四川省自贡市牛佛片区2012-2013学年八年级(下)期中数学试卷(解析版)

四川省自贡市牛佛片区2012-2013学年八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）下列有理式中①，②，③，④中分式有（）个．
A．1B．2C．3D．4
考点：分式的定义．.
分析：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．解答：解：①、③的分母中含有字母，故①、③是分式；
②、④的字母中不含字母，因此②、④是整式，而不是分式；
故选B．
点评：本题主要考查分式的定义，需注意的是π不是字母，而是常数．
2．（3分）为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（）
A．0.7米B．0.8米C．0.9米D．1.0米
考点：勾股定理的应用．.
专题：应用题．
分析：仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可．
解答：解：梯脚与墙角距离：=0.7（米）．
故选A．
点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
3．（3分）（2006•扬州）若双曲线y=﹣经过点A（m，3），则m的值为（）
A．2B．﹣2 C．3D．﹣3
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．.
分析：直接把点A（m，3）代入函数解析式即可求得m的值．
解答：解：将A（m，3）代入双曲线y=﹣得，3=﹣，m=﹣2．
故选B．
点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．函数图象过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式．
4．（3分）已知双曲线y=（k≠0）经过点（3，1），则它还经过点（）
A．（，﹣9）B．（﹣1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（6，﹣）
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．.
分析：将（3，1）代入y=即可求出k的值，再根据k=xy解答即可．
解答：解：∵双曲线y=（k≠0）经过点（3，1），
∴k=3×1=3，只有C中有（﹣1）×（﹣3）=3．
故选C．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
5．（3分）下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（）
A．a=1.5，b=2，c=3 B．a=7，b=24，c=25 C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=5
考点：勾股定理的逆定理．.
分析：根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
解答：解：A不是：因为1.52+22≠32所以不是直角三角形，
B，C，D选项的三个数都满足这种关系，能作为直角三角形的三边长．
故选A．
点评：本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
6．（3分）下列各式，正确的是（）
A．=0 B．C．
D．
=1
考点：分式的基本性质．.
分析：根据分式的基本性质作答．
解答：解：A、只有当分子为0，分式才为0，题中没有这个条件，故A错误；
B、当分子分母异号时，两边都平方等式不成立，故B错误；
C、不能约分，故C错误；
D、，故D正确．
故选D．
点评：本题主要考查了分式的基本性质，需要熟练掌握分式的基本性质．
7．（3分）（2012•西城区模拟）在同一直角坐标系中，函数y=kx﹣k与y=（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．
考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．.
专题：压轴题；数形结合．
分析：根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
解答：解：当k＞0时，
一次函数y=kx﹣k经过一、三、四象限，
反比例函数的y=（k≠0）的图象经过一三象限，
选项中没有符合条件的图象，
当k＜0时，
一次函数y=kx﹣k经过一、二、四象限，
反比例函数的y=（k≠0）的图象经过二四象限，
D选项的图象符合要求，
故选D．
点评：考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关．
8．（3分）在反比例函数y=的图象上有三点A1（x1，y1）、A2（x2，y2）、A3（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则下列各式中，正确的是（）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．.
分析：根据反比例函数解析式画出草图，再找出符合条件的点，可以直观的得到答案．
解答：解：如图所示：
根据函数图象可得y2＜y1＜y3，
故选：C．
点评：此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，做此类题目，画出图象，描出符合条件的点，可以直观的得到答案．
9．（3分）（2008•汕头）已知△ABC的三边长分别为5，13，12，则△ABC的面积为（）
A．30 B．60 C．78 D．不能确定
考点：勾股定理的逆定理；三角形的面积．.
分析：本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积公式．
解答：解：∵52+122=132，
∴三角形为直角三角形，
∵长为5，12的边为直角边，
∴三角形的面积=×5×12=30．
故选A．
点评：本题需要学生根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式结合求解．
10．（3分）某商店销售一种小电器，元月的营业额为5000元．为了扩大销量，在2月将每件小电器按原价的八折销售，销售量比元月增加了20件，营业额比元月增加了600元，设元月每件小电器的售价为x 元，则可列方程为（）
A．﹣=20 B．﹣=20
C．=﹣20 D．﹣=20
考点：由实际问题抽象出分式方程．.
专题：应用题．
分析：依题意，可知道等量关系式为2月份的销售量﹣元月的销售量=20，根据这个找出相关的量即可找到答案．
解答：解：依题意，元月每件小电器的售价为x元，则2月份的每件电器的售价为0.8x．则为2月份的销售量，为元月的销售量．
故方程为﹣=20，
故选D．
点评：本题的难度不大，关键是找准等量关系．考生平时应多注意找准等量关系式．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（3分）当x= 2 时，分式的值为零．
考点：分式的值为零的条件．.
分析：根据分式值为零的条件可得x2﹣4=0且xy+2y≠0，再解不等式即可．
解答：解：由题意得：x2﹣4=0且xy+2y≠0，
解得：x=2．
故答案为：2．
点评：此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
12．（3分）下列函数中，图象位于第一、三象限的有①②③，在图象所在象限内，y随着x值增大而增大的有④．
①②③（a为常数）④
考点：反比例函数的性质．.
分析：利用反比例函数的性质解答．
解答：解：①中k=＞0，图象位于第一、三象限，y随着x值增大而减小；
②中k=0.3＞0，图象位于第一、三象限，在同一个象限，y随着x值增大而减小；
③中k=a2+1＞0，图象位于第一、三象限，在同一个象限，y随着x值增大而减小；
④中k=﹣102＜0，图象位于第二、四象限，在同一个象限，y随着x值增大而增大．
故选④．
点评：定义：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．
因为y=是一个分式，所以自变量x的取值范围是x≠0．而y=有时也被写成xy=k或y=kx﹣1．
性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．
②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大
而增大．
k＞0时，函数在x＜0上为减函数、在x＞0上同为减函数；k＜0时，函数在x＜0上为增函数、在x＞0上同为增函数．
定义域为x≠0；值域为y≠0．
③因为在y=（k≠0）中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，
也不可能与y轴相交．
④在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成
的矩形面积为S1，S2，则S1=S2=|k|．
⑤反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x，y=﹣x（即第一、
三象限，第二、四象限角平分线），对称中心是坐标原点．
13．（3分）用科学记数法表示：305000= 3.05×105；0.000305= 3.05×10﹣4．
考点：科学记数法—表示较大的数；科学记数法—表示较小的数．.
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：305000=3.05×105；
0.000305=3.05×10﹣4．
故答案为：3.05×105；3.05×10﹣4．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．（3分）一艘船由于风向的原因先向正东方向航行了160km，然后向正北方向航行了120km，这时它离出发点有200 km．
考点：勾股定理的应用．.
分析：两段航行的路线正好互相垂直，构成直角三角形，利用勾股定理即可解答即可．
解答：解：如图，
A为出发点，B为正东方向航行了160km的地点，C为向正北方向航行了120km的地点，
故AB=160km，BC=120km，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC===200km．
故答案为200．
点评：本题考查直角三角形的性质及勾股定理的应用，关键是要根据题意画出图形即可解答．
15．（3分）某食用油生产厂要制造一种容积为5升（1升=1立方分米）的圆柱形油桶，油桶的底面面积s 与桶高h的函数关系式为．
考点：根据实际问题列反比例函数关系式．.
分析：根据等量关系“油桶的底面面积=油桶的体积÷桶高”即可列出关系式．
解答：解：由题意得：油桶的底面面积s与桶高h的函数关系式为S=．
故本题答案为：S=．
点评：本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解决此题的关键．
16．（3分）如果点（2，）和（﹣，a）都在反比例函数的图象上，则a= ﹣2 ．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．.
分析：根据反比例函数图象上点的坐标特点可得2×=﹣•a，再解方程即可．
解答：解：∵点（2，）和（﹣，a）都在反比例函数的图象上，
∴2×=﹣•a，
解得：a=﹣2．
故答案为：﹣2．
点评：此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
17．（3分）反比例函数y=（a﹣3）x（a+1）的函数值为4时，自变量x的值是y=﹣．
考点：反比例函数的定义．.
专题：计算题．
分析：根据反比例函数的定义先求出a的值，再求出自变量x的值．
解答：解：∵y=（a﹣3）x（a+1）是反比例函数，
∴a+1=﹣1，
解得a=﹣2，
当a=﹣2时，a﹣3=﹣2﹣3=﹣5≠0，
∴反比例函数解析式为y=﹣．
故答案为y=﹣．
点评：本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y=kx﹣1（k≠0）的形式．
18．（3分）如图，在一条公路CD的同一侧有A、B两个村庄，A、B与公路的距离AC、BD分别为50m、70m，且C、D两地相距50m，若要在公路旁（在CD上）建一个集贸市场（看作一个点），则A、B两村庄到集贸市场的距离之和最短是130m ．
考点：轴对称-最短路线问题．.
分析：本题即是要在CD上找一个点（设为点P），使AP+PB的和最小．设A′是点A关于CD的对称点，当A′、P、B三点共线时，AP+PB的和最小．
解答：解：延长AC到A′，使A′C=AC，则A′与点A关于CD对称．
连接A′B交CD于点P，连接PA，此时AP+PB的和最小．
∵A′与点A关于CD对称，
∴PA′=PA，
∴AP+PB=A′P+PB=A′B．
过点B作AC的垂线，垂足为点E．
在直角△A′BE中，BE=CD=50m，A′E=A′C+CE=AC+BD=120m，
由勾股定理，得A′B=130m．
∴AP+PB=130m．
故A、B两村庄到集贸市场的距离之和最短是130m．
点评：主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，本题关键是确定集贸市场点P的位置．
三、解答题（共46分）
19．（4分）计算：﹣．
考点：分式的混合运算．.
专题：计算题．
分析：根据分式混合运算的法则进行计算即可．
解答：
解：原式=﹣•
=﹣
=
=．
点评：本题考查的是分式的混合运算，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．
20．（5分）解方程：
考点：解分式方程．.
专题：计算题．
分析：因为x2﹣9=（x+3）（x﹣3），所以可得方程最简公分母为：（x+3）（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解答：解：方程两边同乘（x+3）（x﹣3），
得：2（x+3）﹣（x﹣3）=18，
整理得：2x+6﹣x+3=18，
解得：x=9，
检验：将x=9代入（x+3）（x﹣3）≠0，
∴原方程的解为：x=9．
点评：解分式方程的关键是两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，易错点是忽视检验．21．（7分）先化简，后求值：，其中x=2．
考点：分式的化简求值．.
专题：计算题．
分析：本题主要考查了分式的化简求值，其关键步骤是分式的化简．要熟悉混合运算的顺序，正确解题．解答：解：（1）原式=•=（x2﹣2x+1）•=x﹣1；
当x=2时，原式=1．
点评：本题主要考查分式的化简求值这一知识点，把分式化到最简是解答的关键．
22．（8分）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了500米到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500米到达目的地C点，求A、C两点间的距离．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．.
分析：根据B E∥AD，得出∠DAB=∠ABE=60°，再根据平角的定义得出30°+∠CBA+∠ABE=180°，求出∠CBA 的度数，判断出△ABC是直角三角形，最后根据勾股定理求出AC的值即可．
解答：解：∵BE∥AD，
∴∠DAB=∠ABE=60°，
∵30°+∠CBA+∠ABE=180°，
∴∠CBA=90°，
∴△ABC为直角三角形，
∵BC=500，AB=500，
∴AC2=BC2+AB2，
∴AC==1000（m）．
答：A、C两点间的距离是1000m．
点评：本题考查了方向角解直角三角形的应用，解题的关键是根据题意得出△ABC为直角三角形，再根据
勾股定理求出AC的长．
23．（13分）如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，求证：四边形BCEF是平行四边形．
考点：平行四边形的判定．.
专题：证明题．
分析：可连接AE、DB、BE，BE交AD于点O，由线段之间的关系可得OF=OC，OB=OE，可证明其为平行四边形．
解答：证明：连接AE、DB、BE，BE交AD于点O，
∵AB DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴OB=OE，OA=OD，
∵AF=DC，
∴OF=OC，
∴四边形BCEF是平行四边形．
点评：本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
24．（14分）某货车在发生交通事故后，沿一条小路向高速公路逃离，交警巡逻车立即沿另一公路向高速追击，在货车刚进入高速公路路口时，将它截住．已知警车的速度比货车快40千米/时，警车驶到高速公路行驶的路程是货车的2倍，求警车的速度．
考点：分式方程的应用．.
专题：应用题．
分析：等量关系为：警车所用的时间=货车所用时间．
解答：解：设警车的速度为x千米/时，在货车刚进入高速公路路口时走了m千米，则警车走了2m千米．由题意得：=．
解之得：x=80．
经检验：x=80是原方程的解．
答：警车的速度为80千米/时．
点评：列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．
25．（15分）某蓄水池的排水管每小时排水12立方米，8小时可将满池水全部排空．
（1）蓄水池的容积是多少？
（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到x（立方米），那么将满池水排空所需的时间y （小时）将如何变化？写出y与x之间的关系式；
（3）如果准备在6小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？
（4）已知排水管每小时的最大排水量为24立方米，那么最少多长时间可将满池水全部排空？
考点：一次函数的应用．.
分析：根据：每小时排水量×排水时间=蓄水池的容积，可以得到函数关系式．
（1）已知每小时排水量12m3及排水时间8h，可求蓄水池的容积为96m3；
（2）由基本等量关系得xy=96，判断函数关系，确定增减情况；
（3）由≤6可得：x≥16，进而得出答案；
（4）将x=24代入求得的函数关系式即可求得．
解答：解：（1）蓄水池的容积是：12×8=96（m3）；
（2）∵xy=96，y与x成反比例关系．
∴y与x之间的关系式为y=；
（3）∵y=≤6，
∴x≥16，即每小时的排水量至少为16m3；
（4）当x=24时，由24y=96得t=4，即最少用4h可将满池水全部排空．
点评：本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，再运用函数关系式解题．。