-2，3)或(2，-3)
14、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，
矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是 ( )。

A．(2, ) B．(－2，-) C．(2, )或(－2，) D．(2, )或(－2，
-)
二、填空题
15、已知，则.
16、已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列给出的条件中，不能判定DE∥BC的是（）
A．BD：AB=CE：AC B．DE：BC=AB：AD C．AB：AC=AD：AE D．AD：DB=AE：EC
17、如图，已知零件的外径为25，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC＝OD）
量零件的内孔直径AB．若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10，则零件的厚度．
18、如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连接DE，要使△ADE∽△ACB，还需添加一
个条件：
.（只需写一个）
19、如图，点O是边长为4的等边△ABC的内心，将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1，B1C1交BC于点D，B1C1交AC于点E，则DE= ．
20、如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和4，∠A=120°．则阴影部分面积是______．（结果保留根号）
21、如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：
①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，
其中正确的结论的个数是．
22、如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF＝1，则BC＝________，△ADE与△ABC的周长之比为________，△CFG与△BFD的面积之比为
________．
23、如图，点D，E分别在AB，AC上，且∠ABC＝∠AED.若DE＝4，AE＝5，BC＝8，则AB的长为________．
24、如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝10.四边形BDEF是△ABC的内接正方
形(点D，E，F在三角形的边上)，则此正方形的面积是________．
25、如图，身高为1.7 m的小明AB站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高
度，CD在水中的倒影为C′D，A，E，C′在一条线上．已知河BD的宽度为12 c m，BE＝3 m，则树CD的高度为________．
26、如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，﹣3），△AB′O′是△ABO关于的A的位似图形，且O′的坐标为（﹣1，0），则点B′的坐标
为．
27、如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是___________．
三、简答题
28、如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．
（1）在图1中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）在图1中画出将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°所得的△A2B2C2；
（3）在图2中，以点O为位似中心，将△ABC放大，使放大后的△A3B3C3与△ABC的对应边
的比为2：1（画出一种即可）．直接写出点A的对应点A3的坐标．
29、如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，点E在AD边上，且AE=4，EF⊥BE交CD于点F．（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）求EF的长．
30、淇淇和嘉嘉在习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆高度．
（1）如图1所示，淇淇将镜子放在地面上，然后后退直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，已知淇淇同的身高是1.54m，眼睛位置A距离淇淇头顶的距离是4cm，求旗杆DE的高度．
如图2所示，嘉嘉在某一时刻测得 1 米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（BC），另一部分落在斜坡上（CD），他测得落在地面上的
影长为10米，落在斜坡上的影长为米，∠DCE=45°，求旗杆AB的高度？
31、如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且AD∥CO.
(1)求证：△ADB∽△OBC；
(2)连接C D，试说明CD是⊙O的切线；
(3)若AB=2，BC= ，求AD的长.(结果保留根号)
32、已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ ∽△QCP．
33、已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4，点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图（1））或线段AB的延长线（如图（2））于
点P.
当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC.
34、如图，已知AB∥CD，AD、BC相交于点E，点F在ED上，且∠CBF=∠D．
（1）求证：FB2=FE•FA；
（2）若BF=3，EF=2，求△ABE与△BEF的面积之比．
35、晚上，小亮在广场乘凉，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯
（1）请你在图中画出小亮在照明灯P照射下的影子BC（请保留作图痕迹，并把影子描成粗线）；
（2）如果小亮的身高AB=1.6m，测得小亮影长BC=2cm，小亮与灯杆的距离BO=13m，请求出灯杆的高PO．
参考答案
一、选择题
1、A
【考点】分式的基本性质．
【专题】计算题．
【分析】因为已知=，所以可以设：a=2k，则b=3k，将其代入分式即可求解．
【解答】解：∵=，
∴设a=2k，则b=3k，
∴==，
故选A．
【点评】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
2、B．
3、C【考点】比例的性质．
【分析】根据比例设x=2k，y=3k，然后代入比例式进行计算即可得解．
【解答】解：设x=2k，y=3k，
则（x+y）：y=（2k+3k）：3k=5：3．
故选C．
【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．
4、B【考点】相似多边形的性质．
【分析】分别求出三个矩形的邻边之比，根据相似多边形的判定定理判断即可．
【解答】解：甲、乙、丙的邻边之比分别为：3：4，1：2，1：2，
∴相似的是乙与丙，
故选：B．
【点评】本题考查的是相似多边形的判定，掌握两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形是解题的关键．
5、D
【考点】比例线段．
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、3×8≠4×5，故选项错误；
B、1×8≠3×4，故选项错误；
C、2.1×6.5≠3.2×5.4，故选项错误；
D、0.15×4.8=0.18×4，故选项正确．
故选：D．
【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
6、B
7、B【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到答案．
【解答】解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，
∴=，
∵DE∥AC，
∴==，∴=，
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
8、A；
9、C【考点】相似三角形的应用；解直角三角形的应用．
【分析】根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于相似三角形的性质，
根据=即可解答．
【解答】解：此题比较综合，要多方面考虑，
①因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；
②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；
③，因为△ABD∽△EFD可利用=，求出AB；
④无法求出A，B间距离．
故共有3组可以求出A，B间距离．
故选C．
10、D【考点】平行线分线段成比例．
【分析】由在△ABC中，DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，即可得DE：BC=AD：AB，又由
，DE=4，即可求得BC的长．
【解答】解：∵，∴=，
∵在△ABC中，DE∥BC，
∴=，
∵DE=4，∴BC=3DE=12．故选D．
11、B、 12、B； 13、D14、D
二、填空题
15、.4
16、B【考点】平行线分线段成比例．
【分析】根据已知选项只要能推出=或=，再根据相似三角形的判定推出△ADE∽△ABC，推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定推出DE∥BC，即可得出选项．
【解答】
解：A、∵BD：AB=CE：AC，
∴=，
∴=，
∴1﹣=1﹣，
∴=，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，正确，故本选项错误；
B、∵根据DE：BC=AB：AD不能推出△ADE∽△ABC，∴不能推出∠ADE=∠B，
∴不能推出DE∥BC，错误，故本选项正确；
C、∵AB：AC=AD：AE，
∴=，
∴=，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，正确，故本选项错误；
D、∵AD：DB=AE：EC，
∴=，
∴=，
∴=，
∴﹣1=﹣1，
∴=，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，正确，故本选项错误；
故选B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，解此题的关键是能推出△ADE≌△ABC，题目比较好，难度适中．
17、；
18、（答案不唯一）；
19、6﹣2．.分析：令OB1与BC的交点为F，B1C1与AC的交点为M，过点F作FN⊥OB于点N，
根据等边三角形的性质以及内心的性质找出△FOB为等腰三角形，并且△BFO∽△B1FD，根据相似三角形的性质找出B1D的长度，再通过找全等三角形以及解直角三角形求出C1E的长度，由此即可得出DE的长度．
解：令OB1与BC的交点为F，B1C1与AC的交点为M，过点F作FN⊥OB于点N，如图所示．
∵将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1，
∴∠BOF=30°，
∵点O是边长为4的等边△ABC的内心，
∴∠OBF=30°，OB=AB=4，
∴△FOB为等腰三角形，BN=OB=2，
∴BF===OF．
∵∠OBF=∠OB1D，∠BF O=∠B1FD，
∴△BFO∽△B1FD，
∴．
∵B1F=OB1﹣OF=4﹣，
∴B1D=4﹣4．
在△BFO和△CMO中，有，
∴△BFO≌△CMO（ASA），
∴OM=BF=，C1M=4﹣，
在△C1ME中，∠C1ME=∠MOC+∠MCO=60°，∠C1=30°，
∴∠C1EM=90°，
∴C1E=C1M•sin∠C1ME=（4﹣）×=2﹣2．
∴DE=B1C1﹣B1D﹣C1E=4﹣（4﹣4）﹣（2﹣2）=6﹣2．故答案为：
20、解：如图，设BF交CE于点H，
∵菱形ECGF的边CE∥GF，
∴△BCH∽△BGF，
∴，
即，
解得CH=，
所以，DH=CD﹣CH=2﹣，
∵∠A=120°，
∴∠ECG=∠ABC=180°﹣120°=60°，
∴点B到CD的距离为2×，
点G到CE的距离为4×，
∴阴影部分的面积=S△BDH+S△FDH，
=，
=．
21、①②③④．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．
【分析】由正方形的性质得出∠FAD=90°，AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正确；
证明四边形CBFG是矩形，得出S△FAB=FB•FG=S四边形CBFG，②正确；
由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°，③正确；
证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例，得出D•FE=AD2=FQ•AC，④正确．
【解答】解：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，
∴∠CAD+∠FAG=90°，
∵FG⊥CA，
∴∠GAF+∠AFG=90°，
∴∠CAD=∠AFG，
在△FGA和△ACD中，，
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC=FG，①正确；
∵BC=AC，
∴FG=BC，
∵∠ACB=90°，FG⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形，
∴∠CBF=90°，S△FAB=FB•FG=S四边形CBFG，②正确；
∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，
∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；
∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC：AD=FE：FQ，
∴AD•FE=AD2=FQ•AC，④正确；
故答案为：①②③④．
22、2；12；16
23、10 点拨：∵∠ABC＝∠AED，∠BAC＝∠EAD，∴△AED∽△ABC，∴＝，∴＝
，∴AB＝10.
24、25
25、5.1 m
26、
27、(9，0)
三、简答题
28、【考点】作图-位似变换；作图-轴对称变换；作图-旋转变换．
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2；（3）把点A、B、C的横纵坐标都乘以﹣2得到A3、B3、C3的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1为所作；
（2）如图1，△A2B2C2为所作；
（3）如图2，△A3B3C3△ABC为所作，此时点A的对应点A3的坐标是（﹣4，﹣4）．
29、（1）见解析；（2）．
【解析】试题分析：（1）根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，再根据同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用两角对应相等，两三角形相似证明；
（2）利用勾股定理列式求出BE，再求出DE，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
试题解析：（1）证明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠2+∠3=180°-90°=90°，
∴∠1=∠3，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△ABE∽△DEF；
（2）∵AB=3，AE=4，
∴BE==5，
∵AD=6，AE=4，
∴DE=AD-AE=6-4=2，
∵△ABE∽△DEF，
∴，即，解得EF=．
30、（1）；（2）8m
（2）延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC于点E
∵CD=m，∠DCE=45°
∴DE=CE=2m
∵
∵同一时刻物高与影长成正比
∴EF=2DE=4m
∴BF=EF+CE+BC=16m
∴AB=FB=8m
31、证明：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.
∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°.
∵AD∥CO，∴∠A=∠BOC，∴△ADB∽△OBC.
(2)如图，连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°. ∵AD∥CO，∴∠DFO=90°.
∵∠ODB=∠OBD，∴∠DOF=∠BO F.
∵OD=OB，OC=OC，
在△ODC和△OBC
中，
∴△ODC≌△OBC(SAS)，
∴∠CDO=∠CBO=90°，∴CD是⊙O的切线.
(3)∵AB=2，∴OB=1.
∵BC= ，∴OC=
∵△ADB∽△OBC，
∴
解得AD=
32、.提示：由正方形性质及已知得PC=BC=CD，DQ=CD，即：DQ:PC=2:1
QC:AD=2:1 加上直角相等可证相似.
33、证明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠APQ=∠C，在△APQ与△ABC中，∵∠APQ=∠C，∠A=∠A，∴△AQP∽△ABC.
34、【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）要证明FB2=FE•FA，只要证明△FBE∽△FAB即可，根据题目中的条件可以找到两个三角形相似的条件，本题得以解决；
（2）根据（1）中的结论可以得到AE的长，然后根据△ABE与△BEF如果底边分别为AE和EF，则底边上的高相等，面积之比就是AE和EF的比值．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠D．
又∵∠CBF=∠D，
∴∠A=∠CBF，
∵∠BFE=∠AFB，
∴△FBE∽△FAB，
∴
∴FB 2
=FE •FA ；
（2）∵FB 2
=FE •FA ，BF=3，EF=2 ∴32
=2×（2+AE ）
∴
∴，
∴△ABE 与△BEF 的面积之比为5：4．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 35、【考点】相似三角形的应用；中心投影． 【分析】（1）直接根据题意得出影子BC 的位置；
（2）根据题意得出△POC ∽△ABC ，进而利用相似三角形的性质得出PO 的长． 【解答】解：（1）如图所示：BC 即为所求；
（2）由题意可得：PO ⊥OC ，AB ⊥OC ， ∴∠POC=∠ABC=90°，且∠OCP=∠BCA ， ∴△POC ∽△ABC ，
∴=，
又∵AB=1.6，BC=2，OB=13，
∴=，
解得：PO=12，
答：灯杆的高PO 为12m ．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出△POC∽△ABC是解题关键．
人教九下数学 第27章 相似三角形的判定及有关性质综合测试（含答案）
一、选择题（每小题6分，共48分）
1．在△ABC 中，D 、F 是AB 上的点，E 、H 是AC 上的点，直线DE//FH//BC ，且DE 、FH 将△ABC 分成面积相等的三部分，若线段FH=65，则BC 的长为（ ） A ．15 B ．10 C.
6215 D ．153
2
2．在△ABC 中，DE//BC ，DE 交AB 于D ，交AC 于E ，且S △ADE ：S 四边形DBCE
=1：2，则梯形的
高与三角形的边BC 上的高的比为（ ）
A ．1：2
B ．1：)12(-
C ．1：)13(-
D ．)13(-：3
3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是斜边AB 上的高，AC=5，BC=8，则S △ACD ：S △CBD 为（ ） A ．
8
5
B ．
64
25 C ．
39
25 D ．
89
25 4．如图1—5—1，D 、E 、F 是△ABC 的三边中点，设△DEF 的面积为4，△ABC 的
周长为9，则△DEF 的周长与△ABC 的面积分别是（ ）
A.
29
，16 B. 9，4 C. 29，8 D. 4
9
，16
5．如图1—5—2，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，下列条件：
（1）∠B+∠DAC=90°；（2）∠B=∠DAC ； （3）
AB
AC AD CD =；（4）AB 2
=BD ·BC 。

其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有（ ） A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
6．如图1—5—3，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且3
1
AC AD =，AE=BE ，则有（ ）
A. △AED ∽△BED B ．△AED ∽△CBD C. △AED ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD
7．如图1—5—4，PQ//RS//AC ，RS=6，PQ=9，SC 3
1
QC =，则AB 等于（ ） A. 4
15
B. 4
36
C. 2
17
D. 5
8．如图1—5—5，平行四边形ABCD 中，O 1、O 2、O 3是BD 的四等分点，连接AO 1，并延长交BC 于E ，连接EO 2，并延长交AD 于F ，则
FD
AD
等于（ ）
A ．3：1
B ．3：1
C ．3：2 D. 7：3
9．如果一个三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，那么这个三角形必是（ ） A ．等腰三角形 B. 任意三角形
C ．直角三角形
D ．直角三角形或等腰三角形
10．在△ABC 和△A'B'C'中，AB ： AC=A'B'：A'C'，∠B=∠B'，则这两个三角形（ ） A ．相似，但不全等 B ．全等
C ．一定相似
D ．无法判断是否相似
11．如图1—6—1，正方形ABCD 中，E 是AB 上的任一点，作EF ⊥BD 于F ，则BE
EF
为（ ）
A ．
2
2
B ．
2
1
C ．
3
6
D ．2
图1—6—1
12．如图1—6—2，把△ABC 沿边AB 平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC 的面积的一半，若2AB =，则此三角形移动的距离
AA'是（ ）
A ．12-
B ．
2
2
C ．1
D ．
2
1 图
1—6—2
13．如图1—6—3，在四边形ABCD 中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=32，AD=2，
则四边形ABCD 的面积是（ ）
A ．24
B ．34
C ．4
D ．6 图1—6—3
14．如图1—6—4，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有（ ）
A ．3对
B ．4对
C ．5对
D ．6对
15．在直角三角形中，斜边上的高为6cm ，且把斜边分成3：2两段，则斜边上的中线的长为（ ）
A.
2
6
5cm B ．64cm C ．65cm
D ．
32
5
cm
16．AD 为Rt △ABC 斜边BC 上的高，作DE ⊥AC 于E ，45AC AB =，则EA
CE
=（ ） A ．
25
16 B ．
5
4
C ．45
D ．16
25
17．如图1—6—5，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC ，已知AB=m ，BC=n ，求
CD 的长。

甲同学求得CD=m －n ，乙同学求得
m
n CD 2
=,下列判断正确的是（ ）
A ．甲、乙都正确
B ．甲正确、乙不正确
C ．甲不正确、乙正确
D ．甲、乙都不正确
18．如图1—6—6，在直角梯形ABCD 中，AB=7，AD=2，BC=3。

如果边AB 上的点P 使得以P 、A 、D 为顶点的三角形和以P 、B 、C 为顶点的三角形相似，那么这样的点P 有（ ）
A ．1个
B ．2个 C. 3个 D ．4个
二、填空题（每小题4分，共16分）
19．直角三角形的三边成等差数列，则最小角的正弦值是__________________。

20．如图1—5—6，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，AC=6，AD=3.6，则BC=_______________。

21．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则此三角形的面积是____________________。

22．在△ABC 中，BD ，CE 分别为AC 、AB 边上的中线，M 、N 分别是BD ，CE 的中点，则MN ：BC=_______________________。

23．在△ABC 中，DE//BC ，D 、E 分别在AB 、AC 边上，若AD=1，DB=2，那么
DE
BC
DE +=_______________________。

24．平行于△ABC 的边AB 的直线交CA 于E ，交CB 于F ，若直线EF 把△ABC 分成面积相等的两部分，则CE ：CA=__________________。

25．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，该图中共有x 个三角形与△ABC 相似，则x=________________________。

26．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC=∠ADC ，AC=8，BC=16，则CD=_______________________。

三、计算题（本大题共86分）
27．如图1—5—7，△ABC 为直角三角形，∠ABC=90°，以AB 为边向外作正方形ABDE ，连接EC 交AB 于P 点，过P 作PQ//BC 交AC 于点Q 。

证明PQ=PB 。

28．如图1—5—8，已知DE//AB ，EF//BC 。

求证：△DEF ∽△ABC 。

29．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，S 2
△BCD =S △ABC ·S △ADC 。

求证：BD=AC 。

30．如图1—5—9，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，在AD 上取一点F ，使2
1
FD AF =，连接FE 交CB 的延长线于H ，交AC 于G ，求证AC 5
1
AG =。

31．如图1—5—10，已知AD 是△ABC 的中线，过△ABC 的顶点C 任作一直线分别交AB 、AD 于点F 和点E ，证明：AE ·FB=2AF ·ED 。

32．如图1—5—11，在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c 。

点P 是AB 上一个动点（P 与A 、B 不重合）。

连接PC ，过P 作PQ//AC 交BC 于Q 点。

（1）如果a 、b 满足关系式a 2+b 2
－12a －16b+100=0，c 是不等式组
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+<+->-21x 63x 24x 3
1
x 2的最大整数解，试说明△ABC 的形状。

（2）在（1）的条件下，设AP=x ，S △PCQ =y ，求y 与x 之间的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围。

33．如图1—6—7，在△ABC 中，BD 是AC 边上的中线，BE=AB,且AE 与BD 交于F 点，求证：
AF
EF
BC AB。

34．如图1—6—8，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD ，找出图中两个相似的三角形，
并给出证明。

35．如图1—6—9，AD 、BE 是△ABC 的高，DF ⊥AB 于F ，DF 交BE 于G ，FD 的延长线交AC
的延长线于H ，求证DF 2
=FG ·FH 。

36．如图1—6—10，AP 是△ABC 的高，点D 、G 分别在AB 、AC 上，点E 、F 在BC 上，四边形DEFG 是矩形，AP=h ，BC=a ，（1）设DG=x ，S 矩形DEFG =y ，试用a 、h 、x 表示y ；（2）按题设要求得到的无数个矩形中是否能找到两个不同的矩形，使它们的面积和等于△ABC 的面积？
【试题答案】
一、选择题（每小题6分，共60分）
1. A
2. D
3. B
4. A 解析：如图D —1—24所示，
∵D 、E 、F 分别为△ABC 三边中点
∴BC 2
1//EF ， ∴AB C AEF ∆~∆ 且
2
1
BC EF = ∴
9l ,2
1
BC EF l l ABC ABC DEF ===∆∆∆ ∴2
9l DEF =
∆
又4S ,4
1BC EF S S DEF 22ABC DEF ===∆∆∆ ∴16S ABC =∆
故16S ,2
9
l ABC DEF ==
∆∆ ∴选A
5. A 解析：验证法：（1）不能判定△ABC 为直角三角形
∵∠B+∠DAC=90°，而∠B+∠DAB=90°，∴∠BAD=∠DAC 同理∠B=∠C ，不能判定∠BAD+∠DAC 等于90°；
（2）中∠B=∠DAC ，∠C 为公共角，∴△ABC ∽△DAC 。

∵△DAC 为直角三角形，∴△ABC 为直角三角形；
在（3）中，
AB
AC
AD CD =
可得△ACD ∽△BAD ， ∴∠BAD=∠C ，∠B=∠DAC ，∴∠BAD+∠DAC=90°；
（4）中AB 2
=BD ·BC ，即
BC
AB
AB BD =
，∠B 为公共角， ∴△ABC ∽△DBA ，即△ABC 为直角三角形。

∴正确命题有3个 选A 。

6. B 解析：直接法。

注意到∠A=∠C=60°
可设AD=a ，则AC=3a ，而AB=AC=BC=3a 所以AE=BE=a 2
3
， 所以
3
2
a 2
3a AE AD ==。

又3
2a 3a 2BC CD ==，所以
CB CD
AE AD =，∠A=∠C=60°， 故△AED ∽△CBD ，选B 。

7. A 8. B
9. D 10. D 11. A 12. C
13. C 解析：由∠B=∠D=90°，于是设想构造直角三角形，
延长BA 与CD ，它们的延长线交于E ，则得到Rt △BCE 和Rt △ADE 由题目条件知，△ADE 为等腰直角三角形，
∴DE=AD=2，∴S △ADE =
2
1
×2×2=2. 又可证Rt △EBC ∽Rt △EDA ，
4
S S S S 3S 3232AD BC S S ADE EBC ABCD EDA EBC 2
2
EDA EBC =-=∴=∴=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴∆∆∆∆∆∆四边形选C
14. D
解析：由AB//CD ，可得△CGF ∽△BGA ，△ABE ∽△FDE 又由AD//BC ，
可得△CGF ∽△DAF ，△AED ∽△GEB
还可得△DAF ∽△BGA ，△ABD ∽△CDB ，故共有6对。

15. A 16. A 17. A 18. C
解析：直接法。

假设有一点P ，连接PD 、PC 设AP=x ，则PB=7－x （1） 若△PAD ∽△PBC ，则BC
PB
AD PA =
， 即
3x 72x -=得75
14
x <=，符合条件。

（2）若△PAD ∽△CBP ，
即
06x 7x ,x
732x 2=+--=，解得6x ,1x 21==也符合条件 故满足条件的点P 有3个。

二、填空题（每小题4分，16分） 19.
5
3
解析：设三边长a －d ，a ，a+d （d>0）， 则（a+d ）2
=a 2
+（a －d ）2
，∴a=4d ． ∴三边之比为3：4：5． 20. 8
21. 48 22. 1：4 23. 4 24.
2
2 25. 2 解析：△ACD ∽△ABC ，△CBD ∽△ABC 26. 4。

解析：由△BAC ∽△ADC 可知
CD
AC
AC BC = 三、解答题（本大题共74分）
27. 证明：∵PQ//BC ，BC//AE ，∴PQ//AE
∴∠CPQ=∠CEA ，∠CQP=∠CAE ．∴△CPQ ∽△CEA ．
∴
CE
CP
EA PQ = 同理可得CE CP ED PB =，ED
PB
AE PQ =而AE=DE ，∴PQ=PB ．
28. 证明：∵DE//AB ，∴
OB OE
OA OD AB DE =
= ① 又∵EF//BC ， ∴OC
OF
OB OE BC EF =
=
②
∴BC
EF AB DE = 由①②知OC
OF
OA OD =
，而∠FOD=∠COA ， ∴△FOD ∽△COA ，∴OA
OD
AC DF =
∴在△ABC 和△DEF 中，有AC
DF
BC EF AB DE =
= ∴△ABC ∽△DEF
29. 证明：如图D —1—25
AD AB BD ,AD
BD BD AB CD AD CD
BD CD AD CD AB S S S S 2ADC
BDC
BDC ABC ⋅=∴=⋅⋅=
⋅⋅∴
=
∆∆∆∆即 由射影定理得，AB AD AC 2
⋅=
∴AC 2
=BD 2
，即AC=BD ． 30. 证明：∵
21FD AF =，∴31AD AF =，即3
1
BC AF = ∵AE=EB ，∠AEF=∠HEB ，∠FAE=∠EBH
∴△AFE ≌△BHE ，∴AF=BH ，∴
4
1
CH AF = ∵△AGF ∽△CGH ，∴4
1
CG AG CH AF ==
∴51AC AG =，即AC 5
1AG = 31. 证明：过D 作DH//CF 交AB 于点H ，
则∠BDH=∠BCF ，∠B=∠B ，∴△BDH ∽△BCF
又D 为BC 的中点∴
2
1
BF BH BC BD == ∴BF 21BH =，即BF 2
1
FH =
同理可证△AEF ∽△ADH ∴BF 2
1
AF
FH AF ED AE =
=
∴BF
AF 2ED AE =，即ED A F 2B F A E ⋅=⋅
32. 解：（1）0100b 16a 12b a 2
2=+--+
即0)8b ()6a (2
2
=-+- ∴a=6，b=8
解不等式组⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+<+->-21
x 63x 24x 3
1
x 2 解得11x 25<<
∴c=10，∴2
2
2
c b a =+∴△ABC 是直角三角形
（2）由（1），得24ab 2
1
S ABC ==
∆ 33. 证明：过E 作EK//BD ，则△BCD ∽△ECK
∴
DC
DK
BC BE =
∵EK//BD ∴AD
DK
AF EF =
∵BD 为AC 边上的中线，∴AD=DC ， ∴
AF EF BC BE =，∵BE=AB ，∴AF
EF
BC AB =
34. 解：∵∠APB=90°，AP=PB=BC=CD ，∴AB=2AP 。

在△ABC 和△DBA 中，∠ABC=∠ABD ，
21
AP 2AP 2BD AB ,21AB BC =
== DBA ABC ,BD
AB
AB BC ∆∆∴=∴
∽ 35. 证明：∵BE ⊥AC ，∴∠ABE+∠BAE=90° 同理，∠H+∠HAF=90°，
∴∠ABE=∠H ，又∠BFG=∠HFA ，
∴△BFG ∽△HFA ，∴BF ：HF=FG ：AF. ∴BF ·AF=FG ·FH.
Rt △ADB 中，DF 2=BF ·AF ，∴DF 2
=FG ·FH. 36. 解：（1）∵四边形DEFG 为矩形，∴DG//EF.
∴△ADG ∽△ABC ，∴
BC DG
AP AM = ∵AM=AP －MP ，MP=DE=x
y
)
a x 0(x a h
hx y a
x h x y h 2<<-=∴=-
∴
（2）假设存在这样两个不同的矩形，设它们的面积分别是y 1、y 2，对应的DG 的长分别是x 1、x 2（x 1≠x 2），则S △ABC =S 矩形1+S 矩形2。

2
22211x a
h hx x a h hx ah 21-+-=∴ 02a x 2a x 2
22
1=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-∴2a x x 21==∴
这与x 1≠x 2矛盾，故不存在满足条件的矩形
x
5
12
x 256S S S 24
x 5
24
x 256)x 10(10024S 10x 1024S AB PB S S ABC PBQ ,AC //PQ x 5
12
24)x 10(512S AB
:PB S :S 2PBQ PBC PCQ 22PBQ 2
PBQ
2
ABC PBQ PBC ABC PBC +-=-=∴+-=-=∴⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=∴
∆∆∴-=-=
∴=∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆即∽
即)10x 0(x 5
12
x 256y 2<<+-
=
人教新版九年级下学期《第27章相似》单元测试卷
一．选择题
1．已知＝，那么下列等式中一定正确的是（）
A．＝B．＝
C．＝D．＝
2．已知a：b＝3：2，则a：（a﹣b）＝（）
A．1：3 B．3：1 C．3：5 D．5：3
3．在比例尺是1：8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25cm，它的实际长度约为（）
A．320cm B．320m C．2000cm D．2000m
4．已知线段AB＝1，C是AB的黄金分割点，AC＞BC，则BC的长为（）
A．﹣1 B．C．D．
5．如图，若DC∥FE∥AB，则有（）
A．B．C．D．
6．我们已经学习了相似三角形，也知道，如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；
③两个长方形；④两个正六边形，是相似图形的有（）
A．①③B．①②C．①④D．②③
7．如图的两个四边形相似，则∠α的度数是（）
A．87°B．60°C．75°D．120°
8．若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
9．如图，已知AB＝2，AD＝4，∠DAB＝90°，AD∥BC．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点，连结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D 为顶点的三角形与△BME相似，则线段BE的长为（）
A．3 B．6 C．3或8 D．2或8
10．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC＝3：2：1，M在AC边上，CM：MA＝1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）
A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10 11．1米长的标杆直立在水平的地面上，它在阳光下的影长为0.8米，此时，若某电视塔的影长为100米，则此电视塔的高度应是（）
A．80米B．85米C．120米D．125米
12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝3，BD＝1，则BC的值是（）
A．2B．C．2 D．4
13．如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OB：OB'＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（）
A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：
二．填空题
14．已知线段a＝10cm，b＝2m，则＝．
15．若，则＝．
16．若b＝2，c＝8，且a是b和c的比例中项，则a＝．
17．黄金分割比是＝＝0.61803398…，将这个分割比用四舍五入法精确到0.001的近似数是．
18．如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB ＝3：2，那么BF：FC＝．
19．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是．
20．已知两个相似多边形的相似比为5：7，若较小的一个多边形的周长为35，则较大的一个多边形的周长为；若较大的一个多边形的面积是4，则较小的一个多边形的面积是．
21．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是．
22．如图，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
23．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，
AM＝AB．若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是．
24．如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；
从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是米．
25．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，在如图5×5的方格纸中，以A，B为顶点作格点三角形ABC与△OAB相似（相似比不能为1），则另一个顶点C的坐标为．
26．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，AD ＝4，BD ＝1，则CD 的长为 ．
27．如图，在直角坐标系中，举行你OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA ′B ′C ′的
面积等于矩形OABC 面积的，B 的坐标是（4，2），那么点B ′的坐标是 ．
28．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，且OA ＝2．OC ＝1，则矩形AOCB 的对称中心的坐标是 ；在第二象限内，将矩形AOCB
以原点O 为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A 1OC 1B 1，再将矩形A 1OC 1B 1以原点
O 为位似中心放大倍，得到矩形A 2OC 2B ，…，按此规律，则矩形A 4OC 4B 4的对称中心的坐标是 ．
三．解答题
29．若x 、y 、z 满足＝＝＝k ，求k 的值．
30．已知：＝＝，求的值．
31．如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果
，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别
为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在△A BC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD 是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．
（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC 于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD 的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．
32．如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．
33．如图所示，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC于G．
（1）说明点G是线段BC的一个三等分点；
（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（保留作图痕迹，不必证明）．。