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自动控制原理辅导班讲义
一、 自动控制理论的分析方法：
（1）时域分析法；（2）频率法；（3）根轨迹法；（4）状态空间方法；（5）离散系统分析方法； （6）非线性分析方法 二、系统的数学模型
(1)解析表达：微分方程；传递函数；脉冲传递函数；频率特性；脉冲响应函数；阶跃响应函数 (2)图形表达：动态方框图（结构图）；信号流图；零极点分布；频率响应曲线；单位阶跃响应曲线
时域响应分析
一、对系统的三点要求：
(1)必须稳定，且有相位裕量γ和增益裕量g K
(2)动态品质指标好。

p t 、s t 、r t 、σ% (3)稳态误差小，精度高 二、结构图简化——梅逊公式 例1、
解：方法一：利用结构图分析：
()()()()[]()()[]()s X s Y s R s Y s X s R s E 11--=+-=
方法二：利用梅逊公式 ∆
∆
=
∑=n
k K
K P s G 1
)(
其中特征式 (11)
,,1
,1
+-
+
-=∆∑∑∑===Q
f e d f e d
M
k j k
j
N
i i L L L
L
L L
式中： ∑i L 为所有单独回路增益之和
∑j
i
L
L 为所有两个互不接触的单独回路增益乘积之和
∑f
e
d
L
L L 为所有三个互不接触的单独回路增益乘积之和
其中，k P 为第K 条前向通路之总增益；
k ∆ 为从Δ中剔除与第K 条前向通路有接触的项； n 为从输入节点到输出节点的前向通路数目 对应此例，则有：
通路：211G G P ⋅= ，11=∆
特征式：312131211)(1G G G G G G G G ++=---=∆
则：
3
121111)()
(G G G G P s R s Y ++∆=
例2：[2002年备考题]
解：方法一：结构图化简
继续化简：
结果为
其中)(s G =…
方法二：用梅逊公式
[]012342321123+----=∆H G G H G G G H G G
通路：1,1321651=∆
=G G G G G P
1232521,H G G
G P +=∆= 1,334653=∆=G G G G P
于是：()()......
3
32211=∆∆+∆+∆=P P P s R s Y
（1）参考输入引起的误差传递函数：
()H
G G
s R s E 2111
)(+=； 扰动引起的误差传递函数：
()()H
G G H G s N s E 2121+-
=
（2）求参考输入引起的稳态误差ssr e 时。

可以用 p K 、v K 、a K 叠加，也可以用终值定理：()s E s r s ⋅→0
lim
（3）求扰动引起的稳态误差 ssn e 时，必须用终值定理：()s E s N s ⋅→0
lim
（4）对阶跃输入：()s G K s p 00
lim →= ，
如()()t a t r 1⋅=，则()s a s R =
，p
ssr K a e +=1 （5）对斜坡输入：()s G s K s v 00
lim ⋅=→，
如()t b t r ⋅=，则()2s b s R =
，v
ssr K b e = （6）对抛物线输入：()s G s K s p 020
lim ⋅=→，
如()221t c t r ⋅=
，则()3s c s R =，a
ssr K c
e = 例3：求：
()()s R s Y ，令()0=s N ，求()()s
N s Y ，令()0=s R
继续化简，有：
当()0=s N 时，求得
()()
s R s Y =。

；当()0=s R 时，有 求得
()()
s N s Y =… 例4： 令()0=s N ，求
()()s R s Y ，令()0=s R ，求()()
s N s Y
为了完全抵消干扰对输出的影响，则()?=S G x
解：求
()()
s R s Y ，用用梅逊公式：
21111,1
G KG P +=∆= 1,212=∆=x G G P []12112111KG G KG KG G KG ++=---=∆
则：
()()1
2112111KG G KG G G G KG s R s Y x ++++=
，同理求得()()s R s Y =… 若完全抵消干扰对输出的影响，则干扰引起的输出应该为零。

即
()()s N s Y =0,故()()12112111KG G KG G G G KG s R s Y x
++++==0，所以1
211G G KG G x +-= 例5：[2002年题4] 其中 ()()
4111++=
s s s s G n ，()()222
+=s s K
s G n ，r(t)和n(t)分别是参考输入和扰动输入。

(1)求误差传递函数()()()
s R s E s G re =
和()()()s N s E s G ne =；
(2)是否存在n1≥0和n2≥0,使得误差为零？
(3)设r(t)和n(t)皆为阶跃输入，若误差为零，求此时的n1和n2 解：
①()()()2111
G G s R s E s G re +==
， ()()()2
121G G G s N s E s G ne +=
=，[N(s)为负] ② r(t)=t,要求ssr e =0.则系统应为Ⅱ型系统,那么n1+n2=2.
③ r(t)=1(t),n(t)= 1(t),要求ss e =0,则n1+n2=1
因为如
()()()()()()1
244+++++=s K s s s s K s N s E ,则 ()()()()()()41
lim lim lim 00
=⋅⋅=⋅⋅
=⋅=→→→s
s N s E s s N s N s E s s E s e s s s ssn
而事实上：
()()()()()()
1244+++++=s K s s s s Ks s N s E
()()()()()()01
lim lim lim 00
=⋅⋅=⋅⋅
=⋅=→→→s
s N s E s s N s N s E s s E s e s s s ssn
可见积分环节在()s G 1部分中，而不在()s G 2中。

故n1=1，n2=0。

就可以实现要求
例6：如图，当()()()︒--︒+=203cos 215sin t t t r 时，求稳态输出 解：应用频率法：
()7
5
+=
ωωφj j ，则
()73
58
7375071
1-++=
j j j φ ()⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-︒--⎪⎭⎫ ⎝⎛-︒+=
--∞→73tan 203cos 581071tan 15sin 505
|11t t t y t
四、动态指标
(1)二阶系统传递函数的标准形：
()()2
22
2n
n n s s R s Y ωξωω++= (2)ξθ=cos ，θ越大，ξ越小
(3)2
1ξ
ωθπ--=
n r t ，2
1ξ
ωπ-=
n p t ，n
s t ξω4
~3=
（Δ=5%或2%）
例7：如图，要求%30%,1.0==σs t p ，试确定参数K ，T 。

2n
n s s ++， 则T K n =
2
ω， T n 12=ξω。

由1.012=-=ξ
ωπn p t ，
3.01exp %2=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--
=ξπξ
σ，可得ξ=？，T=？ 例8：
求：① 选择1K ，t K ，使得σ%≤20%，ts=1.8秒(%2±=∆)
② 求p K 、v K 、a K ，并求出()()t t t r +=1时的稳态误差
解：①
()⎩⎨==⇒++=+
+=t
n n n
n n t K K K s s K s K K s s R 1122
2
112122ξωωξω 由σ%≤20%，则%201exp 2≤⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--
ξπξ
，求得ξ≥… 由8.14
==
n
s t ξω，求得n ω≤。

，从而得1K 、t K 。

② 由传递函数：()()
t K K s s K s G 11
0+=
得，
()∞==→s G K s p 00
lim ，()t
s v K s G s K 1
lim 00
=
⋅=→，()0lim 020=⋅=→s G s K s a
当()()t t t r +=1时，t t v
p ss K K K K e =+=++=
01
11 频率法
一、基本概念：
()()ωωj G s G j s ==，输入是正弦信号，稳态输出。

如：()t R t r 11sin ω=，
则()()()()()⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+∠++=
1111111sin 1ωωωωωj G j G t R j G j G t y 二、① 惯性环节
1+Ts K ，()221ω
ωT K
j G +=，
()()ωωT j G 1tan --=∠，︒-→︒900
②
()11+Ts s K ，()221ω
ωωT K
j G +=
()()ωωT j G 1tan 90--
︒-=∠，
则：+∞→0：
ω， ()︒-→︒-18090：ω
φ，()0→∞：ωA
注意：321ωωω==
因为()()()()(ωωφωφωφT j G 1321tan 90--︒-=∠===③
()()
1121++s T s T K
，（如图3）则
()()()()
ωωωωφω112
22
1tan 11T T T K
A ---∠+⋅+=
∠④
()()
1121++s T s T s K
，（如图4）
()()()()ωωωωωωφω21112
221tan tan 9011T T T T K
A ----︒-∠+⋅+=
∠求w1。

因()︒-=1801ωφ，故
︒=+⇒︒-=--︒-----90tan tan 180tan tan 9021112111ωωωωT T T T
两边取正切：
2
121211
1T T T T T T =
⇒∞=⋅-+ωωωωω ⑤
()()()
11121+++s T s T s s K τ，其中21T T >>τ，（如图5）
⑥ 增益裕量：()
11ωA K g =
，相位裕量：()c ωϕγ+︒=180，如图6
注意：用()1=c j G ω求
w1。

例1：
()()()
11121+++s T s T s s K τ，T1>T2，K=10，作出波德图 例2：[2002年题1]
求：(1)写出开环传递函数()s G 0 (2)计算系统的相位裕量和增益裕量
(3)做出()s G 0的Nyquist 曲线，并分析闭环系统的稳定性
解：① ()()()
11.0122
0++=
s s s K s G
可见图中2=c ω，因为幅频特性曲线在w1=0.5和w2=10时发生转折，显然w=2时，曲线只在w1=0.5发生转折，而未到w2=10。

故w2=10不发生作用，所以
()112222=⇒=⨯⋅K K ，故()()
11.01
22
++=︒s s s s G ② 相位裕量：()......2tan 4tan 18011=-=+︒=--c ωϕγ 因为()︒=-180tan 101ωj G ，则
∞=⇒=⇒=⇒=--g K 01.021.0tan 2tan 1111111ωωωωω ③：则Z=0，N=0，P=0。

符合Z=P+N ，故稳定
三、Nyquist 判据
Z 为闭环右半平面根数，P 为开环()s G 0右半平面根数，N 为()s G 0包围-1圈数，顺时针为正，逆时针为负。

当符合Z=P+N 是系统稳定。

其中Z=0 例3：()()()
T Ts s s K s G <++=
ττ,112
0 解：奈氏曲线如下图。

N=2，P=0，Z=N+P=2≠0，故不稳定。

例4：()()
12
0+=
Ts s K
s G ，如图：N=2，P=0，Z=N+P=2≠0，故不稳定。

例5：()010********=++++=+s s s s s G ，判断系统是否稳定。

分析：判断稳定性，用劳斯判据： ① 相邻系数必须为正，不能缺项 如：
()01230=++=+K s Ts s G 。

显然缺s 项，故不稳定。

② 劳斯阵列第一列全为正，则系统稳定。

如果有一个负数，则变号２次，即系统有２个有根，不稳定。

③ 系统如果与虚轴有交点，则劳斯阵有一行全为０，此行的上一行为辅助多项式，由辅助多项式可求出与虚轴的交点坐标。

如
062323=+++s s s ，劳斯阵为：
6
:000:063:021:01
23s s s s ，则由于一行全为零。

则系统与虚轴相交。

辅助多项式为：
j s s 20632,12±=⇒=+，则与虚轴的交点为j 2±。

解：劳斯阵：
10
2
020********
10
202
1012
262510
6210510
12
3
4s
s s s s =-
-=-=-
=-，可见系统不稳定，有两个右根。

例６：()020********=++++=+s s s s s G ， 解：劳斯阵：
()20
40
1020
10
2200010220510
12
34s
s s s s ε
ε
εε-
=-，因为此处０不能往下计算，换成ε。

时，〉且当00εε→，040
10<-
ε
，故系统不稳定。

例７：〈2002年备考题〉单位反馈系统，开环传递函数()()
10010000
20+=
s s s G ，
要求：① 画出对数幅频特性，求c ω，判断系统稳定性。

② 加入矫正装置，使c ω扩大一倍，求矫正后系统传递函数和相位裕量。

解：① 开环传递函数应由所给的零极点形式化成时间常数形式：
()()
101.0100
2
0+=
s s s G ，由作图可得10=c ω，由劳斯判据可知， 0100001.023=++s s ，缺项，则系统不稳定。

也可由()︒-=⨯--=∠-︒1901
10
01.0tan 1801
c j G ω， ()︒-=∠+︒=10180c j G ωγ，判定系统不稳定。

也可由零极点判断〈画图〉，不稳定。

② 加入矫正装置是
11
1+s ω，即()()()
101.01100210++='
s s s s G ω ()
︒-=⨯-+︒-='
∠--=1602001.0tan 20
tan 18011
1
20
0ωωc s G
（w1可由图中按比例读出），则︒=⎪⎭
⎫ ⎝⎛'
'∠+︒='20180c j G ωγ。

例8：〈2001年备考题〉
求：① 系统阻尼比ξ=0.5时, ?=h K
②h K =0时，求σ%，p t 、s t （%2±=∆）
解：①()()()()2
2
2
221414n n n h h s s K s s K s R s Y ωξωω++=++++=，则 ⎪⎩
⎪⎨⎧-=⇒=+=+=4321442144h h h n K K K ξω ②h K =0时，
()()44
2++=s s s R s Y ，则⎩⎨⎧==25
.02ξωn ， 于是s t n
s 84
==
ξω，p t =…σ%=…
例9〈设计型题，较易，主要考概念〉
求：()s G c ，①使()t t r =时，0=ss e ；②使()2
2
1t t r =
时，01.0≤ss e 解：① ()T s s G c >+=ττ,1，〈利用基本概念，不用计算〉
② ()()()T s K s G c >+=ττ,1，则()()
K Ts s s K s K s a 10110
1lim 2
20
=+⨯+⋅
=→τ 故：1001.01011≥⇒≤==
K K
K e a ss 。

根轨迹法
一、定义：
〈①〉()()
()
0111
1
*
0=+++
=+∏∏==n
j i
m
i i
p s z s K
s G 。

其中*
K 为根轨迹增益。

开环放大倍数∏∏===
n
j j
m
i i
p
z
K
K 1
1
*
闭环特征方程的根随参数*K 而变化的轨迹，称为根轨迹。

其符合两个条件：()()()()⎪⎩⎪
⎨⎧=∠+=∠=非最小相位系统
或最小相位系统相角条件：幅值条件：,2,121000ππk s G k s G s G
〈②〉几条规则：①实轴上的根轨迹
〈最小相位系统〉右边有奇数个零极点时，有根轨迹 〈非最小相位系统〉右边有偶数个零极点时，有根轨迹 ②根轨迹条数=Max （n,m ），
起点为开环极点（0=g K ），终点为开环零点（∞→g K ）
③渐进线条数：（n-m ）条，与实轴交点坐标：m
n --=
∑∑零点极点1
σ 与实轴夹角：()m
n k -+±
=π
ϕ121。

④分离点与会合点：使0*
=ds
dK ，并使*K >0的点 ⑤复数极点出射角：
∑∑-+︒=量辐角
其他极点至该极点的向零点至极点的向量辐角1801p θ
对非最小相位系统
∑∑-='量辐角
其他极点至该极点的向零点至极点的向量辐角1p θ 复数零点的入射角：
∑∑+-︒=角
极点至该零点的向量辐量辐角其他零点至该零点的向1801z θ
对非最小相位系统
∑∑+-='角
极点至该零点的向量辐量辐角其他零点至该零点的向1z θ
⑥与虚轴交点：
（a ）用劳斯判据确定，用辅助方程求得
（b ）ωj s =代入闭环特征方程，由实部=0，虚部=0求得
例1：()()()
210++=
s s s K
s G
解：渐进线（3条）：()()10
321-=--+-=
σ，()ππ
π
ϕ,3
3
12=
+±=k
由()()
0211=+++
s s s K
，则()()21++-=s s s K ，
(
)(
)
026323223*=++-=++-=s s ds
s
s s d ds dK ，得 ⎩⎨⎧-=-==-=385.0,577.1385
.0,423.0*
22
*11K s K s 与虚轴的交点：方法一
02323=+++K s s s ，劳斯阵：
K
s K s
K
s s 0
1
23
323021-
要与虚轴有交点，则有一行全零，即603
2=⇒=-
K K
辅助方程：j s s 20632,12±=⇒=+ 方法二
将ωj s =代入特征方程：()()()0232
3=+++K j j j ωωω
2,60
32033
2==⇒=-=-ωωωωK K 虚部：实部：，
则与虚部的交点6,22,1=±=K j s 根轨迹如下图
例2：()()3
2220+++=
s s s K s G
解：渐进线一条。

出射角︒=-+︒=--1400
2
2tan 2tan 1801
11p θ 分离点与会合点：2
3
22*
+++-=s s s K ，
故：()()()
()02322222
2*=+++-++-=s s s s s ds dK ，则0142
=++s s ，得⎩⎨⎧=-=-=464.5,752.3265.022
1K s s ，可见根轨迹是圆弧。

证明：取圆弧上一点σs +=
()()()()
︒=++-+-+=++++∠-++∠=∠--1803
222tan 2tan 3
222
21
12
σωσσωωσωωσωσωσj j j s G （应用辐角条件） 两边取正切：
(
)()()22222223
2222132222
=+⇒++-+=+⇒++-+=
+σωσσ
σσωσσωωσω
可见是圆。

例3：
解：结构图化简,有:
闭环特征方程为001112
12
1=++⇒=++
K s K K s s
K K s K h h ()h h K K K K s s
K K 11
2
1*,01==++⇒
,由此画h K 根轨迹图。

也可以由()
0112
1=++
⇒s
s K K h ，画1K 根轨迹。

例4：()()()
0,1*0>++=ααs s s K s G 解：()12*
++-=s s s K α，()[]
()
012322
2*=++++-=s s s s ds dK α
α，
则：()()04
16332=-+±+-=
s s 或α
αα
① α=1，α=9时，有一个分离点
②()19,01632
<>>-+αααα或解得
当α<1时，显然不稳定。

当α>9时，如取α=10，则()5.41
31101-=----=
σ， 4,4
104160131322
,1--=-±-=s ，根轨迹如上图。

离散系统分析方法
一、采样定理
镜像作用,采样频率max 2ωω>s 二、①
开环脉冲传递函数
()()()
()
()
()()()368.01264.0368.0111111111112
121
0--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-Z ⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅-Z =----z z z K T e z z z z z Tz z K s s s z K s s K s
e z G T Ts
闭环()()()()
z G z G z R z Y ry 001+=
=
φ，特征方程 ()()()0368.0264.0368.1368.00120=++-+=+K z K z z G 即。

②判断稳定性：用双线性变换1
1
-+=ωωz ，将其代入特征方程中，再用劳斯判据。

如果K 给定，则直接解特征方程，若|z|<1则稳定，若|z|>1则不稳定。

③()()[]s G z G Z =0，对参考输入有：
()()()()
()()(
)
()()()()()()()>
<-=Φ=⋅==-=⋅=
⋅=-=+=
⋅==→-→-→→定理此时必须且唯有用终值有干扰时，时，当时，当时，当z E z e z z N z E K T c e ct t r z G z
K K T b e t b t r z G z K K a e t a t r z G K z ssn en a
ss z a v
ss z v p
ss z p 1lim ,21,1lim ,1lim 11,lim 12
202
11
011
01
④求()()()()()[]()()[]
z R z z Y t y z R z z Y ry ry φφ11*,--Z =Z =⋅=时，可以用两种方法： a ）部分分式法；b ）长除方法
⑤z 变换公式：
()()
()()()()()()()()()()()()()()323222111211111111-+===-===-=+==-===--z z z z T z X s
s X t t x z Tz z X s s X t
t x e z z z X a s s X e t x z z X s s X t t x at at
如：()()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++⋅-Z =-3210s s K s e s G Ts ()()
......133********⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+Z ⋅-=--K z s s s K z σ 非线性系统分析方法
注：1为sinwt ；2为基波和高次谐波经过G （s ）后剩下的基波。

一、分析方法：
⎪⎩
⎪⎨⎧李雅谱诺夫方法考率法的推广—可适用于高阶，是频
—描述函数法不考—只适用于二阶系统—相平面法 二、描述函数法：
①闭环特征方程：()()01=⋅+s G X N ，则()()
X N s G 1-= 判断()jw G 是否包围()
X N 1-，包围则系统不稳定，不包围则稳定。

如同()()1,010-==+jw G s G ，判断是否包围-1，包围则不稳定，不包围则稳定。

②负倒特性：
A 点不稳定,自激振荡
B 点为稳定自激振荡，因有干扰时系统发散，则系统正好进入稳定区，而系统稳定时要衰减，则系统又回到B 点右边，又再次进入到不稳定区，又要发散，然后又进入稳定区，如此反复，则系统始终稳定再B 点附近。

例1：如图。

其中：
()2
14⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X a X b X N π，()()()3,1,11,111.0===++=b a K s s s K s G 判断是否存在稳定的自激振荡？为消除自激振荡如何调整？
解：
()()()使两者不相交。

、或调整使两者不相交减小稳定和不稳定，点不稳定。

，点是稳定的自激振荡点求出相交幅度求出相交频率b a K x x x x x x A B X N jw G w jw G B A B A ,,.0~1180><<⎪⎩
⎪⎨⎧⇒=⇒︒-=∠
例2：
则()
11111+=+-s s s s ，变换成： 再画图分析……
例3：[2002年题5]
①讨论参数T 为系统自激振荡的影响
②设T=0.25sec ，求输出自激振荡的振幅和频率。

解：()()()()
......1,101130=-⨯++=X N s Ts s s G ， 两者相切时，即频率特性G(jw)的虚部等于-1/N(X)，B 点稳定，A 点不稳定。

此时，不稳定和稳定；
B A B A x x x x x x x ><<<<0 李雅普诺夫稳定性理论
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧李氏稳定判据
稳定判据劳斯判据稳定离散系统在单位圆连续系统在左平面特征方程求根判断稳定性Nyquist
一、①李氏第一方法：线性化方法
()()()()()0,......,............,......,,2
1212211=⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==t x f x x x x f x x x f x x x f t x f x e e n n n n e 。

即，平衡状态为 ， 线性系统平衡状态只有一个；非线性系统平衡状态有多个。

雅可比矩阵：
xe
x n n n n
n xe x x f x f x f x f x f x f x f A ==⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=....................................2112111|，判断其稳定性用特征多项式0=-A sI ，然后用劳斯判据。

如果线性系统稳定，则非线性系统稳定；反之，如果线性系统不稳定，则非线性系统不稳定。

如果处于稳定边界（有纯虚根），则不能判定非线性系统的稳定性。

()()()则大范围稳定；如果为正定对称矩阵，则,00,<>=x V
x V P Px x x V T ②李氏直接方法：〈1〉克拉索夫斯基方法；〈2〉变量梯度法（不考）
二、对非线性系统在平衡状态处的稳定性问题的解题步骤：
①先用线性化方法：
01212
21110e e x x x f x f x f x f x x x f
A =⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂==∂∂=，由0=-A sI 得，2211,λλ==s s 若：（1）0,021>>λλ，则系统在平衡状态0e x 处是不稳定的；
（2）0,021<<λλ，则系统在平衡状态0e x 处是渐进稳定的。

（3）1λ，2λ中至少有一个实部为0，则此方法失效。

②否则，用克拉索夫斯基方法：
()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=x f x f x f x f x f x f x f x f A 211212
2111
,其中，(),⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=x f x f x Q T ，当Q(x)正定时，即当主子式均大于零时，且当∞→1x 时，有：
()()()∞=→==......x f x f x V T ，则系统在平衡状态0=e x 处大范围渐进稳定。

③最后想到用李雅普诺夫第二方法：构造标量函数V(x)，例如：
22
21)(x x x V +=，要求V(0)=0，x ≠0,V(x)>0。

步骤：1、构造2221)(x x x V +=；
2、221122)(x x x x x V +=，
将1x ，2x 代入，若()x V 为负定，半负定，∞→1x ，有∞→)(x V 。

则系统在0=e x 处大范围渐进稳定。

例1：<2000年题6>使用李雅普诺夫方法判断下述非线性系统在原点平衡状态的稳定性。

5221231211,x x x x x x x x
--=-+-= 解：线性化方法失效，则只好用克拉索夫斯基方法：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡----=∂∂4221511131x x x f ，则 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=42211022
262x x x f x f x Q T ()()
()正定主子式x Q x x x ∴>-++>+0410262,062222121 且∞→1x 时，有
()()()()()∞=→--+-+-==2522123121x x x x x x x f x f x V T ，故此系统在原点处大范围渐进稳定。

例2：<2001年题6>试用李雅普诺夫方法判断下述非线性系统在原点平衡状态的稳定性。

5221231115,3x x x x x x x
-+=--=
解：用线性化方法：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-==∂∂=11010e x x f A ，0111012=-=--+=-s s s A sI 。

故系统在原点处不稳定则,1,121==s s 状态空间分析方法
一、模型的建立
则⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=02110010v F m c m x x m c m R x ，,ma f =∑ ()y m ky c y v F =--+0则，即：0cv F ky y c y
m +=++ 令y x y x ==21,，则⎪⎩
⎪⎨⎧++--===m cv m F m cx m kx y x x x 021221 ， 如对()()u b y a y
a y a y n n n n 1111...=++++-- ，令()121,...,-===n n y x y x y x 则1
1121113221x y u b x a x a x a x
x x x x x x n n n n n n =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+----====--输出方程： ，
或[]x y u b x a a a x n n 0010001001000010111
=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=- 例1：由传递函数来求
()()()()()s U s Q s U s Y a s a s a s b s b s b s b s G n
n n n m m m m ⋅=++++++++=----1111110 ，则 ()()n n n n a s a s a s s U s Q ++++=--1111 ，()()
m m m b s b s b s U s Y +++=-10 ()()[]
()s Q a s a s a s U s Q s n n n n ++-=--111
则
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧----====--n n n n n n x a x a x a u x
x x x x x x 12111
3221
，即 []x b b b y u x a a a x m m n n 0010001001000
0100111
--=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=
例2：()()()()3
5222112167201742232+++++-=+++++==s s s s s s s s s U s Y s G ， 有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+-=+-=321332221152322x x x y u x x u x x x x x 即：[]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=x y u x x 512110300020012 可见-2为重根，则此为约当标准型。

约当块对应B 阵中的行中有一列不为零，则能控；约当块对应C 阵
二、对⎩
⎨⎧=+=cx y bu Ax x 型题的解答步骤： ①判断系统稳定性：0=-A sI ，得 ,,2211λλ==s s ，若 0,021<<λλ则系统稳定，否则系统不稳定。

②能控性判别矩阵：
[]><=二阶,Ab b M ，[]
><=三阶,2b A Ab b M 若r(M)=n ，即满秩，为完全能控，否则不完全能控。

能观性判别矩阵：[]T
cA c N =，若为满秩，为完全能观，否则不完全能观。

注意：如果A 是对角阵且没有重根时，则用直接观察的方法判别能控、能观便可。

若b 中对应的值不为0，则此状态分量能控，若b 中全不为0，则为完全能控。

若c 中对应的值不为0，则此状态分量能观，若c 中全不为0，则完全能观。

如果A 是对角阵且有重根，或是一般矩阵时，则必须用能控性判别矩阵M 和能观性判别矩阵N 。

③状态反馈：条件——所调整的极点对应的状态分量必须能控。

原理：
⎩⎨⎧=+=cx y bu Ax x ，引入[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡== 212
1x x k k kx U ，则有()⎩⎨⎧=+=cx y x bk A x 解题方法：特征多项式=期望多项式，即()()()
21λλ--=+-s s bk A sI []321321,,,K K K K K K K =即得到。

④状态观测器<不考计算，因为太复杂>
条件：系统完全能观，才可用状态观测器
⑤输出可控性矩阵：[]
b CA CAb Cb P 2=，若满秩，则输出完全可控，否则输出不完全可控。

例3 、<2001年题5>
[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321110201300020001x x x y u x x x x x x 要求：
(1)判断系统的稳定性
(2)判断系统是否完全能控，完全能观测，并指出各状态分量的能控，能观性
(3)能否用线性状态反馈[]x k k kx U 21==将原有的极点-1，-2，3调整为-1，-2，-3？若能请计算出K1,K2,K3的值；若不能，请说明原因。

(4)判断系统的输出可控性
解：
(1)显然有+3特征根，则系统不稳定
(2)由B 阵知不完全能控，x1,x3能控，x2不能控；由C 阵知不完全能观，x2,x3能观，x1不能观。

(3)能，因为x3时能控的，设[]300K K =，由
()()33
2300020
01
K s s K s bk A sI +-+-+=+-，⎪⎩⎪⎨⎧+=-=-=33212321K s s s 故
因此有[]300,332333-=-=⇒-=+K K K 故
(4)输出可控性矩阵[]
[]18622==B CA CAB CB P ，秩为1，可控。

例4 ：<2002年题2>
[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32132132132111100010001x x x c y u b b x x x x x x α ， 要求：
(1)判断系统的稳定性(2)判断系统是否完全能控，完全能观测，并说明理由。

(3)能否通过状态反馈使闭环系统稳定？(4)能否应用状态观测器？
解：（1）显然ɑ>0，系统不稳定；ɑ=0边界状态；ɑ<0时系统稳定。

（2）因为-1时重根，由不是约当型，则用较稳妥的方法，即用可控性矩阵。

[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==000111001212222
111
2αααα
b b b b b b b b A Ab b M ，则秩为2 ，为不完全能观 （3）状态反馈要通过x3进行，则要能观测x3才行。

当C3不为0时，可以通过状态反馈使闭环系统稳定。

（4）系统完全能观，才可应用状态观测器。

例5：<2000年题5>
[][]⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212110012001x x y u x x x x 要求： (1)判断系统的稳定性(2)判断系统是否完全能控，完全能观测，并说明理由。

(3)能否通过状态反馈使闭环系统稳定？(4)能否应用状态观测器？
解：（1）显然有+1根，则系统不稳定
（2）不完全能控，x1可，x2不可不完全能观，x1不可，x2可（3）因为x1能控，则可以改成-1， 设[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=2001,011K bk A K K 则故[]0221111-=⇒-=⇒-=+K K K
（4）不能，因为系统不完全能观
例6：<99年题五>
[]12,10,4310,:111111111111=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==+=c b A x c y U b x A x
S 其中 1,1,1,:222222222222==-==+=c b A x c y U b x A x
S 其中
要求：①…②…③…
解：[][]⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321112110100043010x x x y u x x x x x x
传递函数：
[]⎪⎩⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=x y u x x S 12104310:111 ，故()()()[]
=-=-B A sI c s U s Y 111 三、状态方程的解，状态转移矩阵
如：()()()()00,x t x t Bu t Ax t x =+= ，则()[]()()[]s BU X A sI s X +-=-01
齐次，则()()()[]()[]()00111
1X A sI X A sI t x ⋅-Z =-Z =---- ()()()()()()()t cx t y d T BU t x t t x t =-+=⎰,00
ττφφ。

采用变换的方法： ⇒⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎣⎡=-n AP P λλλ 211, P e P e e e e At t t t APt P n 1211-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-λλλ
[]
n t t t
APt P At P P P P P e e e P P Pe e n 2111211=><⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡==---其中：最简单，推荐λλλ 特别当
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=----11211212111111,100
01000
010n n n n n n n n P a a a A λλλλλλλλλ 则互异，， 如果有二重根，则
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t t t
At e te e e A 1110,0111
λλλλλ 如果有三重根，则⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t t t t t t At e te e e t te e
e A 1111110
00
2,0010012111λλλλλλλλλ！ 分块，有：
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t A t
A t A At e e e e A A A A 321,321
最后
例1：<2000年题四>
设系统的开环传递函数为()()()
0,0,0,1121122>>>++=
T T K s T s s T K s G 其中，试画出Nyquist 图，并确定系统的稳定性。

解：T1<T2时，显然N=0，P=0 ，则Z=N+P=0，故系统稳定
T1=T2时，临界状态，不稳定。

T1>T2时，显然N=1，P=0，Z=N+P=1，系统不稳定。

……(4)…… 解：(1)特征方程为：()010=+s G ，则特征多项式为：
()()()()()ααK s K s s s R s s s s f ++++=++++=561523
(2)零极点：()()()⎪⎩
⎪⎨⎧=--=-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+3,5,1,0:1,78::15780n P m N s s s s K s G ， 渐近线：7
1727861-=+
-=σ，23,21ππθ= 分离点：⎩⎨⎧====== 2*1*21*
*
,0,K K s s ds dK K 求出： 三条根轨迹汇合，因为此时K 值相同。

例3：<2001年题2>
α=9，要求：(1)…(2)…(3)…(4)…
解：
(1) ()()()()()()()()()()
91559,110++++++==+==s K s s s s s Ks s N s E G s G s R s E G ne re ()()()()ne re G s G s s E t t n t t r 1.0111.02+=
⨯==时，和当
(2) ()()()()()()()
()s N s G s G s G s R s G s G s Y 2100011+-+= (3) ()()095601230=++++=+K s K s s s G ，得由 由劳斯判据：K s K s K s K s 92509605101
2
3-++，10009025<<⇒⎩
⎨⎧>>-∴K K K 故当K>15时，系统不稳定，不能计算稳态误差ss e 。

(4)当K=5时，() =⋅=→s E s e s ss 0lim
<注意：p K 、v K 、a K 只对参考输入r(t)有效> 例4：<2001年题3>
开环传递函数()s G op 由最小相位环节组成，其折线对数幅频特性曲线如上图所示 要求：(1)写出开环传递函数()s G op
(2)…(3)…(4)…
解：(1)开环传递函数()()()()101.0112.0+++=s s s s K s G op ，如图虚线所示。

()()100.1100=='=='K s G s
K s G 则时，，过对于ω，故：
()()()()
101.0112.0100+++=s s s s s G op (2) c c c ωωωγ01.0tan 2.0tan tan 90180111----+-︒-︒=，∞=g K 因为0.2>0.01，故达不到180度。

(3)如图，P=0，Z=0，N=P+Z=0，系统稳定。

(4) ()()()()
101.0112.0100++-='s s s s s G op ， ππππ
π
π
π→-→-→-+→+2
,20,22,2则幅角：，如图所示：
显然，N=1，P=0，Z=N+P=1，系统不稳定。